简单平值期权定价公式的推论及推广

               简单平值期权定价公式的推论及推广
                        于德浩
                     2021.4.12
推算平值期权的定价，我们可以用简单的方法。举例，如果股价的月波动率是6%，那么剩余一个月期限的平值认购期权的价格占比正股价格的比例x是多少？
我们简单的设想，一个月后，股价要么上涨6%，要么下跌6%，各50%的概率，那么平值认购期权的末态期望值就是0.5*0+0.5*6%=3%，于是我们就得出当前认购期权的价格x=C/S=3%。一般的数学表达式，平值期权的简单定价公式，x=0.5*σ。
如果行权价K在更高的+0.5σ处，那么虚一认购期权的价格又是多少呢？我们还是按照等概率两末态模型，末态期望值就是0.5*0+0.5（σ-0.5σ），于是虚一认购价格x1=0.25σ，是平值的一半大小。这与实际市场数据符合的很好。
如果是实一认购期权，行权价K在-0.5σ处，末态期望值就是0.5*0+0.5（σ-（-0.5σ）），于是实一价格x-1=0.75σ，是平值认购的1.5倍。这也与实际市场数据符合的很好。
但是，对于行权价更高的虚二认购定价，在+1σ处，上面的等概率末态模型就无能为力了。因为，末态期望值是0.5*0+0.5（σ-σ）=0，显然，实际的虚二认购价格不是0。
我们换一个角度，看一下行权概率及行权收益。在上面的简单的两概率末态模型中，平值期权的行权概率是50%，若成功行权收益是σ。从正态分布来看，行权概率p=1-N（0）=0.5；我们用+1σ处单个量子态，指代了从（0，+∞）的无数个连续量子态。根据积分中值定理，f（1）恰巧是积分中值。这里有近似，我们以（0，+2）去近似（0，+∞）；p=N(2.0)-N(0)=0.98-0.5=0.48; 积分中值f（ξ）=p/(2.0-0)=0.24；而正态分布概率密度函数f(1)=1/(2π)^0.5*e(-1/2*1^2)≈0.4*0.6=0.24，所以ξ=1.0。
我们看一下虚一认购期权的行权概率。P=N（0.5+2）-N（0.5）=0.9938-0.6915=0.3023，我们还是选择比较合理的积分域宽度为2.0。f（ξ）=p/2=0.15，解得ξ=1.4。计算末态期望值，（1-p）*0+p*(ξ-0.5)* σ=0.3*(1.4-0.5)σ=0.27σ=x1，这与上面得到的x1=0.25σ还是近似相等的。
我们计算一下虚二认购的价格。P=N（1.0+2）-N（1.0）=0.9987-0.8413=0.1574，积分中值f（ξ）=p/2=0.0787；解得ξ=1.8。于是，x2=0.16*（1.8-1.0）σ=0.128σ≈0.5x1，约是虚一价格的一半，这与实际市场数据符合的很好。
再计算虚三认购的价格。P=N（1.5+2）-N（1.5）=1-0.9332=0.0668，积分中值f（ξ）=p/2=0.0334，解得ξ=2.2284。于是，x3=0.07*（2.2-1.5）σ=0.05σ