数学中的凹凸性是否和经济学中的凹凸性相同？

为什么在数学中二阶导小于零是凸函数，在微观经济学中大于零是凸函数？

热心的小回应 · 2020-12-27 20:19:29

高数书上convex是凹，数学系，经济学，还有各种优化理论，convex是凸。数分老师说可以这样记（为什么要记这个=_=）他们其他专业的站的比较高（高过函数图像），我们数学系的站的比较低，所以往下凸的（convex）叫凸，往上的叫凹。
上张图

这个是convex，也即经济学的凸向原点，数学系是管这个叫凸函数的。另外有个优化方向叫凸优化，求的都是函数的最小值，用的也是这个定义

热心的小回应 · 2020-12-27 20:19:30

一、在中文教材中，存在凹凸定义相反的情况。
   这种现象有种解释是（未考证）：国内数学书凹凸概念多承继于前苏联，国内经济学书中凹凸概念多承继于欧美。而前苏联和欧美关于凹凸定义是相反的，所以在中国的中文教材中，经常出现凹凸定义相反的现象。
还有个解释（未考证）：外文翻译到中文的时候，出现了混乱。
   针对这种现象，我的解决办法是：在直观上，记住凹或凸一个代表性图形；在定义上，记住这个代表性图形的定义。其实两种很好转化的。

后话：只有在共识以上才能继续讨论。没有良好定义的概念，是没法用于讨论的。

二、要明晰对空间的描述，还是对空间边界的描述以及相关定义。
   开始学高微的过程中，看到凹凸、拟凹、拟凸、严格凹、严格凸，就脑袋大。因为三个原因：一个是因为以前和现在关于凹凸定义是混乱的（见上面）；二是，空间的凹凸和空间边界的凹凸是相反的（不精确描述），再加上拟凹、拟凸、严格凹、严格凸等概念，就会满脑袋浆糊；三是，直观感受有时候不明晰，比如消费空间X是凸的，那么以效用为纵坐标，消费为横坐标时候，就很难对凹凸有个明晰的直观感受。
   所以，要解决这个问题：一，要明确各定义；二，要明确定义对象；三，要明确不同对象凹凸（包括拟凹、拟凸、严格凹、严格凸）之间的关系。

（好吧，至今还经常犯迷糊）

三、深入了解，可以学习数学中的凸分析和优化理论。
   这部分，只学了个皮毛，但是还是很有用的，毕竟经济学就是为了优化。学了凸分析和优化理论，你就能更好的理解，在决策理论中，为何有那么多的关于凹凸（包括拟凹、拟凸、严格凹、严格凸）的要求。

最后，补充说明：尽量将问题转化成更能直观理解的方式。对比MWG和Varian关于信息经济学方面的讲述，就能知晓Varian处理方式更直观，而这种处理方式，有时候很有用。

热心的小回应 · 2020-12-27 20:19:31

很简单。经济学的凸是凸向原点，是下凸；
数学书（比如同济高数）里通常说的是上凸，比较符合日常的直觉。
数学书的下凹=经济学的下凸。
凹和凸，参考系的问题而已。

热心的小回应 · 2020-12-27 20:19:32

反的，在风险态度的那里最明显。

热心的小回应 · 2020-12-27 20:19:33

印象中是相反的

热心的小回应 · 2020-12-27 20:19:34

这个问题可以这样理解:
      从曲线f(x)的上面去观察，看作是以f(x)为边界的图形，称为"上图"

      以f(x)的二阶导大于零为例，"上图"是凸的，构成"上图"的边界函数就是凸函数。

      这个定义与经济学上的凹凸性是一致的。

      数学上称为凹函数，可以看成是上凸下凹。

热心的小回应 · 2020-12-27 20:19:35

这个问题不仅仅是在经济学领域与数学上存在冲突。
在此说明一下，数学上对凸性的定义是来自对二阶导数符号的判定，经济学中常常是以函数图形凸向原点与否。
注意，我在此说的是凸性，而不是凹凸性，为什么呢？因为对于凹凸性的界定仅仅在数学上就已经分不清楚了，有时凹是凸，凸是凹，分不清楚，我曾稍作考证，普遍认为是由于过去的翻译造成的，后来我们为了不造成误解，我们只用凸性来描述，分为上凸下凸（一元函数），普遍认知是上凸为凹，下凸为凸（与常理认知相悖），但这个定义在不同的领域常常容易出现偏差，甚至在许多分析课本与高数课本里定义是相反的。
所以，关于凸性，重要的不是定义的名字，而是性质，对性质的了解会让你发现这个“凸”到底是什么意思。

热心的小回应 · 2020-12-27 20:19:36

数学和经济学对曲线的凹凸性的定义正好相反。一般学经济的应该都学过高等数学吧？经济中对曲向原点的叫凸

热心的小回应 · 2020-12-27 20:19:37

是的，完全相反。。。

热心的小回应 · 2020-12-27 20:19:38

上面诸位的解释，难道就没有考察一下凹凸性的物理来源吗？

对于曲线y=f(x)，凹凸性的定义，首先要设置参照物，物理学上，把y轴看作光线，光源在y轴的负无穷大，观察者在y轴的负无穷大位置观察，向下凸出的，就是凸曲线，向上凸出，就是凹曲线

数学中的凹凸性是否和经济学中的凹凸性相同？

10 个回复