美式看涨期权，在无股息下最优做法是不行权，即便此时期权的内在价值很高，换句话说，就是当前股票价格已经很高时，也不选择行权。这是一个看似很反直觉实际也很反直觉的理论，我在研究了下最优时停，套利等问题后，尽管我已经明白了背后的理论推导，但心里还是感觉不舒服，那是一种名为“落袋为安”的感觉，于是继续探索，发现实际操作中美式看涨期权往往选择了提前行权，这里简单讲讲我的心路历程，（我是一匹好人。）
先谈下美式看涨期权不行权最优的理论推导。
根据看涨-看跌期权平价公式 我们可以得到 ：
C+K·e-RT = P +S0
对于这个式子的左边，我们在推看涨期权价格下限时已经明白了，它就是一份看涨期权的价值 （ C）,加上一份T 时期时价值为 K的行权现金（期权的执行价格为K）；对于右边是一份看跌期权的价值和一个股票的当前价格。
我们对平价公式进行变形 ：
C= (S0-K )+P +K(1-e-RT)
这个公式的含义代表了什么？即一份看涨期权的价值等于 立即行权所带来的期权内在价值 （S0-K），和不选择提前行权所节省的资金 K(1-e-RT) 和一份看跌期权的价值 。
这里一个很好玩的点是，K(1-e-RT)代表了不选择提前行权所节省的资金，构思非常巧妙，如果我们选择在T 时期行权，则付出资金的贴现值为 Ke-RT ，但如果选择在0时期，也就是现在行权，则付出的资金即为K，那么它们的差即为不选择当前时期行权可以节省的资金。
对于这个式子，我们可以推出：
C>（S0-K）恒成立 （这是因为P 的价值最低不会低于0，而K(1-e-RT) 大于0
因此，从理论上来说，对于美式看涨期权（无股息）不提前行权是最优的。
但想必任何一个了解期权知识的人都会对此感到一阵困惑，如果我买了一个股票期权，执行价格是10元，但此时股票价格已经疯涨到了100元，我不落袋为安？我拿钱走人不好吗？你和我这儿扯什么不行权最优？万一股票价格一跌，我不是就损失大了吗？
在理论中，抛开一个构思有趣的推导，我们可以这样认识不行权的原因，假如你此时面对着上述案例的情景，你依照人类朴素的直观思维选择了行权，即以10元的价格购买了当前价格已经飙升到100元的股票。
那么你面临两个选择 ：
第一：你选择了卖出股票，那么你可以得到90元的收益。你心满意足地拿着90元走了，和危险的市场告别，从此不用为股票价格下跌而烦恼，但是，你也失去了股票价格继续上升而带来的更多的收益。
第二：你没有选择卖出股票，而是继续持有，那么意味着你将继续暴露在股票价格波动的风险之下，此时你面临的情况要比你继续选择持有期权而不执行恶劣，而这正是期权的意义所在。
但如果你没有选择执行期权，而是继续持有呢？你的期望收益如下：
St ＜K, 0
St大于K，St-K
又因为我们可以依据之前推出的理论，C严格大于St -K ,因此，我们可以选择卖出期权，而非执行。
但这里有一个问题就是，选择执行期权并卖出股票这个选择，是基于什么的理由去卖出，当市场上股票价格是100元时，意味着什么？意味着目前市场认同这支股票的价格是100元，此时，如果卖出股票的选择时更优的，那么此时市场的价格就不应该100元，而一定是低于100元的，换句话说，持有股票和卖出股票无差异，但这意味着此时市场是有效的，并且你清楚这一点。但现实中，市场往往没有那么有效。
同时，我们需要考虑的另一个问题是，卖出期权总是有利的，但期权一定可以被卖出吗？
也就是说，在实际操作中，美式看涨期权（无股息）不行权最优至少要面临两个困扰，第一就是市场的有效性问题，第二就是期权的流动性问题，这两个问题又是相互影响的。课堂上受限于人数和时间，难免粗糙，这可能也是本科教育的缺憾吧。
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