欧式期权定价推导方法（上）

一、定价思路

欧式期权分为put and call。先给出结论：
对于call：

则对于put：根据put-call parity：

可以算出put的定价。

      期权现金流复杂，我们希望用简单的产品逼近期权价值，选择用cash和stock形成一个portfolio，该portfolio的价值等于option的价值。即portfolio分为两部分：（1）risk-free asset: B （2）stock: S。下面分别解决B和S的问题。

（1）对于无风险资产B，我们有微分方程：
  解该微分方程可求得Bt。
（2）对于股票价格S，假设其服从几何布朗运动（GBM），则有：
  解该微分方程可得St。

二、解出Bt和St
1、显然，对于无风险资产有：
2、对于股票价格St：
，是一个根据引理解该微分方程可以得到：
于是得到

三、期权价值的表示

      在得到B和S随时间变化的公式后，我们希望用Bt、St组合去replicate option。对于option，设其价值为  ，期权到期日的价值为  （非常容易理解期权到期日的价值实质上就是股票价值到期日时候的函数）。
：和的权重：向量则：       在这里假设S和B之间满足：self-financing portfolio，即：

解得：

四、鞅测度定价——转换measure

      在此部分，我们希望使得组合价值的变化Vt满足鞅过程，我们已经得到了Vt的表示，则我们希望使得St的变化满足鞅过程。但是在概率空间P中，St并不是一个鞅，因此我们希望转换概率空间使得在变换后的Q-measure中St_star为一个Q-martingale。
消去一项，有以下两种方法：①消去留下，此处为对冲②消去留下，此处为余下部分满足形式是一个鞅接下来，我们将St变为一个鞅。Consider 股票折现过程：
在测度下，希望将变为微分：，因此在下无法得到鞅。因此希望通过变换测度，。
这里引入两个key fact。

key fact 1(Novikov Condition)
key fact 2(Girsanov's Theorem)
      其中Wt为GBM。由上述引理可知，选取恰当的Theta(s)可以实现测度的变换，会有多个Theta(s)满足条件，不唯一。因此，如何选取最适合的Theta？这里可以采用待定系数法。
微分：因此，令则有是一个
      处理完了St，下面可以对组合Vt进行处理，将其折现值Vt_star变成一个Q-martingale：
我们有考虑折现是一个
至此，我们已经得到  。
根据鞅的定义：  我们可以得到以下两个式子：
  根据等号右边相等，有：

因此期权价值可以得到：

即

      其意义也非常好理解，即把G(ST)向前折现，但不是确定的折现，折现时的现金流是随机的。

至此，所有的准备工作已经完成。