量化｜负资产价格期权定价与Bachelier模型

文｜马普凡赵文荣王兆宇张依文

由于原油期货负价格的突发状况出现，CME临时将原油期货期权的定价模型切换为Bachelier模型。本报告介绍了Bachelier期权定价模型及其与传统BS/BSM模型的异同，其主要差异在于Bachelier资产价格服从算术布朗运动，资产价格有一定机会取到负值，因此在资产价格为负的情况下也可以对期权进行定价。通过Bachelier模型和传统BS模型在国内商品期权上计算隐含波动率可以发现结果较为相似，在极端情况下Bachelier模型可以作为传统BS模型的短期替代。

▍投资聚焦：负期货价格引发期权定价模型讨论。

2020年4月20日，WTI原油5月期货合约价格跌破0值，收于-37.63美元/桶，历史首次出现“负油价”。4月21日，为应对原油期货合约价格为负的情况，CME将原油期货期权的定价模型切换为Bachelier模型，并上线“负行权价”的期权合约。其实早在4月8日，CME便发布了一份公告以应对持续下跌并可能跌至负值的能源价格，公告声明“当任何月份的WTI原油期货结算价低于8美元/桶时，CME将调整所有原油期货相关的期权合约定价模型，由原有的定价模型调整为Bachelier模型以应对可能跌至0甚至负值的标的价格”。本报告将对Bachelier模型和当前主流的BSM模型进行介绍，并对比二者的异同。

▍Bachelier模型：第一个期权定价模型。

1900年，Bachelier在他的博士论文《投机理论》中提出了最早的期权定价模型，论文也首次给出了期权的到期损益图。Bachelier开创性地用布朗运动来描述股票价格变化，即假设股票价格变化服从正态分布。

▍BSM模型和Bachelier模型的对比：Bachelier模型的基本假设包含了标的价格为负的情况。

Bachelier模型要求资产价格围绕其真实价格变动，即资产价格的SDE中不存在漂移项，而BSM模型中存在漂移项。Bachelier模型中的资产价格服从算术布朗运动，即标的资产价格服从正态分布，资产价格有一定概率取到负值；而BSM模型中资产价格服从几何布朗运动，即标的资产价格服从对数正态分布，资产价格一定为正。

▍Bachelier模型定价有效性验证：可作为传统BS模型的短期替代。

尝试利用Bachelier模型和BS模型计算隐含波动率。虽然郑商所的期权行权方式均为美式期权，但考虑到美式结果和欧式结果相差较小（从BAW模型和BS模型的差距可以看出），本文仍使用欧式模型进行计算。从计算结果上看，在平值期权上计算，两种模型计算出的结果基本较为相似。但由于计算时需要使用价格波动除标的价格得到波动率，在行权价和标的资产价格相差比较远的时候，Bachelier模型可能因为计算时分母的差异使得计算出的波动率相比平值时有更大偏差。

▍风险因素：

本文仅做理论的模型讨论，且数学模型仅起到描述衍生品价格的作用，并非提供投资建议。

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