基于BSM模型下的不分红股票期权Delta的求解

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期权Option   2020-4-11 02:03   3773   0
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基于BSM模型下的不分红股票期权Delta的求解
基于BSM模型下的分红股票期权Delta的求解
Delta的应用
下节预告-Theta




基于BSM模型下的不分红股票期权Delta的求解期权delta(Δ)的定义指的是衡量标的资产价格变动时,期权价格的变化幅度 。用公式表示:Delta=期权价格变化/标的资产的价格变化。


上面式子中,∏表示期权的价格,S表示标的资产价格。
通过BS模型,我们知道不分红股票的看涨看跌期权定价公式分别为
看跌期权定价公式

看跌期权定价公式

其中


N()表示正态分布的累积密度函数。具体公式表示如下:


首先:我们先来计算N'(d1),N'(d2)





为了后续页面整洁,先求导上面两个式子,并且将N'(d2)与d1建立起关系,否则后面的推导会变得冗长且容易出错。

先把结论放上来,估计很多人都知道这个结论。(提醒我现在推导的是基于BS模型下的非分红的股票期权的delta)

看涨期权delta

看跌期权delta

先从看涨期权开始:



看跌期权:





基于BSM模型下的分红股票期权Delta的求解
通过BS模型,我们知道分红股票的看涨看跌期权定价公式分别为
看涨期权定价公式

看跌期权定价公式

其中


同上面一样,先来计算N'(d1),N'(d2)




现在推导的是基于BS模型下的非分红的股票期权的delta,同样,先说结论。
看涨期权delta

看跌期权的delta

先从看涨期权开始:


看跌期权:



delta 的应用下图显示的是看涨期权价格与标的资产价格之间的关系。该看涨期权的delta是对应于标的资产当前价格的A点处的直线斜率。


通过计算delta比率,一家向客户出售期权的金融机构可以使delta处于中性地位,以对冲标的资产价格变动的风险。假设当前股价为100美元,股票的看涨期权价格为10美元,看涨期权的当前增量为0.4。一家金融机构向其客户出售了10个看涨期权,因此客户有权在到期时购买1000股股票。为了构建delta对冲头寸,金融机构应该购买0.4 x 1000 = 400股股票。
如果股票价格上升到1美元,期权价格将上升0.4美元。在这种情况下,金融机构在其股票头寸中有400美元(1 x 400股)的收益,而在其期权头寸中有400美元(0.4 x 1000股)的损失。金融机构的总收益为零。
另一方面,如果股票价格下跌1美元,期权价格将下跌0.4美元。金融机构的总收益也是零。
但是,期权价格与股票价格之间的关系是非线性的,所以delta在不同的股票价格上是变化的。如果投资者想保持他的投资组合在delta的中性,他应该定期调整他的对冲比率。他调整得越频繁,就能得到越好的对冲。
下图显示了delta的变化对delta对冲的影响。如果标的股票的价格等于20美元,那么只使用delta作为风险度量的投资者就会认为他的投资组合没有风险。不过,随着标的股票价格的变化,不管是上涨还是下跌,delta也会发生变化,因此他将不得不使用不同的delta对冲。


Delta度量可以与其他风险度量相结合,从而产生更好的风险度量。我们将在以下几节中进一步讨论它。

预告-Theta如果对期权知识有兴趣,欢迎关注我们,下一节,我们将讲解与Theta相关的内容。
【理论篇】平值期权Delta为什么接近0.5?

【白话期权】再说说期权的Delta对冲
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