历史波动率计算方法

一、计算方法总结：
1、Sample Standard Deviation from Close Prices
计算公式如下：

2、Adjusted Mean Absolute Deviation Volatility
  计算公式如下：

方法1对样本中的极端值过度敏感，比如样本中有一个极端值过大，方法1所得结果会高估真实的波动率，其会对最后结果的准确性会有较大影响。方法2相比方法1，减小了对极端值的敏感性，从而使得计算的结果更加准确。

3、PARKINSON Volatility
计算公式如下：

4、GARMAN-KLASS Volatility
计算公式如下：

5、ROGERS-SATCHELL Volatility
  计算公式如下：

6、YANG-ZHANG Volatility
  计算公式如下：

7、Exponentially Weighted Moving Average Volatility (EWMA）
计算公式如下：

（其中，参数最常取的数值为0.94。）
基本原理：我们的目标是估计当前的波动率水平，因此将较大的权重用在最近的数据更有意义。EWMA模型即给予了不同时间的数据以不同的权重，其权重随着时间以指数速度衰减。

8、GARCH  Model
计算公式如下：

基本原理：在一般的金融时间序列模型当中（如标的价格的时间序列），干扰项的方差被假设为常数。但实际许多金融时间序列呈现出波动的聚集性，在这种情况下假设方差为常数是不恰当的。GARCH模型将当前一切可利用的信息作为条件，并采用自回归的形式来刻画方差的变异，对于一个时间序列而言，在不同时刻利用的信息不同，相应的条件方差也不同。利用GARCH模型，可刻画出随时间而变异的条件方差。
与EWMA模型的异同：
GRACH模型中，长期平均方差：

当
时，该模型即为EWMA模型，所以EWMA模型是GRACH模型的特殊形式。在实际方差值常常会被拉到长期平均水平，即均值回归。GARCH模型具有均值回归的特性，而EWMA则不具备。从理论上讲，GARCH模型要更优于EWMA模型。
在EWMA和GARCH模型中，均假设了对数收益率的样本均值=0。这种假设对方差估计的影响不大，因为每天市场变化的期望值要远远小于市场变化的标准差。

二、主要计算方法对比：
方法1是最常用的计算历史波动率的方法，该方法简易可行。且通过理论可以证明，样本标准差是标的波动率的无偏估计量，所以在样本较大时改方法表现较优。但该方法有以下缺点：1、仅使用收盘价，忽略了市场隔夜波动率的变化。2、忽略了标的价格的漂移（即收益率的样本均值与预期收益率之间有所差异，）。这一项所带来的误差并不大，因为当用每天数据进行计算时，对数收益率的均值非常小，即使与预期收益率有所差异，差异也不大。3、对样本中的极端值较为敏感。4、对所有时间数据赋予了相同的权重，且未考虑波动率的聚集性。
方法2相比方法1，主要的优势在于，减小了对极端值的敏感性，从而使得计算的结果更加准确。方法1对样本中的极端值过度敏感，比如样本中有一个极端值过大，方法1所得结果会高估真实的波动率，其会对最后结果的准确性会有较大影响。方法2对该缺点
方法6相较方法1改进了其缺点，考虑了市场隔夜波动率的变化以及标的价格漂移影响。但实证研究表明，其在样本量较小时表现较优，但在样本较大时，表现可能不如方法1。
方法8为时间序列方法，其考虑了现实市场中，收益率序列不是同方差的，且波动率之间也是具有相关性的（波动率的聚集效应）。并且该模型能及时反映出最近收益率波动的所带来的影响。但其缺点在于GARCH模型假设波动率序列具有平稳性，若现实中改条件不满足时，该模型表现较差。

注1：公式3~6中，若F=1时，所得波动率为单日波动率；若F=一年交易日天数，所得波动率为年化波动率。
注2：其余的公式中（公式2除外）计算所得均为单日波动率，若需要年化波动率，应进行转化。
注3：波动率的聚集效应，即波动率会在某一段时间内呈现持续偏高或偏低的情况。
波动率的平稳性：时间序列的统计性质关于时间平移的不变性。