币圈期权研报：你不知道的事

“由于篇幅所限且内容较干，本文主要面向已有基本期权知识或交易经验的读者，如无相关经验，可能会一头雾水，建议先学习基础内容后再阅读。文末会给出建议参考文章和课程链接，供有兴趣的读者参考。期权交易是一个相对小众且专业的市场，机制更复杂且风险更高，佛系读者也可将此文当做科普阅读，一窥衍生品交易市场之深浅。

目录
引言
交易员为什么喜欢期权

期权天然追涨杀跌的价格曲线
在任意到期日交易任意价格的标的资产

昂贵的期权时间价值

看跌看涨期权平价关系（Put-Call Parity,PCP）
期权的时间价值曲线

币本位期权价格曲线
币本位视角下的期权转换（美元期权）
结束语

附录

引言
2019年9月2日，币安宣布全资收购JEX平台的团队与业务，进一步探索期货、期权以及其他创新衍生品服务。同月20日，芝商所（CME）宣布将在2020年第一季度推出比特币期权。早在去年6月，BitMEX交易所就曾推出过与期权有相似性质的产品，但由于BitMEX的产品只能买多不能卖空，且只有一个到期日和行权价，因此并不能称之为期权，BitMEX也很知趣地将其命名为上涨/下跌收益合约。JEX的产品比BitMEX多了两个到期日，每个到期日同样只有一个行权价，虽然可以通过抵押JEX和相应的标的资产发行并卖空合约，但JEX要求100%的标的物作为保证金，会较大地抑制市场效率，这类期权行权价通常设定在标的价格附近，实际产品效果接近二元期权，完全无法作为有效对冲和应用期权策略的工具。
并非笔者吹毛求疵，一个完整的期权交易市场，需要涵盖足够多的到期日和范围足够大的行权价。期权市场的报价表实际上是一个二维矩阵（两个维度分别为到期日和行权价），每个点分别对应一对期权——看涨期权（Call Option）和看跌期权（Put Option）。Deribit是目前全世界最专业的数字货币期权交易所，以Deribit的Option Table为例，下表呈现的才是期权市场应该有的模样。

从图中可以看出，Deribit的期权交易市场中包含了五个到期日，一般情况下，到期日会包含当周、次周、当月、次月、当季、次季六个到期节点（有时候周月季的日期会重合，到期日会变成4~5个，2020年3月实际上属于下下季）。每个到期日下方有一系列行权价（协议价格），会按照标的现价以一定极距往上下两个方向展开（如图中4OCT19到期日的合约极距为500USD，25OCT19的极距为1000USD）。已有的协议价格合约在到期前不能被取消，而随之标的价格的波动，交易所会酌情增加可能达到的协议价格合约来尽量覆盖可能的波动。所以交易时间越久的到期日（比如季度合约），最终可能会出现非常夸张的协议价格范围，以Deribit为例，9月到期的合约27SEP19，行权价范围为1500USD到32000USD；12月到期的合约27DEC19，行权价范围为1500USD到52000USD。
在金融市场中，最活跃、参与比例最高的是现货（Spot）交易，其次是基于标的资产的期货（Futures）合约，期货合约交割方式分为实物交割和现金结算两种。实物交割要求未平仓交易者在到期日准备对应仓位的现金（多方）或资产（空方）在交易所进行清算交割，而现金交割在到期日将以结算价（基于到期时现货价格或标记价格）直接结算盈亏，自动结束未平仓头寸。
参与实物交割通常需要一定的资质，比如需要通过套保来对冲其商业风险的大型企业，或是大型的金融机构等等。没有通过交易所认证的一般玩家会被定义为投机者，他们没有实物交割的权限，因此必须在合约最后交易日前自主平仓（否则会被强制平仓），因此，实物交割期货在交割前会消化掉投机者的影响，其最终效果实际上等价于现货交易（空方无法实现白条做空，否则多头可以持仓不平直到到期逼仓，空方无法交割只能被动平仓）。而对于现金结算的期货，投机者无需平仓也可以持仓到期，到期时的结算价相当于提供了无限的深度，所有未平仓量同时平仓结算。现金结算的期货合约本质上和差价合约（CFD）十分相近，这类现金结算的合约都无法实现商业套保的目的。
在下周一Bakkt上线之前，目前市场上几乎没有实物交割的比特币期货合约，因此，大量持仓的期货交易者，只需要在到期时维持现货市场的价格，就能实现到期时以目标价格平仓结算的目的，在期货持仓量远高于现货交易量的情况下，市场价格容易受到资本操纵而实现不公平获利。Bakkt实物交割上线之后，相当于提供了一个市场容量较大的交割实质等价于现货交易的市场，将使得大型矿工第一次有合规工具可以实现商业套保，同时也使市场容量扩大导致现货价格难以被操纵，因此Bakkt的上线将是比特币市场里程碑式的进步。

交易员为什么喜欢期权？
前面提到的各种市场，无论是现货、实物交割或现金交割的期货、差价合约还是比特币市场创新的永续互换合约（Perpetual Swap），其盈亏都与标的资产的价格呈线性关系，即其仓位盈亏与比特币的价格变化接近1：1的关系（忽略升贴水及利率的变化），若定义delta值为仓位F盈亏对现货价格S的导数，则△ = dF/dS = 1。
i. 期权天然追涨杀跌的价格曲线
本文研究的期权价格采用Black-Scholes-Merton期权定价模型。该模型认为，资产未来的价格只与当前价格有关，与其历史价格走势无关，且标的资产未来的价格服从对数正态分布。在给定到期日和行权价K下，假定在期权有效期T时间内，隐含波动率σ和市场利率r是恒定的，则可以通过无套利定价方式精确计算得出期权价格的解析解（考虑到阅读体验，BS模型及相关公式放在文末附录中），但由于BS定价公式中包含有累积分布函数N(x)（标准正态分布概率密度函数的积分），其无法写成有限项的加减乘除或开方，因此只能通过计算机进行数值计算或以其他方式进行估算。

如图所示，蓝线代表在给定日期和行权价的看涨期权价格随现货价格变化的曲线（波动率σ=80%，到期时间T=0.5年，无风险利率/市场利率r=0%）。图中的价格下限（红线）和价格上限（绿线）是很好理解的。该期权是指在到期时以200美元买入一份标的资产的权利，因此，期权最贵不会超过一份标的资产本身的价格（绿线f=S）。红线相当持于有期权直到到期交割时的回报，为分段函数（分为行权时S200, f=S-K两段）。由于期权代表的是一种权利，因此买方相对于期权的内在价值（到期价值）需要付出更多权利溢价，这部分溢价主要与标的资产的波动率和到期时间有关，因此我们将之定义为期权的时间价值（图中浅绿色的线），具体细节将在下一节中讨论。
接下来我们来看一下期权价格曲线对应的delta值（△=dc/dS）。实际上，从定义中不难看出，delta其实就是图中期权价格曲线的斜率，我们可以明显地发现期权的delta值与标的资产价格呈正相关关系，即标的资产价格越高，期权的delta值越大，反之则反。这意味着，期权的价格自带“追涨杀跌”的功能，并且在有限的波动率和到期时间变化范围内，此类追涨杀跌是没有磨损的，换句话说，如果标的资产在短时间内暴涨暴跌，期权可以实现无磨损的“浮盈加仓，浮亏减仓”的功能（甚至如果波动率上升还能使期权的价格相应提高）。

看跌期权的delta值也有相似的性质，区别在于，看涨期权的delta是正的，而看跌期权的delta是负的。最有意思的是，二者的“追涨杀跌”的程度（delta的导数）是一致的，同时，二者的时间价值曲线也完全等价。这些性质，将在下一节讨论的PCP平价（Put-Call Parity）关系中得到证明。
相同行权价和到期日的看涨期权和看跌期权的delta值满足以下公式：
delta(p) = delta(c) - 1

ii. 在任意到期日交易任意价格的标的资产
期权比期货等简单衍生品的强大之处在于，由于期权提供的是整个Option Table交易市场，交易员可以随心所欲地根据自己对未来行情的走势判断制定复杂的交易策略。期权拥有丰富的行权价和到期日可选择，并可同时买多卖空任意期权，在交易的世界里，可以夸张地说，只有你想不到的，没有期权做不到的。
期权既可以高杠杆赌方向，也可以开套保吃溢价（Sell covered options），既能在暴涨暴跌中赚钱，也可以在不涨不跌的行情中获利（双卖期权赚时间价值），甚至可以在不赌方向的情况下赌波动率变化。例如，双买看涨看跌两个平价期权，由前面讨论的性质可知，两个期权都会“追涨杀跌式”地调整delta值，但由于平价期权的时间价值是最高的，因此该策略需要暴涨暴跌或者短期内波动率大幅上升才能盈利，反过来则可以通过双卖期权来做空波动率，但此举风险较高。
当然，虽然从表面上，期权买方拥有权利，而期权卖方拥有义务，但作为一个交易员，思路应该更开阔一些。有些时候，卖方是希望被行权的。举个例子，交易员持有一个比特币（现货或者期货多单都行），他判断14000美元会是比特币的一个顶部，希望在那个价格平仓止盈，但是BTC的价格依然在14000下方徘徊，他又担心最终比特币不会达到14000美元的价格，这个时候，他可以选择卖出14000美元的看涨期权，如果比特币在到期时涨到14000美元以上，他在14000平仓止盈的操作就可以实现了，而如果比特币到期在14000以下，他可以净赚期权权利金，这操作本质上属于一种非完全套保的操作。另一个例子，比特币在下跌，假设某交易员想在6000美元现货抄底比特币，但同样担心失去这个交易机会，那他可以选择卖出6000美元的比特币看跌期权，如果他抄不到底，获利的权利金可以作为补偿。
这里介绍的两种情况虽然效果上是卖顶和抄底的操作，但本质上都属于套保，对于后者其实可以准备现金也可以是等值的空单。这种操作就是典型的Sell covered options，也就是交易员有足够的资产/多单或现金/空单来对冲掉期权的亏损，通过卖空期权来实现止盈和抄底的操作。

卖空虚值期权既可以是认为标的达不到该价格，也可以是希望该价格被执行，但裸卖空期权一定要控制好仓位，并随时准备好对冲策略，保证做到风险可控，否则将很有能面临巨额的亏损。

昂贵的期权时间价值
i. 看跌看涨期权平价关系（Put-Call Parity, PCP）
早在BS期权定价模型出来之前的几十年前，西方的期权交易商就已经在交易中发现了PCP平价关系。PCP平价关系可以通过构建两个等价的资产组合来证明：
组合A：一份看涨期权c加行权时所需的现金Ke^(-rT)
组合B：一份相同到期日和协议价格的看跌期权p和一份标的资产S
在期权到期时，两个组合的价值均为Max{S，K}，则对于不能提前执行的欧式期权，两组合在时刻t的价值也必须相等（无套利定价），即：
c+Ke^(-rT)=p+S
这就是PCP平价关系公式。
S-Ke^(-rT)=c-p
对于平价期权c=p，对应的现货价格为S=Ke^(-rT)“对于不熟悉远期/期货合约定价的读者来说，可能会对e^(-rT)这一项感到困惑，这一项对应于无风险利率r（或交易市场利率）连续复利的贴现，即将Ke^(-rT)投资于无风险债券中，在到期时T=0得到的现金流正好等于行权所需现金额K。实际上，如果以相同到期日的期货合约交易价格F作为参考，平价期权对应价格则为F=K，此时e^(rT)正是期货价格相对现货价格的溢价率。觉得麻烦的读者也可以将市场利率r近似认为接近零，则该项接近于1，对应期权定价来算误差不算太大。”
通过对PCP平价关系公式的移项，可以组合出各种效果。例如：
c-p = S-Ke^(-rT) = (F-K) e^(-rT)
注意F-K实际上就等价于在对应到期日的期货合约在K价格做多一份资产，如果忽略利率项，实际上我们就可以通过期权组合出期货。
买入看涨+卖出看跌（到期时间T，行权价K）=在到期时间T的期货合约上以K价格开多
反过来p-c = (K-F)e^(-rT)则是在K价格做空。
注意，PCP平价对任意到期日和任意行权价都成立，因此通过期权可以组合出任意成本的期货持仓（当然已实现盈亏已经在期权的权利金差额中收取了）。
实际上，结合上一节第一部分讨论的期权delta值曲线可以发现
delta（c-p）≡ 1 等价于一份资产多单
delta（p-c）≡-1 等价于一份资产空单
PCP平价关系在策略开发中运用可以总结如下表：

ii. 期权的时间价值曲线
在了解PCP平价公式后，我们可以证明，在相同到期日和行权价的情况下，看涨期权与看跌期权的时间价值是完全相等的，因此我们只需要研究看涨期权的时间价值。

从图中可以看出，期权时间价值的定义为：
期权时间价值 = 期权价格 – 期权内在价值
期权的时间价值是在期权尚未到期时，标的资产价格的波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。期权的时间价值是反映了期权多头权利义务不对称这一特性，需要由多方承担，这部分额外的溢价有时候也被称为期权溢价。
期权时间价值的变动与期权的剩余到期时间和标的资产的波动率有关，同时期权的时间价值也会受内在价值的影响在期权平价点时间价值达到最大，并随期权实值量和虚值量的增加而递减。
图中浅绿色的线即为期权的时间价值曲线。从定性的角度可以分析出，期权时间价值在平价点达到峰值，左右不完全对称，右边略高于左边。结合和看涨期权和看跌期权的delta曲线可知，时间价值曲线在平价点左边的斜率（delta>0.5）略大于右边的斜率绝对值(delta>-0.5)，左边的斜率恒等于delta(c)，右边的斜率恒等于delta(p)，在平价转折点处斜率差值为-1。
实际上，由于期权内在价值的斜率是恒定值（0或±1），期权的delta曲线变化本质上就是时间价值的delta曲线变化，因此看涨期权和看跌的delta曲线才会完全一样（delta(c) = delta(p) + 1）。
期权的时间价值在平价点最大是一个很有意思的结论，也很容易得到证明。假设虚值，平价和实值期权时间价值都等于X（注这里单指期权时间价值而非期权总价），对于虚值期权，标的资产还需要更多的波动才能进入实值，显然在相同价格下一定会选择平价期权。而对于实值期权，相同时间价值情况下平价期权未来的收益大于等于实值期权，因此还是会选择平价期权，所以平价期权的时间价值一定是最大的。
由于时间价值在期权到期时一定会归零，从时间的角度上看，平价期权实际上是最贵的期权（或者说时间溢价最高）。
通过BS期权定价公式可以精确的计算出期权的时间价格曲线，但由于BS公式较复杂，通常需要用计算机进行计算，下面笔者介绍一种简单的近似计算平价期权时间价值的公式。
这一公式本质上是由BS公式在一定条件（σ*sqrt(T)足够小）下的近似，推导如下：
由附录中可知期权定价公式为
c = SN(d1)-Ke^(-rT)N(d2)
在平价点S = Ke^(-rT)，则
c≈S（N(d1)-N(d2)）
当σ*sqrt(T)足够小时，平价点处d1=σ*sqrt(T)/2≈0，且d1 – d2 = σ*sqrt(T)则公式可进一步近似为：

最后一个等式用了累积分布函数N(x)的导数为标准正态分布概率密度函数：

因此多了个1/sqrt(2*pi)≈0.4。
该近似公式适用于σ*sqrt(T)较小的情况，σ*sqrt(T)越小，近似越精确。
从公式中我们也可以看出，平价期权的时间价值大致与波动率σ成正比，与到期时间的开平方sqrt(T)成正比。
通过该公式可以方便有经验的期权交易员估算平价期权合理的价格，从而快速地确认当前市场定价是否合理以发现套利机会和制定交易策略。
好了，本文最干的内容差不多到此为止了。由于BS公式较复杂且参数很多，笔者尽量规避了在文章中直接引用一堆复杂的公式，而通过图片及描述，先定性后定量地大致介绍了期权的相关基础知识，以便读者能够读懂后面的内容。下一节将介绍币本位的期权价格曲线，从而揭露一些当前币圈期权交易特有的可能遇到的陷阱，然后介绍一种可以规避该风险的新思路。

币本位期权价格曲线
Deribit是目前最专业且活跃度最高的数字货币期权交易所。下表展示的是当前Deribit 12月到期的Option Table。

可以看出，Deribit的所有期权报价都是以比特币为记账单位的，有辅助工具可以在下方显示换算之后的美元价格。以1万美元的看涨期权为例，买个这个期权需要花费0.1575btc，约为1622美元，因此，大致可以推算，比特币需要上涨到11622美元以上，该期权合约才能开始盈利。然而，事情并没有这么简单。在币本位的视角里，实际上比特币需要涨到10000/(1-0.1575) = 11869.43美元以上，才能回本。因为你实际上花了0.1575btc去购买1btc的看涨期权，所以只能获得0.8425btc涨幅带来的利润，或者换个角度想，其实就是你丢掉了原来持有0.1575btc所应获得的收益。再举个例子，假设当前12000美元的看涨期权价值0.1btc（等于1000美元），则买方需要在比特币涨到12000/（1-0.1）= 13333美元以上才能开始盈利，比美元本位的情况下多了333美元。
由泰勒展开式
1/(1-x) = (1+x+x^2+x^3+x^4+…)
可知，当你花0.1btc购买了一个看涨期权，需要比特币在行权价上至少再上涨10%才有可能获利，花费的x越大，需要的涨幅越高，这就是币本位环境下的期权交易陷阱。
当然，解决这个问题的方法其实很简单，只需要在买入期权的同时，在现货市场中补充等值的比特币，或者直接在期货合约上开等值的多单，这样收益率就可以转化为跟美元本位的情况下一模一样。然而，由于Deribit只接受币本位，包括很多玩家也习惯了币本位操作，从现货市场补货充值或者在期货合约是增加净多头头寸，无论从理性角度还是从便利性角度来看都不是很方便。
尽管Deribit的期权是以币本位计价的，但是记账单位的改变在本质上并不会影响期权合约的性质，因此BS期权定价模型完全适用，只需将记账单位进行转换即可。

图中展示的即是币本位看涨期权价格曲线。
将BS公式代入表达式中可得出币本位看涨期权的解析表达式如下：
b = c/S = N(d1) – (K/S) N(d2)e^(-rT)
delta值依然遵循美元本位下的定义，因此没有变化：delta = dc/dS = N(d1)
因此，从美元计价的角度，该期权合约还是“追涨杀跌”的。
但是，作为币圈的玩家，许多人都是币本位的，因此我们进一步探索下币本位的收益率曲线。
图中蓝线b即是在没有对冲情况下的币本位期权价格曲线，与美元本位情况下的一个明显区别是，b的斜率不再是“追涨杀跌”了。
考察b’=db/dS，不难发现b’在前期随着S的增加而增大，而在后期开始随着S的增大而减小，这之间存在一个拐点，关于拐点的计算放在本节最后讨论。
因此，可以发现，在拐点之后，比特币看涨期权在币本位的视角下收益率越来越低，使得再持有币本位看涨期权显得非常不划算。
看着币本位看涨期权的价格曲线，仿佛有一股无形的地心引力压制着其收益率，不禁让人想起那句经典言论：“再牛逼再努力也跑不过比特币。”

当然，这背后的逻辑显然与比特币无关。
在讨论背后的数学逻辑之前，我们可以先对比下美元本位下与币本位下的期权曲线：

敏锐的读者可能已经发现，其实币本位收益曲线与美元本位收益曲线的差异只不过是同一合约在不同本位视角下的变换，这一情况下实际上在期货合约中也存在，即币本位计价（反向合约）与美元本位计价（正向合约）的差异。

如图所示，红线对应在10000美元处开多一个比特币的币本位情况下的收益率曲线，蓝线则对应美元本位下的收益率曲线。而这两条曲线，正分别对应着币本位和美元本位下行权价为10000美元的期权内在价值。当期权深度实值或虚值时，时间价值趋于零，其两端价格曲线必然向内在价值曲线靠拢，因此只要能理解币本位反向合约的收益曲线，就不难理解看涨期权b曲线斜率越来越低的现象了。
看涨期权曲线拐点计算：
基于与BS的期权定价模型，币本位的看涨期权价格曲线也是完全解析的，因此理论上可以精确计算出该曲线b的拐点，曲线拐点就是其斜率b’的转折点，同时也是其二阶导曲率b”的零点，因此曲线的拐点并不难通过计算机计算得到。
b = c/S = N(d1) – (K/S) N(d2)e^(-rT)
b’= db/dS
由于本文主要目的是科普，笔者不想在文章中放过多的公式而影响读者的阅读体验，因此在前面也只介绍尽量少的期权希腊值，但这里为了方便表示b曲线的曲率，有必要介绍一下期权的另一个希腊值gamma（γ）。
gamma的定义其实很简单，即斜率delta (△)的对资产价格的偏导
γ = d△/dS
从delta曲线单调递增的特性看来，不难发现期权的γ值恒大于零，其实γ值就是期权价格c的二阶导数c”表征的是曲线的曲率，由于γ恒大于零，其实际上就表征着c曲线在不同价格下“追涨杀跌”的程度
通过微分计算可得
b”= db’/dS = (γ-2b’)/S
因此当b”= 0，即γ-2b’=0时，计算出来的X价格对应的就是b曲线的拐点。
同时可以发现拐点的相对位置x = X/K仅与到期时间T、波动率σ和无风险利率r三者有关。其中的两个变量是σ*sqrt(T)/2和r，当σ*sqrt(T)/2增加时，x会变小，也即拐点将前移；当波动率与时间恒定时，x会随着r的增加而减小。即x与三个变量参数都是负相关的，变量越大，x越小，拐点的相对位置越靠前。
特别地，当r = 0，σ*sqrt(T)/2 = 0.239时（模拟计算值取波动率σ=95.6%，到期时间T=0.25年）：
X/K ≈ 1
即b曲线的拐点正好在平价点的位置。在这种情况的，买入币本位平价看涨期权，随着比特币价格的上涨，收益曲线斜率将越来越低。

币本位视角下的期权转换（美元期权）
既然问题背后的根源已经搞清楚了，那么没有什么问题是交易员们解决不了的了。
“这个世界在寻找更好的比特币和更好的以太坊。殊不知，我们只需要更好的交易员”
上一节中，我们已经聊清楚了，币本位收益曲线与美元本位收益曲线的核心差异在于本位视角不同，我们只要换个视角就行了。
什么是比特币看涨期权？
行权价10000美元的比特币看涨期权，指买方有权力在到期日将10000美元换成一个比特币。
换个角度来看，买方同样有权力在到期日将一个比特币换成10000美元（等价于1万份0.0001btc换成一美元）。
意思就是，一份10000美元的比特币看涨期权等价于10000份0.0001btc行权价的美元看跌期权。同理，一份10000美元的比特币看跌期权等价于10000份0.0001btc行权价的美元看涨期权。
考虑一个币本位的正向合约（合约大小固定为10000美元），则其收益率曲线如下图：

该直线正对应着美元看跌期权的内在价值，因此，变换之后的美元看跌期权曲线如下：

因此，在币本位的视角下，美元看跌期权的价格曲线形态正是我们所熟悉的。而美元看跌期权完全等价于比特币看涨期权。同理，

变换之后，所有的性质与传统市场中的期权一模一样，因此传统的期权交易策略，包括差价组合、差期组合和对角组合等等都可以直接应用在数字货币的期权市场中。
变换过后，期权的几大参数K、T、σ、r、S中，分别变换如下：
K’= 1/K，S’=1/S，r’= -r，T’=T，σ’= σ
有一点需要注意的是，原来一份10000美元的比特币看涨期权对应于10000份0.0001btc的美元看跌期权，而5000美元行权的比特币看涨期权则对应于5000份0.0002btc的美元看跌期权，因此行权价为K的期权合约转换之后对应为K份的1/K btc的美元期权。
注意好这些细节后，传统市场中的期权交易经验就可以完全适用在币本位的数字货币期权市场中。本位转换的思路告诉我们，美元是货币，比特币也是货币，两者作为计价单位没有任何区别。

结语
本文力求严谨，所有图片及数据均由计算机计算，所有未声明为近似解的公式均为精确解，并保留了完整的解析式，欢迎学术交流与探讨。

附录
1. Black-Scholes-Merton期权定价模型：

2. 课程视频：《金融工程》（厦门大学-郑振龙）

3. 推荐书籍：
《James Cordier, Michael Gross - The Complete Guide to Option Selling》 (2009, McGraw-Hill)

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