波动率微笑曲线与外汇期权定价模型

文章来源：《中国货币市场》2016.04 总第174期
交通银行金融市场业务中心周臻

在市场业务发展对期权定价提出更高要求的背景下，就常用的期权定价模型，包括无风险利率与波动率为常数假设下的Black-Scholes模型、随机波动率假设下的Vanna-Volga模型和SABR模型，文章简要介绍了其模型特征、模型隐含的市场策略构建和模型的现实适用情况。
2011年4月中国银行间外汇市场推出人民币对外汇期权交易，随着人民币汇率双边波动渐成常态，企业及金融机构对期权业务的需求日益提高，同时也对期权定价提出了更高的要求。本文将简要介绍几个常用的期权定价模型。
一、Black-Scholes 模型
在各类期权定价模型中，最经典的期权定价模型莫过于Black-Scholes模型，Garman和Kohlhagen（1983）将其扩展至外汇市场。BS模型将期权标的资产视作随机过程，而将无风险利率与波动率视作常数，假设外汇即期汇率
遵循几何布朗运动，即满足随机微分方程(SDE)：
，其中
和
分别为本币和外币的无风险利率，
为
的波动率，均为常数，
为布朗运动。使用伊藤引理可推导期权价格
的一阶差分方程。
用期权和外币债券
构建自融资（ self-financing）组合，
为本币资产，该组期望回报等于本币无风险利率
，经数学处理，可将期权SDE ，或BS SDE 简化为：
。
风险中性测度下该SDE的解为期权到期回报的期望值
。利用不同期权到期时的边界条件可求出该期权的解析价格。
二、随机波动率模型
BS模型因其简洁易用成为外汇欧式简单期权广泛采用的定价模型。对部分奇异期权，BS模型也能提供解析解。但是该模型的限制条件极为严苛，波动率和利率均为常数的假设与实际金融市场情况相去甚远。真实即期汇率的收益并不遵循正态分布，尾部风险比正态分布描述得更多。事实上，出于对极端情况的对冲目的，客户和交易员更倾向于购买深度价外的期权，因而同一期限的波动率曲线传统上被称为微笑曲线（volatility smile），尽管并不总是微笑形态。对某一期限，波动率可以表达为行权价的函数
。对于短期期权，波动率的随机性比利率的影响更为突出。许多模型被用来描述随机波动率。
1.Vanna-Volga模型
将BS模型的框架扩展到波动率为随机变量的条件下。利用伊藤引理对期权进行二阶展开，有

BS模型推导过程中，仅即期价格为随机变量，因而构建包含即期的策略
，用
动态对冲即期风险。波动率为随机变量时，需对冲二阶以内的波动率相关风险。Vanna-Volga方法仅用少量市场上流动性最好的产品构建对冲策略，用来对冲期权的Vega、Vanna和Volga。这三个敏感性指标是波动率的主要风险，
是期权价格对波动率的敏感性，
是期权Vega对即期的敏感性，
是期权Vega对波动率的敏感性。因而VV方法可以视作考虑了波动率微笑的模型。
假设
为市场上某一期限T成交最活跃的期权行权价，
为相应的欧式简单看涨期权价格。对同一期限任意行权价为K的期权
，用外币债券
和
构建自融资组合

由伊藤引理可以得到

选取适当的
和
可消除随机项，如对简单欧式期权C，
有唯一解：

其中
为行权价为K的简单欧式期权的vega值。
期权的VV价格被定义为在其BS价格上加上对冲随机波动率的成本（或微笑成本，
）作为修正，
分别代表了以
对冲期权微笑成本的权重，即
其中
为期权的BS价格（BS假设下
），
为期权的市场价格。可用外汇市场上成交最多的平价期权（ATM）、风险逆转组合（RR）和蝶式组合（BF）（一般为25D RR与25D BF）替代。之所以用RR和BF来做对冲组合，一是其在外汇期权市场上流动性较好，二是RR主要含Vanna风险而BF主要含Volga风险。
最简单的VV定价模型为

这里RR的Volga、BF的Vanna、以及Vega的对冲成本均被忽略了。
更一般的VV模型可写为

从定义上来说ATM期权的微笑成本为0。因而有

其中，

对简单欧式期权，VV模型给出了较好的估值。但是对奇异期权，模型结果通常偏大，因而在实际使用中，引入两个衰减系数
和
，模型修正为

和
需满足即期价格在接近障碍水平时衰减，而在远离障碍水平时趋向于1，从而令障碍期权接近于欧式期权。市场通常采用生存概率（survival probability）或期望首次退出时间(first-exit time)①。
2.SABR模型
VV方法只是经验法则，其随机性在数学上并不严格。由BS模型衍生出的许多著名随机波动率模型，通过将瞬时波动率视作另外的随机变量增加一个SDE，仍然将期权价格定义为风险中性期望。例如Heston模型，假设波动率为均值回归随机过程

SABR模型则假设远期价格Ft和波动率均为随机过程，满足

其中Wt和Zt为两个相关的布朗运动，满足
。
决定了远期平价波动率的水平，
决定了波动率曲线的倾斜度，
决定了波动率曲线的凸度。
SABR模型不是纯粹的期权定价模型，严格说只是随机波动率模型。它不直接给出期权价格，而是给出隐含波动率曲线。通过奇异摄动（singular perturbation）方法可解出SABR模型下波动率的近似解

其中

为t时刻到期日为T的远期价格。

时F遵循正态分布，而
时F遵循对数正态分布，通常外汇市场采用
。通过Powell或Levenberg-Marquardt算法，根据已知的市场波动率价格可校准
这3个参数，求出最小误差的数值解。选定参数估值后，波动率为行权价和远期价格的函数，即可构建波动率曲线
，则对任意行权价K可得到相应的，对简单欧式期权应用BS模型即可得到价格。对奇异期权，可通过Monte Carlo方法模拟汇率与波动率的分布，根据模拟结果定价奇异期权。
三、总结
总体而言，BS定价模型最为简易，其推导框架是其他期权模型的基础，但它假设的波动率为常数与市场情况相悖。许多模型被研究用来描述波动率微笑曲线。VV模型能快速计算结果且易于使用，但仅是经验法则，数学上并不严格。它只需要同一期限波动率曲线上的3个已知点即可构建整条曲线，但外插部分误差较大。随机波动率模型拟合度优于VV方法，但通常需要精细的校准过程以找到合适的参数来拟合市场，涉及大量数值计算，速度明显逊于VV方法，对流动性较好、成交价格多的市场更为适用。
目前国内银行间市场人民币对外汇期权仅有简单欧式期权，普遍采用BS模型进行定价。VV模型和SABR模型更多地用于奇异期权。国际市场上，奇异期权的成交量占整个外汇期权市场的大部分。和普通期权相比，奇异期权更为灵活，可大大降低买入方的成本，势必成为人民币期权市场未来的发展趋势，届时随机波动率定价模型将有更多的用武之地。
注释
① 交易数据选用支付固定利率方和名义本金。

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