股票期权定价与历史波动率

               股票期权定价与历史波动率
                     于德浩
                     2019.4.24
期权定价模型的BS公式，数学模型很好，但是在实际金融衍生品交易中没啥用。首先，期权报价与理论定价在大部分时间相差无几，套利空间很小。其次，如果出现大幅偏离理论价格的情形，要是再进行价值回归，可能就是致命的。历史上，金融专家组成的对冲基金曾经在3年时间中，进行大量微小套利，总体年收益还不错。但在第4年，价差偏离增大，他们本以为这是大赚特赚的时机，可是最终他们破产了，3倍西伽马以外的事件终于在现实中发生了。
如果只是预估股票期权的大致价格范围，是没必要那么复杂的。比方说，股票价格大约平均每月波动4%。对于30天的认购期权，买方希望价格越低越好，大约占比正股的2%即可；而卖方当然希望价格越高越好，希望收到6%的权利金才能弥补可能股价暴涨带来的无限亏损。双方讨价还价一番，折中一下，决定成交价格就定为正股价格的波动率，即4%，就是（2%+6%）/2=4%。
现实的案例，当前50ETF报价2.958元，平值期权2.95认购29天的价格是0.0986元，大约占比0.0986/2.958=3.3%，这与粗略估算的4%差不多。更复杂的期权定价公式显示理论价格是0.0959元，比市场成交价格略小。
平值期权的价格主要与股价波动率相关，其粗略价格大约就是正股价格*平均波动率。我这里说的波动率是最原始的简单波动率，与数学定义的波动率不太一样，但也基本差不多。比方说，股价第一个月上涨3%，第二月下跌2%，第三个月反弹上涨5%，粗略目测一下，每月平均波动率大约是3.3%。
举例，股价的波动情形是，10-11-10-9-10。显然，每天的波动值是1，每天的波动率就是1/10=10%，这就是简单波动率的直观定义。每天股价变化值的绝对值，然后再求平均。
（ABS（11-10）+ABS（10-11）+ ABS（9-10）+ABS（10-9））/4=1；
  1/10=10%；
在金融学教材里，波动率的定义就很复杂。第一步，求出每天期末价格/期初价格的自然对数；第二步，这几天的自然对数组成的数据分布，求标准差；第三步，根据随机分布叠加原理，求年化波动率。一年大约有350*5/7=250个交易日，每天波动率*250^0.5=每年波动率。
举例，在中信证券的行情软件里，今天vix.shtml" target="_blank" class="relatedlink">50ETF期权的历史波动率及隐含波动率分别是26.19%及26.40%。也就是最近20个交易日，股价的每天波动率是26.19%/16=1.6%。这个与我们直观看到的简单波动率是不一样的，大体目测一下，每天股价涨跌应该平均在1%以内，也就是大体0.5倍的对应关系吧。
为什么金融学教材对波动率的定义这么复杂呢？我估计，主要是为了规避对大量数据求绝对值。我们先简单的看一下10-11-10-9-10，这个按照复杂定义是如何计算的。
第一步，求自然对数ln(A2/A1)。{0.0953，-0.0953，-0.1054，0.1054}；
第二步，求标准差。（0.0953-0）^2+(-0.0953-0)^2+(-01054-0)^2+(0.1054-0)^2=0.0404;
         0.0404/4=0.0101;； 0.0101^0.5=0.1005；
第三步，暂略。
这种复杂方法求出的每天波动率0.1005与我们简单直观的波动率0.1是近似相等的。这里有两个近似条件，一是每天的股价变化是很小的，近似于0。这样ln(1+x)=0+x-x^2/2，在0附近的泰勒展开一阶近似，ln(A2/A1)=ln(1+dA/A)=dA/A。二是股价总体是零波动的，即dA之和是0；股价期初是10元，四天后期末还是10元。这样，绝对值之和求平均，与方差之和求平均再开方就相等了。
在上面的简单小例子中，这两个近似条件都满足，所以复杂定义的波动率与我们直观的简单波动率是一致的。但是，现实中股价的波动是不满足第二个条件的，所以这里得出的波动率就不是直观意义的股价波动了。当然，无伤大雅，这还是大体正比变换的。比方说，计算机给出的波动率是1.6%，其实股价波动是0.8%；如果，计算机软件给出的波动率是2.6%，那其实股价波动就是1.3%。
为什么要把简单的直观波动率复杂化呢？我不明白。与简单的波动率相比，这种复杂化处理，使得自然对数值与真值有所偏离。这个求解的自然对数值要大于真值，也就是，当股价上涨，正偏离时，复杂波动率会比真值更大；当股价降低，负偏离，这个计算出的复杂波动率就相对真值更小。
简单直观的波动率是对偏离值的绝对值求平均，而标准差是对偏离值的平方求平均再开根号。这里实际用了最大近似条件2a1a2