【交易技术前沿】美式期权定价近似方法研究 / 张娟，董锐，左涛

本文选自《交易技术前沿》第十八期（2015年3月）。

张娟，董锐，左涛
大连商品交易所
华中科技大学
E-mail:zhangjuan@dce.com.cn

摘  要：期权作为一种衍生性金融工具，由于其独特的非线性损益结构，成为了金融市场风险管理的重要工具。在期权的理论研究工作中，期权定价模型的研究具有很强的实用价值，目前国际主流交易所和清算所主要使用三种经典的期权定价模型及其改进的模型，它们是Black-Scholes期权定价模型，二叉树期权定价模型以及BAW期权定价模型。其中BAW期权定价模型既适用于美式期权，又有较高的计算效率，是本文研究的重点。但是由于其在求解微分方程过程中使用了一些近似条件，使得它的期权定价相对于二叉树期权定价模型来说存在一定的误差。本文提出了蒙特卡罗-回归分析的方法来修正此误差，此方法首先通过回归方程估计BAW期权定价模型的误差与其相关因素（标的物价格、期权执行价格、波动率、无风险利率、距离到期日日期）之间的统计关系，再将回归系数代入到BAW期权定价模型中，通过估计模型误差达到模型修正的目的。本文还使用了统计模拟数据和大连商品交易所豆粕1305合约的实际数据对模型修正的效果进行了验证，结果表明回归法修正的BAW期权定价模型误差比原始模型误差有了显著的降低。
关键词：期权定价模型；回归分析；蒙特卡罗法；Black-Scholes微分方程

      1 引言

   随着股票市场、商品期货市场等金融市场的发展，期权作为一种基于股票、期货等标的物的衍生性金融工具，由于其独特的非线性损益结构以及套利和风险规避的功能，逐渐受到我国金融市场投资者的重视，对期权的理论研究工作也越来越重要。

   在期权的理论研究工作中，对期权定价模型的研究具有很强的实际应用价值，也相对比较复杂。对于衍生品交易所来说，期权定价模型主要应用于以下几个方面：新期权合约挂盘时确定开盘价格；每日结算时确定期权系列合约的隐含波动率，delta值等风险参数；当日无成交时计算期权的理论结算价格；盘中实时计算保证金风险参数，以监控账户风险等。因此，一个高效、精准的期权定价模型对于金融衍生品市场来说极其重要。但是由于期权的价格受多种因素影响，例如标的物价格、距离到期日时间、执行价格、是否提前行权、波动率等，以及其非线性的损益结构，使得对期权的定价十分困难。

   近三十年来，国际金融界对期权理论的研究和应用投入了巨大的关注。1973年美国数学家费雪布莱克（Fischer Black）和梅隆舒尔斯（Myron Scholes）提出了世界第一个期权定价模型–Black-Scholes期权定价模型[1]。此模型在无风险套利理论的基础上，通过求解二阶偏微分方程得到欧式期权的解析解，计算快速、简洁、准确度高，被业界广泛认可和应用，但此模型最大的短板在于其不能应用于美式期权。

   目前大部分金融市场使用美式期权，即期权可以在到期前的任何时刻执行，这就牵扯到期权的最佳执行时间问题，目前仍没有很好的解决方式。一般情况下，美式期权没有精确的解析定价公式，只能使用近似解析方法或数值方法求解。经典的数值方法主要有：二叉树图法（由Cox、Ross和Rubinstein在1979年首先提出[2]）、有限差分法和蒙特卡罗法等。国内的研究人员对于数值方法也有很多改进，李东等用小波的方法来计算美式看跌期权的定价[9]，张铁等用有限元的方法得到美式期权定价[11]，同济大学的姜礼尚等人对美式期权二叉树的收敛性问题以及多资产的美式期权定价都有研究[10]。数值方法计算美式期权定价相对比较准确，但是由于计算步骤繁多，因此效率较低。

   1987年Barone、Adesi和Whaley在Black-Scholes微分方程的基础上，融入了美式期权的自由边界问题，提出了美式期权的近似解析方法，这就是著名的BAW期权定价模型[3]。BAW期权定价模型有效的提升了计算速度，但因在求解过程中使用了一些近似条件，而使结果没有数值方法精确。如何在保持BAW期权定价模型计算效率的前提下，提升其计算精确度，是本文的主要研究目的，而目前尚没有其他研究给出有效的结论。

   本文的结构如下：第二章介绍经典的期权定价模型，包括Black-Scholes期权定价模型、二叉树期权定价模型和BAW期权定价模型并对这三种模型进行比较分析；第三章提出BAW期权定价模型的修正方法–蒙特卡罗-回归分析法的主要思想；第四章通过统计模拟法分析BAW期权定价模型的修正结果；第五章将修正的BAW期权定价模型应用于大连商品交易所豆粕1305合约的每日结算价数据中。

      2 经典期权定价模型介绍

2.1 Black-Scholes期权定价模型

   期权是指买方向卖方支付一定数量的金额（权利金）后拥有的在未来一段时间内（美式期权）或未来某一特定日期（欧式期权）以事先规定好的价格（执行价格）向卖方购买或向买方出售一定数量的特定标的物的权力，但不必有必须买进或卖出的义务（虚值期权在到期日可放弃行权）。既然期权给予它持有者的是一种权力而非义务，它必然有一定的价值，即期权的价格，计算期权的理论价格就是期权定价问题。

   求解期权定价问题的一种经典方法是解析法。解析法是利用数学公式推导计算的方法，在经典的Black-Scholes期权定价模型中，解析法主要通过对标的物价格行为模型的假设（维纳过程）以及微积分的重要定理（伊藤定理），推导出著名的Black-Scholes微分方程，再求解此微分方程得到期权价格的解析表达式。

Black-Scholes 期权定价模型中欧式期权的定价公式为

   其中c为欧式看涨期权价格，p为欧式看跌期权价格，S为股票价格，K为执行价格，r为无风险利率，T为距离期权到期日的时间，N(x)为标准正态变量的累积概率分布函数，

   由于Black-Scholes期权定价模型经过严格的数学公式推导，计算结果精确无误，且有显性的解析表达式，计算迅速高效，因此一经提出，便得到金融界广泛的认可和应用。不过它也存在明显的局限性，即它只适用于欧式期权，而对于美式期权，由于提前行权的可能性使得期权定价更加复杂，目前还无法通过解析法得到精准期权定价公式。

2.2 二叉树期权定价模型

   目前大部分金融市场使用美式期权，即期权可以在到期前的任何时刻执行，这就牵扯到期权的最佳执行时间问题。目前比较普遍的美式期权定价方法是数值法和近似解析法，其中经典的数值法主要有：二叉树图法、有限差分法和蒙特卡罗法等。这里我们简要介绍二叉树图法，它的主要思想是假设股票价格的波动相互独立且具有二项分布。也就是说，在一个很小的时间段t内，假设股票价格S以p的概率上涨到uS, 以1-p的概率下跌到dS，再把期权的有效期分为n个相等的小时间段（步数为n），在每个时间段结束时，股票价格都会有这样的波动。二叉树的定价过程即模拟股票价格的波动来计算期权价格的过程。

   美式期权二叉树定价模型的求解过程是一个递推过程，且在递推的每一步还要考虑期权提前行权的可能性，即比较期权价格与股票价格和执行价格的差值，因此二叉树期权定价模型使用的数值法没有封闭的解析解，且计算速度与二叉树的步数有直接关系，一般选取n=1024步或更长的二叉树以达到要求的精度，计算速度平均为0.5到1秒。

   二叉树期权定价模型计算效率较低，其他求解美式期权定价问题的数值方法如有限差分法和蒙特卡罗模拟法，也都存在相同的问题，无法满足期权定价实时性的要求，因此在1987年Barone、Adesi和Whaley提出了计算美式期权价格的BAW模型，通过使用近似解析方法，在牺牲少量计算精确度的条件下，大幅提升了计算效率。

2.3 BAW期权定价模型

   BAW期权定价模型是在Black-Scholes欧式期权定价模型的基础上，融入了美式期权的自由边界问题，采用了近似解析方法推导得到。以下将简要介绍BAW期权定价模型的数学推导过程。

   首先将美式期权价格分为两个部分：欧式期权价格和由于合约增加了可以提前执行的权力而增加的价值，称为提前行权权利金  ε_c (S,T)=C(S,T)-c(S,T)
   其中ε_c (S,T)为提前行权权利金，C(S,T)为美式期权权利金，c(S,T)为欧式期权权利金。由于C(S,T)是时间和股票价格的函数，跟c(S,T)一样满足Black-Scholes微分方程，因此ε_c (S,T)也满足Black-Scholes微分方程

   令T为距离到期日的时间，则ε/t=-ε/T，令M= 2r/σ^2 ，将上述微分方程进行简化得到

   假设ε_c (S,T)=K(T)f(S,K), K(T)=1-e^(-rT),上述方程简化为

   到目前为止，微分方程的推导过程十分严格，没有任何近似的过程。现在假设(1-K)M f/K=0 ，上述方程简化为

   解此微分方程得到

   其中参数a未知，求解a的过程需要考虑美式期权的自由边界问题，在自由边界上，美式期权的执行获利值相等，并且一阶微分也相等，则

其中

   解上述方程组，得到

      自由边界S^*满足

   通过牛顿迭代法可求解S^*。则BAW美式期权的定价为

   其中A=( S^*/q){1-N[d_1 (S^*)]}

   在求解BAW期权定价模型的过程中，共使用了两次近似，使得BAW期权定价模型的解不够精确。首先是在简化微分方程(2)时，使用了(1-K)M f/K=0的近似。其次是在求解自由边界S^*(方程6)时，使用了牛顿迭代法。当牛顿迭代法使用的迭代次数足够多或者相对误差控制在一个可接受的范围之内时，由牛顿迭代法产生的误差可以忽略。所以BAW期权定价模型的误差主要是由于(1-K)M f/K≠0引起的。

2.4 经典期权定价模型比较

   假设二叉树模型（步长为1024步）得出的期权定价为期权理论价的准确值，则BAW期权定价模型的相对误差在千分之一的量级上[3]。但在计算速度上，BAW期权定价模型有明显的优势。步长为1024步的二叉树模型需要计算1024*(1024+1)/2次，而迭代次数为1024次的牛顿迭代法只需计算1024次。表1给出了Black-Scholes期权定价模型、二叉树期权定价模型和BAW期权定价模型的对比情况。

期权定价模型  适用范围  计算精确度  计算速度

  Black-Scholes欧式期权很高10(-5)秒量级

  二叉树欧式及美式期权步长足够长时（n>1024），很高0.5到1秒

  BAW美式期权较高，与二叉树期权定价模型的相对误差在千分之一量级10(-3)秒量级

表1：Black-Scholes、二叉树和BAW期权定价模型对比表
   总体来说，Black-Scholes期权定价模型计算准确、高效，但是仅适用于欧式期权；二叉树期权定价模型在步长足够长时计算准确，且适用于欧式期权和美式期权，但是由于其树状结构，节点众多，导致计算效率过低，不能满足实时计算的要求；BAW期权定价模型相比二叉树期权定价模型，牺牲了较少的计算精确度，但计算效率得到了大幅提升。

2.5 国际主流交易所期权定价模型使用情况

期权定价模型  CME  Eurex  LCH  OCC  NOMX  HKEx

  Black-Scholes（Black76 ）√ √ √√

  Cox-Ross-Rubinstein(二叉树)√√√√√√

  Adesi-Whaley（BAW）√

  其他Meton , Bachelier Gaman&Kohlhagen Model

表2：国际主流交易所或清算所期权定价模型使用情况
   Black-Scholes、二叉树和BAW期权定价模型各有优劣，都被广泛应用于国际主流交易所的期权定价问题中。表2是国际主流交易所或清算所期权定价模型使用情况汇总，从表2可以看出，国际主流交易所主要使用Black-Scholes期权定价模型和二叉树期权定价模型，这是由于这两种模型的计算精确度高，方法也被广泛认同。但是国际交易所与国内交易所不同，它们没有盘中实时风控的要求，只需要进行盘后清算或盘中旁路风控，所以对期权定价模型计算速度的要求不高。我国对盘中账户风险控制严格，需要交易前实时的计算交易保证金，所以对期权定价模型的计算效率要求很高。此时二叉树模型已不能满足要求，具有较高计算效率的BAW期权定价模型更为适合，但BAW期权定价模型的计算精确度不是很高，与二叉树模型有千分之一量级的差异。因此需要一种BAW期权定价模型的修正方法，在保持其计算效率不变的前提下，进一步提高其计算精确度，这也是本文研究的一个主要目的。

      3. 蒙特卡罗-回归分析法修正BAW期权定价模型

   目前对BAW期权定价模型修正方面的研究文献很少，仅有的研究也是通过解析法对BAW期权定价模型中的微分方程求解过程进行修正[12]，难度很高，修正效果也不理想。本文将通过数值方法—蒙特卡罗回归分析法对BAW期权定价模型进行修正。蒙特卡罗回归分析法的主要思想是根据期权价格与其相对应的标的物价格、波动率、执行价格、距离到期日时间、无风险利率等因素的关联关系，通过统计回归分析的方法估计BAW期权定价模型的误差，再将误差估计值附加在原始的BAW期权定价模型的解上以达到修正的目的，此外统计回归分析使用的数据是通过蒙特卡罗模拟得到的。

3.1 回归分析法

   回归分析法是在掌握大量观察数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量与自变量之间的回归关系函数表达式（称回归方程式）的方法。建立回归方程式后，可根据自变量的变动情况预测与其相关的因变量的变动值，又叫做估计或预测。根据自变量的个数，回归分析可以是一元回归或多元回归，根据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式的线性性质，分为线性回归和非线性回归。
   本文中用于回归分析的自变量是标的物价格、执行价格、无风险利率、波动率、距离到期日时间这五个可观测的因素，因变量是BAW期权定价模型相对于二叉树期权定价模型的误差，其中误差是通过将以上五个自变量分别代入BAW和二叉树期权定价公式得到期权的理论价格再求差值得到的。此时因变量虽然是统计量，但是我们可以把它当成观察值看待。其原因是期权的理论价格没有真实值，只能由期权定价模型计算得出，所以我们可以把期权的理论价格看成是观察值，因此期权价格的误差也是观察值。

   在统计学中，复杂的回归模型很多，例如只利用局部数据进行回归的核（Kernel）回归、样条（Spline）回归，在回归的同时降低自变量维数的脊（Ridge）回归、LASSO回归、主成份分析（Principle Component Analysis）等。由于本文研究的主要目的并不是发明或修正一种复杂的回归模型，而是为了说明统计回归分析在修正BAW期权定价模型过程中的应用价值，并为修正BAW期权定价提供一种新的可行的方法，因此本文主要使用多元线性回归这种相对比较简单的回归方法来解释自变量与因变量之间的关系，当然复杂的回归模型可能会使结果修正的更好。
   下面我们用数学表达式来说明多元线性回归方法，这里因变量记为∈，自变量中标的物价格记为S，执行价格记为K，无风险利率记为r，波动率记为σ,距离到期日时间记为t，则因变量与自变量之间的回归方程式可表达为
   ∈= a_0+a_1 S+a_2 K+a_3 r+a_4 σ+a_5 t+a_6 S^2+a_7 S*K+ε
   其中S、K、r、σ、t为线性项，S^2 、S*K等为非线性项，S^2项的加入为了解释∈与S的幂次增长关系，S*K项存在说明对于不同K值∈与S存在不同的线性关系，S*K称为交互作用项。在回归方程中，ε为残差项，因为通常因变量不可能很完美地被自变量解释，残差项就是表示这些不能被解释的部分。a_i是回归方程的系数，表示因变量与自变量之间关系的强弱。
   回归模型中线性项与非线性项个数的选择（模型选择）可通过向前回归、向后回归或AIC、C_p准则等来实现，求解回归方程通常使用最小二乘法，即估计回归方程的系数使得残差项的平方最小。回归系数估计完，便可对因变量进行预测。

3.2 蒙特卡罗模拟

   上文中提到，回归分析法需要掌握大量的观察数据，在本文中这些观察数据是通过蒙特卡罗模拟得到的。蒙特卡罗模拟方法，也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。通常情况下数据按照一定的概率模型由计算机实现统计模拟或抽样，再通过一些统计方法得到问题的近似解。
   在本文中，假设用于回归分析的自变量数据（标的物价格、波动率、执行价格、无风险利率、距离到期日时间）服从一定范围内的均匀分布，例如无风险利率服从0到0.1之间的均匀分布，即无风险利率以同等的概率取0到0.1之间的任意值。而回归分析的因变量数据（BAW期权定价模型误差）取BAW期权定价（由自变量数据及BAW期权定价公式得到）与二叉树期权定价之间的差。

3.3 整体回归法和局部回归法修正BAW期权定价模型

   在整体回归法中，我们将所有自变量（包括标的物价格、波动率、执行价格、无风险利率、距离到期日时间）都代入到回归模型中且自变量的取值范围很广，以覆盖不同品种标的物的价格、波动率，以及各种执行价格（虚值期权到实值期权）等。由于自变量较多且取值范围大，多元非线性模型的估计精度一般不高。
   为了解决整体回归法模型估计准确度不高的问题，我们提出了局部回归法，即只对数据中的局部做回归分析，既减少自变量的数量，又缩小其取值范围。这种方法的好处是自变量与因变量在局部通常是线性关系，且自变量维数较低，线性回归模型估计精确度高。

   这里局部回归法中自变量的选取并不是通过统计学中的变量选择方法得到的，而是根据期权的性质本身。对于某个期权系列来说，如果我们只对它明天的价格使用期权定价模型，那么其距离到期日时间、执行价格、无风险利率在明天都可看作是定值，而标的物价格和波动率在明天的变化也在一个较小的范围之内，例如价格在其涨跌停板范围内，这样我们只对标的物价格和波动率做局部回归，一般来说使用线性回归方法就可以得到R^2=0.99以上的精度。

      4 统计模拟法分析BAW期权定价模型的修正结果

   回归法修正BAW期权定价模型共大体分为三个步骤，首先用蒙特卡罗方法生成自变量和因变量的随机数据，其次对这些数据进行回归分析，找到因变量与自变量之间的统计关系，最后将这种统计关系代入到期权定价模型中，从而达到模型修正的目的。

4.1 数据生成

   对于自变量来说，假设期货价格服从2500到4500的均匀分布，波动率服从0.1到0.5的均匀分布，执行价格服从2500到4500的均匀分布，无风险利率服从0.02到0.04的均匀分布，距离到期日时间服从0到1年的均匀分布，利用蒙特卡罗模拟出10000组自变量的随机数据，每组数据包含(S,K,r,σ,t)的满足上述均匀分布的随机值，再代入到二叉树期权定价公式得到期权理论价格c_1，代入BAW期权定价公式得到期权理论价格c_2，得到误差∈=c_1-c_2为每组数据对应的因变量值，至此用于回归分析的随机数据已经生成完毕。

4.2 回归分析

   接下来对这些数据进行回归分析。图1是在实值和虚值的情况下，自变量与因变量的一元关系。由图1可以看出，因变量与自变量的关系在实值和虚值的情况下有明显不同，所以我们将实值和虚值的情况分开，分别建立多元线性回归模型。
   由于自变量都是通过蒙特卡罗模拟随机生成的，它们彼此之间相互独立，因此不存在自变量共线性的问题，而模型的选择主要是通过AIC准则达到的。当期权是实值期权即X_1-X_2>0时，最终得到的回归方程如下：
∈=a_1 S+a_2 K+a_3 r+a_4 σ+a_5 t+a_6 S*K+a_7 S*r+a_8 S*σ+a_9 S*t+a_10 K*r+a_11 K*σ+a_12 K*t+a_13 r*σ+a_14 r*t+a_15 σ*t+ε
方程中包含了5个自变量的主效应和它们之间的交互效应，共15个回归系数，采用最小二乘法对系数进行估计，
R^2=0.67，AIC=430.55得到预测结果如下

表4：虚值期权BAW模型误差回归预测结果，*代表自变量的显著程度，*越多，说明自变量与因变量的统计关系越显著。

以上是整体回归法的回归分析过程，局部回归法与整体回归法类似，在期权执行价格、无风险利率、距离到期日时间固定的情况下，只对标的物价格和波动率这两个自变量进行回归，得到回归方程。

4.3 模拟结果

   表5列举了不同执行价格、标的物价格、波动率、时间和无风险利率组合下，二叉树期权定价模型、BAW期权定价模型、整体回归法修正的BAW期权定价模型、局部回归法修正的BAW期权定价模型的期权定价结果。结果显示，整体回归法和局部回归法修正后的期权定价在大部分场景下都比原始BAW期权定价模型更接近于二叉树期权定价模型的结果，且局部回归法修正效果更加明显。具体地说，在极度实值期权定价上，整体回归法修正效果不理想，而局部回归法修正效果很好，十分接近二叉树期权定价模型的结果；在虚值期权定价上，整体回归法与局部回归法修正效果差不多，都比原始的BAW期权定价模型要好。

表5：期权定价模型统计模拟结果

      5 实证分析

5.1 数据描述

   本文使用大连商品交易所豆粕m1305合约的每日结算价数据来说明BAW期权定价模型修正的效果。m1305合约共包含241个交易日，我们取后181个交易日的期货结算价数据，价格范围在2926到3810之间波动，按期权执行价格50元一档，共生成执行价格从2900到3900共21个期权系列。按照二叉树期权定价模型计算出每个期权系列每天的期权理论价格准确值以及由BAW期权定价模型计算出的估计值，得到BAW期权定价模型在每个期权系列每个交易日的误差情况。这里代入期权定价公式的波动率为历史波动率，即前3个月（60个交易日）期货价格收益率的标准差，m1305合约的历史波动率在0.147到0.234之间波动，取(0.147,0.234)为波动率的变动区间。
   图2为BAW期权定价模型误差随期权执行价格的变动图。图中BAW期权定价模型的误差为相对误差，是二叉树期权定价模型计算的期权价格与BAW期权定价模型的差值的绝对值再除以二叉树期权定价模型计算的期权价格，期权价格是由m1305合约期货价格及历史波动率等因素决定的。由图2可以看出，BAW期权定价模型的相对误差在千分之一左右。其中虚值期权比实值期权的相对误差更高，这是由于虚值期权本身的价格偏低，在相对误差公式中作为分母使得结果更高。

5.2 回归分析法修正结果

   这里整体回归法修正BAW期权定价模型误差的步骤与统计模拟十分类似，在此不再赘述。以m1305合约为标的物，图3比较了BAW期权定价模型的误差与整体回归法修正后的BAW期权定价模型的误差。从图3可以看出，整体回归法修正后的BAW期权定价模型误差有了显著降低，平均从0.088%降到了0.037%（具体数据请见表6）。但是我们同样发现，在平值期权附近，模型的修正效果不明显，甚至比原始的BAW模型还差。这是由于在回归分析中，我们将期权按实值和虚值分成了两种情况讨论，这样虽然考虑到了实值和虚值期权与模型误差的关系不同这个特点，但却忽略了平值期权附近的特征。当然我们可以继续将期权按实值、平值、虚值进行划分，划分的次数越多，误差修正的越精确。按照这种思想，我们接下来使用局部回归法
   对于m1305合约期权系列来说，其执行价格、距离到期日时间、无风险利率在下一个交易日都可以看作已知，此时下一交易日的期货价格和波动率会发生变化。下一交易日的期货价格在当日结算价的上下4%的范围内浮动，波动率在已经计算好的波动率变动区间内浮动，这里我们使用（0.147，0.234）。此时用于回归分析的变量只有两个：标的物价格和波动率，我们同样使用蒙特卡罗模拟法生成随机数据，并用线性回归方法估计回归方程，并将估计的回归系数代入到BAW期权定价模型中，从而达到模型修正的目的。

图2：BAW期权定价模型相对误差随执行价格的变动图

图3：整体回归法修正的BAW期权定价模型误差对比图

图4：局部回归法修正后的BAW期权定价模型误差对比图

   局部回归法的回归方程如下： ∈= a_0+a_1 S+a_2 σ+a_3 S*σ+ε
   此时随机数据的样本量为1000，回归拟合程度R^2=0.99。图4对局部回归法的修正效果与整体回归法进行了比较。从图4可以看出，局部回归法修正后的BAW期权定价模型误差最低，平均为0.016%，比原始的BAW期权定价模型误差降低了五倍多（具体数据请见表6）。
   由于蒙特卡罗模拟生成数据需要一定的时间，回归分析的过程可以在盘后进行，估计的回归分析系数将嵌入到期权定价模型的程序中，在实时调用此模型时，只需多计算一步误差项的估计值（简单的线性相加过程）即可，对BAW期权定价模型的计算速度没有任何影响。
   局部回归法存在如下两个主要缺点：首先对于任一期权系列局部回归法都要分别做回归分析，并且每天回归系数都要更新，这对盘后的计算机运算带来一定压力。其次，回归分析时使用的数据是由蒙特卡罗法随机生成的，由于此随机性，使得每次生成的数据都不同，因此回归分析的结果也会不同，导致模型修正的结果也会有所差异，这种差异可以通过增加随机生成的数据量来降低。

表6：修正的BAW期权定价模型误差对比表（千分之一）

      6 结论

   本文首先介绍了求解期权定价问题的三种经典方法与模型，包括用解析法求解期权定价问题的Black-Scholes期权定价模型，用数值法求解期权定价问题的二叉树期权定价模型以及使用近似解析法的BAW期权定价模型。这三种定价模型都被广泛应用于国际主流交易所及清算所的风险管理体系中，并各有优劣，其中BAW期权定价模型既适用于美式期权，又有较高的计算效率，是我们研究的重点。但是由于其在求解微分方程过程中使用了一些近似条件，使得它的期权定价相对于二叉树期权定价模型来说存在一定的误差。本文提出了蒙特卡罗-回归分析的方法来修正此误差，此方法首先通过回归方程估计BAW期权定价模型的误差与相关因素（标的物价格、期权执行价格、波动率、无风险利率、距离到期日日期）之间的统计关系，再将回归系数代入到BAW期权定价模型中，通过估计模型误差达到模型修正的目的。本文还使用大连商品交易所豆粕1305合约的期权模拟数据对模型修正的效果进行了验证，结果表明回归法修正的BAW期权定价模型误差比原始模型误差降低了5倍多。

      参考文献：

[1]. Fischer Black, Myron Scholes., 1973, “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”,The Journal of Political Economy, Volume 81, Issue 3(May-June.,1973),637-654.
[2]. John C. Cox, Stephen A. Ross, Mark RUBINSTEIN, 1979, “Option Pricing: A Simplified Approach”, Journal of Financial Economics 7(1979), 229-263.
[3]. Giovanni Barone-Adesi, Robert E. Whaley., 1987, “Efficient Analytic Approximation of American Option Values”, The Journal of Finance, Volume 42, Issue 2(Jun., 1987), 301-320.
[4]. Francis A. Longstaff, Eduardo S. Schwartz., 2001, “Valuing American Options by Simulation: A Simple Least-Squares Approach”, The Review of Financial Studies，Spring 2001 Vol. 14, No.1, pp. 113-147.
[5]. Averbukh, T., 1997, “Pricing American Options Using Monte Carlo Simulation”, Ph.D. dissertation, Cornell University.
[6]. Broadie, M., and P. Glasserman, 1997a, “Monte Carlo Methods for Pricing High-Dimensional American Options: An Overview”, working paper, Columbia University.
[7]. Carriere. J., 1996, “Valuation of Early-Exercise Price of Options Using Simulation and Nonparametric Regression”, Insurance: Mathematics and Economics, 19, 19-30.
[8]. Andreas Andrikopoulos, 2007, “On the quadratic approximation to the value of American put options: a note”, Applied Financial Economics Letters, 2007, 3, 313-317.
[9]. 李东，金朝嵩，2003，“美式看跌期权定价中的小波方法”，经济数学，2003（4）。
[10]. 姜礼尚，2003，“期权定价的数学模型和方法”。
[11]. 张铁，2004，“美式债券期权定价问题的有限元方法”，计算数学，2004（3）。
[12]. 周传艺，2004，“美式期权定价近似方法的研究”，武汉理工大学，硕士学位论文。


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