目标波动率策略最优性研究

导读

1、作为西学东渐--海外文献推荐系列报告第三十五篇，本文推荐了Kais Dachraoui于2018年发表的论文《On the Optimality of Target Volatility Strategies》.
2、目标波动率策略是一个业界很普遍的投资方法，但是业界与学者对目标波动率策略的使用条件和场景没有深刻的认识。很多研究都是从实证的角度出发来判断目标波动率策略是否可行。本文通过理论推导和实证分析，给出了目标波动率策略有效的充要条件，为目标波动率策略的有效使用提供了新思路。
3、本文首先通过理论推导，得出了目标波动率策略有效性取决于波动率与经风险调整后的超额收益协方差的结论，当上述协方差为负时，目标波动率策略是可行的。进一步，本文对标普500指数，标普GSCI指数和摩根大通债券指数进行实证分析，与理论推导得出的结论基本相同。并发现目标波动率策略收益大小同时还取决于波动率的估计方法以及调整频率。
4、在文章最后，我们根据本文的实证分析方法，对中国股票市场、债券市场和商品市场共15个指数进行实证研究，与文中的结论基本一致。此外我们还对文中结论进一步扩展，发现目标波动率策略的收益与调整频率无关。
风险提示：文献中的结果均由相应作者通过历史数据统计、建模和测算完成，在政策、市场环境发生变化时模型存在失效的风险。
第一部分：原文献翻译
1、引言
2002年与2008年两次主要市场调整让我们越发认识到管理市场下行风险的必要性。由于越来越多的投资者采用消极策略进行投资以及资本流动范围越来越广，多元化策略已经不足以在压力环境中控制风险。同时越来越多的关于目标波动率投资策略的文献表明，时间和波动率的管理确实降低了下行风险，并且优于具有无条件和静态波动性的投资组合。
在实践中，波动率通常通过目标波动率方法进行管理。该方法通过调整指数投资组合的权重以维持期望目标波动率，从而将总投资组合（由指数投资组合和无风险资产组成）的波动率维持在恒定水平。
研究普遍认为，目标波动率策略的可行性基于以下两点假设：
（1）波动持续性。这一点表明了高波动率与低波动率均在一定的时期内持续，从而我们可以通过已知的波动率来预测未来的波动率。
（2）波动率与收益率之间存在负相关关系。因此我们可以通过已知的波动率来预测收益率。
波动持续性导致金融资产收益波动性聚集，从而当前波动率能够作为预测未来波动率的基础。波动率和收益率之间的负相关关系使得金融市场在高波动率时期（此时收益率往往为负值）和低波动率时期（此时收益率通常为正值）定期转换。
上述两点假设并没有得到从业者和学者的统一认可。假如我们使用月度或季度观察数据来衡量波动率，那么波动性持续时间将会变短，并且可能不存在。同时，过去波动率与预期收益之间的负相关关系仍有争议。
在金融实践中，TVS可行的条件仍然是一个没有解决的问题。金融研究注重通过实证模拟来说明应用TVS的好处，但是对于不同的研究数据往往会得出不同的结果。因此，建立完善的理论框架有助于判断TVS是否可行。我们在制定框架的时候需要考虑资产类别、投资组合、目标波动率以及采用的管理战略的参数。
对于TVS的使用在从业者中存在争议，因为他们对这种投资策略存在不同的看法。有一些资产管理公司反对使用杠杆，并反对使用TVS，因为TVS是一种动量策略，它通过杠杆来动态调整波动率。但相反的是，TVS在业界越来越受欢迎，这一点从近几年采用TVS管理资产数额的增加可以看出。
在学术界，研究结果通常支持TVS的有效性。Hocquard，Ng和Papageorgiou [2013]提出了一种基于TVS的投资组合管理的动态策略，并表明这种策略有助于规范负偏态收益分布（并因此降低尾部风险）。他们在进行历史模拟的时候，将隐含的目标波动率设定为小于相应标的资产的波动率。然后将这个投资策略应用于不同的市场，并证明其在绝大多数市场中的有效性。同时，他们还发现TVS可以抑制最大回撤。Dopfel和Ramkumar [2013]表明，波动率管理有显著的好处，投资者可以通过预测波动率和市场转型获得超额收益。Asness，Frazzini和Pedersen [2012]通过研究1926 - 2010年美国股票和债券的数据，发现有条件杠杆风险平价投资组合优于60/40和价值加权市场投资组合。
另一方面，Anderson，Bianchi和Goldberg [2014]将杠杆策略的累积长期收益分解为五个组成部分，发现尽管杠杆可以增加收益，但杠杆策略会使得投资组合波动率增加，杠杆与超额收益之间的协方差关系可能会不利于杠杆投资组合的表现。他们通过对1929年到2012年之间的数据进行模拟，发现在该样本中由于波动率的影响，风险平价投资组合的TVS策略与60/40投资组合相比TVS策略表现不佳。
本文研究中，我们首先讨论波动率和收益率之间的关系。我们通过对标准普尔500指数和标准普尔GSCI指数的过去波动率与过去收益率和预期收益率之间的关系进行测试，来说明两种关系之间的差异程度。在下一节中，我们将研究波动率管理的模型。我们会给出使用TVS管理目标资产的条件，同时我们还证明了波动率管理的可行性（可行性是指比基础指数投资组合有更好的预期收益），尤其是当波动率和收益率独立时。特别的，当收益是跨期独立时，比如资本资产定价模型，TVS策略是可行的。此外，我们还说明了波动持续性的假设并不是TVS可行的必要条件。第四节中，我们运用历史模拟来验证模型的结果，并研究了TVS对收益分布的影响。在第五节中，我们将讨论TVS的效率。最后一节我们会进行总结，然后得出结论。
2、波动率与收益的关系
人们普遍认为TVS是否可行取决于波动率与收益率之间的负相关关系以及波动性的可持续性。但是，研究两者关系的文献仍然会给出相互矛盾的结果。在金融文献中通常认为某时期较高的波动率往往会导致负收益，反之也成立。而其中最重要的问题是过去波动率与预期收益率是否也是负相关关系。对此，我们的想法是，如果市场的特点是高波动率伴随着低收益，或者低波动率伴随着高收益，那么当市场下跌的可能性高的时候，投资者可以把目标波动率设定在熊市的高波动率以下，这将有效降低风险资产组合比例，从而有效的减少投资组合的下行风险。同样，当市场波动率较低且预期上涨可能性比较高的时候，投资者可以通过最大化其市场风险，从而在市场上获得更高的收益。因此，TVS可以明显的影响上行和下行收益。
波动持续性假设有助于基于当前的波动率预测未来波动率。尽管我们用月度或者季度数据来衡量波动率时可能会出现矛盾，但是该假设还是被大家普遍接受，并且在理论和实践上都有被证明（例如，广义自回归条件异质性模型）。
最近的研究都集中在证明高波动率与负收益相关，反之亦然。但是，关于过去波动率与预期收益率之间关系的研究较少。Glosten，Jagannathan和Runkle [1993]的研究显示了风险和收益之间的正负关系，他们还提供了月度波动率不存在持续波动性的证据。最近，Dopfel和Ramkumar [2013]研究了1950 - 2011年期间的标准普尔500指数，与正常波动率的资产组合相比，他们发现波动率高的资产组合均有负超额收益和低夏普比率的特点。随后，他们把分析扩展到广泛的股票指数（包括小盘股，大盘股，发达市场股票指数以及新兴市场股票指数），发现都有类似的结论，只是幅度有差别。尽管两种组合的波动都表现出了较好的可持续性，但他们发现两种波动率之间的转换概率是不确定的。
Hocquard，Ng和Papageorgiou [2013]使用隐马尔可夫模型，确定了以高，中，低波动率的多元化股票投资组合，其中包括美国大型和小型股票，国际发达市场股票和新兴市场股票。利用构建的投资组合证明了过去的波动率与过去的收益之间存在可见的反比关系，但是没有证明过去波动率与预期收益率之间存在反比关系。
我们为了测试过去的波动率与过去收益率和预期收益率之间的关系，对1990-2015年的标普500指数与标普GSCI指数进行分析。我们使用滚动的60个工作日（一个季度）将这些数据分为不同区间，分别计算每个区间的波动率与算数平均收益率并且将随后5个交易日（一周）的算数平均收益率作为其预期收益率，随后按照波动率大小将其分为10个类，分别为：小于8%，8%-10%，10%-12%，12%-14%，14%-16%，16%-18%，18%-20%，20%-22%，22%-24%，24%及以上。这种处理数据方法能够减少数据噪声的影响，并且在检测数据间线性关系方面优于其他方法。

图表1显示了标普500指数的过去波动率与收益率之间的反比关系。图中可以看出，波动率较低时，过去收益率为正；波动率较高时，过去收益率为负。并且，除了14%-18%这一段时期以外，波动率与过去的收益率存在明显的负相关关系。但是波动率与预期收益率之间并没有明确的关系。事实上，随着波动率的增加，预期收益随机上升或者下降，因此可以证实两个变量之间缺乏经验反比关系。这一点与相关系数的表现一致，波动率与过去收益率之间的相关系数为-0.43，而波动率与预期收益率之间的相关系数为0。

我们对标普GSCI商品指数进行了相同的检验，检验结果如图表2所示，可以看出他们的关系与标普500指数显著不同。波动率与过去收益率和预期收益率之间的关系不是完全线性的，而是一种不正常的关系，因为当商品指数波动率增高时收益率趋于上升（正收益率或者高收益率），当波动率降低时趋于下降（负收益率或者低收益率）。波动率与过去收益率和预期收益率之间的相关系数分别为-0.22和-0.04，虽然并没有表现出正向关系，但是他们的线性关系很小。
3、目标波动率模型
正如我们所说，我们需要开发出一个理论框架，以便于决定TVS是否可以作为投资组合管理的一种选择。对于我们构建的模型，考虑一个一般情况，投资者在其基础投资组合P（指数投资组合）中应用TVS。我们将投资者的资本标准化为1并且投资者在基础投资组合中投资L，借入（或者借出）L-1，因此 L可以理解为：
（1）大于1（L>1），此时，投资者拥有超过100%的指数投资组合。
（2）小于1（L0）。从附录A中，我们可以得出：

上式中等式左右两项符号相反。
从而，要证明该结论，我们只需要证明：

因为rt和σt-1是独立的，因此rt和1/σt-1也是独立的，因此：

由Jensen不等式：

从而我们有：

上式等价于：

从而得证。
参考文献
【1】Anderson, R.M., S.W. Bianchi, and L. Goldberg.“Determ- inants of Levered Portfolio Performance.” Financial Analysts Journal, Vol. 70, No. 5 (2014), pp. 53-72.
【2】Asness, C., A. Frazzini, and L.H. Pedersen. “Leverage Av- ersion and Risk Parity.” Financial Analysts Journal, Vol. 68, No. 1 (2012), pp. 47-59.
【3】Dopfel, F.E., and S.R. Ramkumar. “Managed Volatility St- rategies: Applications to Investment Policy.” The Journal of Portfolio Management, Vol. 40, No. 1 (2013), pp. 27-39.
【4】Fleming, J., C. Kirby, and B. Ostdiek. “The Economic Value of Volatility Timing.” The Journal of Finance, Vol. 56, No. 1 (2001), pp. 329-352.
【5】——. “The Economic Value of Volatility Timing Using‘Re-alized’ Volatility.” Journal of Financial Economics,67 (2003), pp. 474-509.
【6】Glosten, L.R., R. Jagannathan, and D.E. Runkle. “On the Relation between the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks.” The Journal of Finance, Vol. 68, No. 5 (1993), pp. 1779-1901.
【7】Hocquard, A., S. Ng, and N. Papageorgiou. “A Constant-Volatility Framework for Managing Tail Risk.” The Journal of Portfolio Management, Vol. 39, No. 2 (2013), pp. 28-40.
【8】Lintner, J. “The Valuation of Risk Assets and the Sel- ection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets.” The Review of Economics and Statistics, Vol. 47, No. 1 (1965), pp. 13 -37.
【9】Markowitz, H.M. “Portfolio Selection.” The Journal of F- inance, Vol. 7, No. 1 (1952), pp. 77-91.
【10】Mossin, J. “Equilibrium in Capital Asset Market.” Econ- ometrica, Vol. 34, No. 4 (1966), pp. 768-783.
【11】Qian, E. “On the Financial Interpretation of Risk Contri- bution: Risk Budgets Do Add Up.” J- ournal of Investment Management, Vol. 4, No. 4 (2006), pp. 41-51.
【12】Sharpe, W. “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk.” The Journal of Finance, Vol. 17, No. 3 (1964), pp. 425-442.

第二部分：原文献相关实证分析在A股市场研究
接下来，我们利用原文的实证方法，对我国市场进行类似实证分析。
本文对我国股票，债券，商品三个主要市场共15个指数进行实证研究。其中股票类指数共8个，分别为上证指数，深证成指，沪深300，中证500，中证1000，中信医药指数，中信食品饮料指数，中信商贸零售指数。债券类指数共4个，分别为利率债指数（中债-国债总财富指数CBA00601.CS），企业债指数（中债-企业债总财富指数CBA02001.CS），中证全债指数，中证转债指数。商品类指数共3个，分别为工业品指数（南华工业品指数NH0200.NHF），农产品指数（南华农产品指数NH0300.NHF）以及黄金现货指数（AU9999.SGE）。
1
对股票指数的实证模拟
按照文章中的实证方法，首先对波动率与过去收益率与预期收益率之间的关系进行分析，以说明波动率与过去收益率之间存在负相关关系，波动率与预期收益率之间不存在相关关系。我们采用与原文中相同的方法，首先选取上证指数2003年2月10日到2019年7月15日的数据（6000天），然后我们使用滚动的60个交易日将数据分为不同区间，计算每个区间的波动率，并且将随后5个交易日的算数平均收益率作为其预期收益率，将60日的算数平均收益率作为其过去收益率。根据该指数波动率的大小，设置5-9个波动率区间。在上证指数研究中，我们将其分为了8个区间，分别为0-0.5%，0.5%-1%，1%-1.5%，1.5%-2%，2%-2.5%，2.5%-3%，3%-3.5%，3.5%-4%。分别算出在每个区间上其过去收益率与预期率的算术平均值，做出柱状图，如图表9所示。其中横轴表示波动率区间（单位：%），纵轴表示收益率（单位：%）。蓝色柱状图表示过去收益率，橙色柱状图表示预期收益率。

随后计算出其相关系数，波动率与过去收益率之间的相关系数为-0.154，波动率与预期收益率之间相关系数为-0.023。这说明了波动率与过去收益率之间存在一定的负相关关系，与预期收益率之间不存在线性关系。
我们接下来进行策略的实证模拟。通过理论推导，我们知道了TVS策略与指数收益率之间的差距来源于波动率与经风险调整后的超额收益之间的协方差。因此我们首先计算波动率与经风险调整后的超额收益之间的协方差。理论告诉我们，当上述协方差为负时，该指数适合做TVS策略。我们实证分析采用2003年2月10日到2019年7月15日的数据（6000天），利用60个工作日的收益率的历史波动率来估计当日的波动率，采用银存间隔日利率作为无风险利率，并将其目标波动率设置为2003年2月10日-2019年7月15日期间指数的过去波动率，并且假定无手续费。
首先我们计算得波动率与经风险调整后的超额收益之间的协方差为-0.91%，在此期间指数的年化收益率为4.14%，当我们采用1日的调整时间间隔时（每日调仓），TVS策略收益率为7.14%，当采用5日调整时间间隔时（1周），TVS策略收益率为6.62%，采用20日（1月）调仓间隔时，策略收益率为7.40%,采用60日（1季）时间间隔时，收益率为5.71%。图表10是1日调整时间间隔TVS策略收益率图。

图表11是我们选取的8种股票实证研究结果，可以看出来我国股票市场实证结果基本满足原文献的结论。当波动率与风险调整后收益率协方差为负时，TVS策略能够获得超额收益率。

2
对债券指数的实证模拟
我们针对债券市场，采用与股票市场相同的实证研究方法。我们以利率债（中债-国债总财富指数CBA00601.CS）为例进行实证研究。
采用相同的方法，得出图表12柱状图。通过计算得出，利率债指数波动率与过去收益率之间相关系数为0.05，与预期收益率之间相关系数为0.038，因为两个相关系数都为正，因此不能验证波动率与收益率负相关的假设。

接下来进行TVS策略的实证研究。首先我们计算得波动率与经风险调整后的超额收益之间的协方差为0.12%，在此期间指数的年化收益率为3.22%，当我们采用1日的调整时间间隔时（每日调仓），TVS策略收益率为3.07%，当采用5日调整时间间隔时（1周），TVS策略收益率为2.97%，采用20日调仓间隔时，策略收益率为2.98%,采用60日时间间隔时，收益率为3.00%。我们可以看出，TVS策略不能获得超额收益，因为波动率与风险调整后收益率协方差为正，这一点也从反面印证了原文献结论的正确性。利率债TVS策略结果如图表13所示。

下表为债券类指数进行实证研究的结果，可以看出实证结果符合原文献结论。

3
对商品指数的实证模拟
针对商品市场，我们采用与上述两个市场相同的实证研究方法。我们以黄金现货指数（AU9999.SGE）为例进行研究。
采用相同的方法，得出图表15柱状图。通过计算得出，利率债指数波动率与过去收益率之间相关系数为-0.033，与预期收益率之间相关系数为-0.284。

接下来进行TVS策略的实证研究，首先我们计算得波动率与经风险调整后的超额收益之间的协方差为-0.9%，在此期间大盘的年化收益率为7.97%，当我们采用1日的调整时间间隔时（每日调仓），TVS策略收益率为11.32%，当采用5日调整时间间隔时（1周），TVS策略收益率为10.50%，采用20日调仓间隔时，策略收益率为10.79%,采用60日时间间隔时，收益率为10.67%。
我们可以看出，TVS策略能获得超额收益，因为波动率与风险调整后收益率协方差为负。黄金的TVS策略结果如图表16所示。

下表为商品指数进行实证研究的结果，可以看出实证结果符合原文献结论。

4
实证研究结论
本文在原文献基础上增加了该策略在我国市场上的实证分析，可得出以下结论：
1：波动率与过去收益率之间有一定的负相关关系，但很不明显，相关系数比较小。波动率与预期收益率之间基本不存在相关关系，即使存在也非常小。国内实证分析服从文章中相应观点。
2：当波动率与经风险调整后的超额收益之间的协方差小于0时，TVS策略能够跑赢大盘。该结论是本文核心结论，我国的实证结果完全服从该结论，侧面也印证了该观点的正确性。
3：原文中提到的指数收益率与TVS策略收益率之间的差值为波动率与经风险调整后的超额收益之间的协方差这一点，在国内实证研究没有得到证实。不过从国内实证结果可以看出：协方差越小，TVS策略的超额收益越大。
4：在国内实证研究中，采用了不同的调整时间间隔来进行研究分析，发现TVS策略的收益率与调整的时间间隔并没有严格的相关关系，当时间间隔增大时，收益率随机变大变小。
风险提示：文献中的结果均由相应作者通过历史数据统计、建模和测算完成，在政策、市场环境发生变化时模型存在失效的风险。

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注：文中报告节选自兴业证券经济与金融研究院已公开发布研究报告，具体报告内容及相关风险提示等详见完整版报告。

证券研究报告：《西学东渐--海外文献推荐系列之三十五》。
对外发布时间：2019年8月1日
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