波动率曲面无套利研究

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作者：华泰期货风控部陈志荣（投资咨询从业资格号：Z0012315）、郑宇翎

摘要

本文首先分析推导了期权波动率曲面套利情形，包括平价套利、日历套利、价差套利以及蝶式套利。然后参考Fengler（2009），基于非参数平滑法，把无套利约束加入到波动率曲面平滑过程，建立无套利拟合模型。随后进行实行分析，给出了平价套利、日历套利、价差套利以及蝶式套利四种套利组合的构建方法。讨论了国内vix.shtml" target="_blank" class="relatedlink">50ETF期权以及铜期权的隐含波动率与套利情况，并应用无套利拟合模型，得出无套利的波动率矩阵。经平滑修复处理后的50ETF期权以及铜期权无套利波动率曲面能够为期权交易与对冲提供参考。

一、研究背景

波动率作为期权交易的核心，而波动率曲面在期权交易实务中是最为基本的要素。在场外市场，场外做市商可以通过波动率曲面迅速报价全系列合约。在场内市场，场内做市商基于波动率曲面制定报价策略、交易策略、风险措施等，投资者可以交易波动率曲面的形状。所以波动率曲面的研究是波动率研究中重要一环，国内外有许多学者对波动率的性质、波动率的预测以及波动率构建曲面等方面做了大量的研究。在波动率曲面研究方面，主要研究还在集中在场内市场，这些研究基本是以参数法建立波动率曲面为主，通过建一个波动率模型，利用市场数据解析出模型参数，从而拟合出波动率曲面。而在场外市场的波动率曲面则研究较少，由于场外市场缺乏市场数据，非参数建立波动率曲面是一个更为常见的选择。这些研究基本都是在重点关注构建波动率曲面的方法或过程，却较少分析波动率曲面结果是否无套利的。若使用一个有套利的波动率曲面进行交易，容易造成交易漏洞，导致交易持续亏损。所以波动率曲面的无套利研究是波动率曲面研究的最后一环。波动率曲面的无套利研究包括了无套利的检验与有套利的波动率曲面修正，本文将在以上两个方面进行研究，归纳出无套利条件与整理曲面修正算法，并进行实证分析。在实务中，研究人员可以在建立的波动率曲面后，对波动率曲面进行无套利检验以及套利修正，从而得出一个完美的波动率曲面，降低交易中的亏损概率与风险。

二、波动率曲面无套利检验模型

2.1 波动率曲面
在其他要素相同条件下，期权价格空间存在与隐含波动率唯一映射，基于期权市场价格通过预设的期权定价模型可以反推出隐含波动率。在市场交易中，合并同一个标的下不同期权到期时间与行权价的期权，并计算各自对应的隐含波动率，可以获得该标的隐含波动率曲面。隐含波动率带有与标的资产价格变化过程与动态有关的重要信息，反映了市场对该期权在特定要素下的标的未来波动率的一致预期，因此常作为期权模型定价和期权动态对冲的重要参考依据。通过对市场隐含波动率直接建模，获得一个合理光滑的隐含波动率曲面，能帮助我们更好捕捉市场隐含波动率的曲面形状与其动态变化。但由于合约设置与流动性问题，市场可观测的隐含波动率只有有限观测点。对此，大量研究提供了不同的波动率曲面建模方法。在目前的波动率曲面建模研究中，一般使用参数或非参数建模方法。其中，参数方法包括Gatheral (2004)的SVI模型，Heston (1993)的Heston 模型与Hagan et al.(2002)的SABR模型等。这类方法主要通过对标的或波动率构建数学模型，并矫正模型参数而获得连续波动率曲面，通常直观简单，有一定的理论支持。而非参数方法包括Avellaneda（1997）相对熵方法，Fengle（2009）样条函数平滑方法，Ait-Sahalia&Lo（1998）的核估计方法等。非参数方法则常对离散数据使用数学方法估计完整曲面，相比参数方法更能反映市场情况。但非参数方法得出波动率曲面通常并不是无套利的，拟合的曲面需要进行无套利修正。

目前金融市场中最为基础、交易最为活跃的是欧式期权，而隐含波动率曲面一般也是基于欧式期权隐含波动率建模的。因此，本文所有公式与推导都是基于欧式期权，下文不再重复叙述。

2.2 无套利条件
相同标的资产、不同行权价格与到期时间的期权价格存在差异，无套利条件研究这些价格差异的合理约束。在有效性低的市场中，同一标的，不同行权价与到期期限的期权报价对应的隐含波动率曲面，常常存在不平整的情况。这些波动率曲面的异常形态常常意味着期权套利的机会的存在。但为了回避高维问题，我们通常对期权价格曲面进行处理，再根据要素情况反推计算隐含波动率曲面。

期权的价格套利情形包括了期权与标的资产和现金之间的套利，以及期权与期权间的套利。前者要求期权波动率为正，后者则包含平价套利，日历套利，价差套利与蝶式套利等情况。下文以看涨期权为例子，推导上述无套利条件。

1）平价套利
平价套利是不依赖于模型假设的套利机会，在没有市场摩擦与交易成本情况下，相同执行价格与到期日的看涨看跌期权间存在的平价关系可以表示为

其中，表示以t为到期时间，K为执行价格的看涨期权价格；表示对应的看跌期权价格；F为标的资产远期价格；K表示期权执行价格；D表示在时间t内的折现因子。

如果使用Black-Scholes定价公式，那么基于模型假设，欧式看涨期权与看跌期权的价格是关于行权价K，无风险利率r，与剩余到期时间t的函数，有

其中，为正态分布变量的累积概率分布函数
同时，有

由上可以得出等式

2）日历套利
日历套利的无套利条件通常表示为全体方差对剩余时间t的单调性。所谓全体方差是指波动率的平方乘以剩余时间。根据Fengler（2009），对给定两个到期时间t < T1 < T2 使用看涨期权构建日历套利组合，则在T1时刻组合价值V：

3）价差套利
价差套利的无套利条件要求拥有较低行权价的看涨期权价格应该高于拥有较高行权价的看涨期权的价格，通常表示为看涨期权对执行价K的单调性。根据Black-Scholes模型，对K求导有：

4）蝶式套利
蝶式套利，要求曲面不存在蝶式套利机会。在同一到期时间内，无蝶式套利机会即要求一个期权的价格不能高于其对应的行权价左右两边行权价的期权价格的算数平均数。上述要求等价于期权价格关于执行价是一个凸函数，即期权价格关于执行价的二阶导要大于等于0：

隐含波动率无套利条件能帮我们排除不合理波动率情况，进而拒绝不合理的绝隐含波动率模型参数。在获得隐含波动率表面没有套利的必要和充分条件后，我们就可以非无套利市场数据进行无套利处理，并获得一个无套利的模型曲面。

三、无套利拟合模型

上文提到波动率套利包括平价套利，日历套利，价差套利与蝶式套利。平价套利要求执行价与到期时间相同的看涨看跌期权使用同一个波动率进行定价，我们让看涨波动率与看跌波动率相等即可避免。当波动率矩阵存在其它套利机会时，我们参考Fengler（2009）使用平滑法对市场隐含波动率数据进行自然三次样条函数对样本进行平滑估计，获取修正后的波动率矩阵。

Fengler（2009）的基本思路是，先使用薄板样条函数对市场数据进行预平滑处理，插值成新的波动率矩阵，转化为价格矩阵，建立数学规划。解出数学规划获得无套利隐含波动率曲面估计，进而获得价格g与价格的二阶导g''，然后使用自然样条法将上一步获得的价格结果进行平滑处理，最终获得平滑的隐含波动率曲面。样条函数的估计要求在一定平滑惩罚条件下最小化样本与估计结果，根据自然样条性质，平滑过程可表示为：

在上述规划下，加入无套利约束条件，即得到以下规划：

在获得二次规划结果后，使用自然三次样条法获得期权价格曲面，并通过Black-Scholes公式转换为隐含波动率曲面，即获得获得平滑波动率曲面。

四、实证分析

4.1 套利组合构建

1）平价套利组合构建
如果期权违反平价套利条件，投资者可以做多标的资产，同时卖出看涨期权C(K,T)，买进看跌期权P(K,T)组成正向平价套利组合；或卖空标的资产，同时买进看涨期权C(K,T)、卖出看跌期权P(K,T) 组成反向平价套利组合。由于违反平价套利条件，投资者将会在期初获得正的现金流入。以正向平价套利为例，上述组合现金流情况如下：

2）日历套利组合构建
如果期权违反日历套利条件，投资者可以构建组合（8），即买入执行价K2剩余期限T2期权，

由于违反日历套利条件，投资者将会在期初获得正的现金流入。在较短剩余期限期权到期时，在市场没有违反平价套利条件情况下，投资者可以行权到期期权并平仓，获得非负现金流。如果市场违反平价套利，则可以通过持有至较长剩余期限期权到期，获得非负现金流。以看涨期权为例，上述组合现金流情况如下：

3）价差套利组合构建
如果期权违反价差套利条件，投资者可以买入执行价格较低的看涨期权，同时卖出执行价格较高的看涨期权；或者买入执行价格较高的看跌期权，同时卖出执行价格较低的看跌期权组成套利组合。

由于违反价差套利条件，投资者将会在期初获得正的现金流入。直接持有直套利组合至期权到期，将获得非负收益。以看涨期权为例，上述组合现金流情况如下：

4）蝶式套利组合构建
如果期权违反蝶式套利条件，投资者可以卖出两份中间执行价的期权，同时买入两边执行价的期权组成套利组合。由于违反蝶式套利条件，投资者将会在期初获得正的现金流入。直接持有直套利组合至期权到期，将获得非负收益。以看涨期权为例，上述组合现金流情况如下：

图表4 蝶式套利组合期末盈亏示例

然而，由于现实市场中存在各种异于假设的限制条件，执行套利交易时需要考虑现实市场真实情况。下节将会讨论上述套利情形在实际市场中的操作与收益情况。

4.2 50ETF期权和铜期权实证分析

1）套利检验
本节对中国上海证券交易所50ETF期权，与上海期货交易所铜期权市场数据进行无套利检验。由于场内期权为标准化合约，有固定的执行价和到期日，因此采用穷举法验证无套利条件。

套利组合机会将使用穷举差分的方法进行统计：

日历套利：如果违反日历套利条件，则卖出(T-1,K1)期权，买入(T,K2)期权。

价差套利：如果违反价差套利条件，则买入(T,K-1)看涨期权，卖出(T,K)看涨期权；或买入(T,K)看跌期权，卖出(T,K-1)看跌期权。

蝶式套利：如果违反蝶式套利条件，则卖出两份(T,K)期权，同时买入(T,K-1)期权与(T,K+1)期权。

平价套利：如果违反平价套利条件，则做多标的资产，卖出(K,T)看涨期权，买入(K,T)看跌期权并通过借贷补足资金缺口；或卖空标的资产，买入(K,T)看涨期权，卖出(K,T)看跌期权并通过借贷补足资金缺口。

其中，K为第K个执行价，T为第T个剩余交易日天数。考虑ASK\BID价差对套利机会形成的影响，买入价为卖1，卖出价为买1，不考虑手续费和保证金，仅用当日收盘时的盘口数据。考虑融资成本10%。

由于50ETF期权存在分红行为，上交所将对执行价进行调整，因此可能出现重复执行价的情况，这种情况发生时，在选取买入价时取价格数值较小的一个，选取卖出价时则选取价格数值较大的一个。

手续费方面，50ETF期权经手费按1.3元/张计算（卖开不收取），铜期权手续费按5元/手计算。假设50ETF基金交易费用为成交金额0.06%，铜期货交易费用12元/手。期权保证金方面，假设50ETF期权认购期权义务仓开仓保证金＝[合约前结算价+Max（12%×合约标的前收盘价-认购期权虚值，7%×合约标的前收盘价）]×合约单位；认沽期权义务仓开仓保证金＝Min[合约前结算价+Max（12%×合约标的前收盘价-认沽期权虚值，7%×行权价格），行权价格] ×合约单位。考虑CU1906期货保证金10%，其他合约保证金7%。铜期权卖方保证金为Max（期权合约前结算价×标的期货合约交易单位+标的期货合约交易保证金-（1/2）×期权合约虚值额，期权合约结算价×标的期货合约交易单位+（1/2）×标的期货合约交易保证金）。其中，看涨期权虚值额为Max（期权合约行权价格-标的期货合约结算价，0）×标的期货合约交易单位，看跌期权虚值额为Max（标的期货合约结算价-期权合约行权价格，0）×标的期货合约交易单位。假设持有期间保证金无须追加也不可提取。另外，由于行权存在不确定性，因此暂不考虑行权交收手续费。

套利组合具体结果如下：
选取2019年6月19日场内50ETF期权的收盘数据。

通过观察50ETF期权套利机会统计表可以发现，在50ETF期权不存在日历套利、价差套利与平价套利机会。在不考虑交易与资金成本的情况下，50ETF期权仍有少量套利机会，但在考虑保证金与资金成本后期权价格均在套利区间范围内。

50ETF蝶式认购期权套利组合分布情况以及投资收益情况见下图。套利机会大多位于较短期限位置。

选取2019年6月19日场内铜期权市场数据。

由于铜期权标的为对应的不同月份的铜合约，因此不进行日历套利相关检验。

通过观察铜期权套利机会统计表可以发现，铜期权不存在价差，蝶式，以及平价套利机会。可能造成该结果的原因包括铜期权成交量比50ETF期权成交量大，因而消除部分由于流动性产生的套利机会，以及铜期权标的的做空机制相对50ETF期权更为完善，因此也消除了部分套利机会。

综上所述，国内现有的场内欧式期权可能存在一定的套利机会。但需要注意的是：①50ETF期权为实物交割且认购买入方交割需遵守T+1规则，虽然50ETF波动率相对较低，但仍需关注标的间实际交易完结时间不匹配风险。②铜期权流动性及盘口容量联合带来的风险。

本节选取了某一个交易日的收盘数据进行套利实证分析，主要目的在于发现套利机会，而不是策略的回测。通过实证分析发现，市场中的买卖对价中或多或少存在着套利机会，而买卖对价的套利比隐含波动率的套利更为严格，那么隐含波动率必定存在更多的套利机会。所以在波动率曲面建模中，波动率无套利修复是一个不可或缺的环节。

2）波动率矩阵修复
使用本文第三章模型分别对2019年6月19日场内50ETF期权与铜期权看涨期权收盘数据进行无套利修复。

50ETF期权看涨期权收盘价隐含波动率见图表8，其中，绿色十字标识了50ETF的潜在套利机会。在修复平滑处理后波动率曲面（图表9）消除了上述套利机会，并获得了连续平滑的波动率曲面。对比波动率矩阵修复前后（图表10），修复后的波动率矩阵只是在原矩阵上进行了微调。

铜期权看涨期权收盘价隐含波动率见图表11。在平滑处理后波动率曲面（图表12）同样消除了上述套利机会，并提供了连续平滑的波动率曲面。需要注意的是，由于铜期权标的为对应的不同月份的铜合约，因此不进行日历套利相关处理与检验。

五、结论与展望

本文归纳了波动率曲面无套利约束，给出了波动率曲面修正模型，并进行了实证分析。

本文第二章分析归纳推导出波动率曲面平价套利、日历套利、价差套利和蝶式套利的约束。本文第三章参考了Fengler（2009），在波动率曲面平滑过程中加入无套利约束，给出波动率曲面无套利拟合模型。

本文第四章对上证50期权与铜期权进行实证分析。首先文章对期权波动率曲面套利组合的构建做了详细的描述。然后统计了单日上证50期权与铜期权的套利检验结果。结果表示，目前场内期权交易存在一定的套利机会。由于交易中实际保证金情况、融资利率、市场滑点与其他交易费用等问题，在实际交易中可能无法重现上述结果，但在依然能为投资者提供参考。最后应用波动率曲面无套利拟合模型，对上证50期权与铜期权隐含波动率曲面进行处理，获得无套利的波动率曲面。新的曲面在旧曲面的基础上进一步排除了潜在套利机会，在实务中有利于支持投资交易和风险控制。

Fengler（2009）给出的算法实际上达到了两个目的：1）新的波动率矩阵是无套利的；2）拟合出波动率曲面。其实，我们还可以把Fengler（2009）的算法与其他波动率曲面模型相结合。假若我们建立了一个波动率曲面模型，我们不再直接把市场数据作为该模型的输入，而是利用Fengler（2009）的算法得出无套利波动率矩阵，再把无套利波动率矩阵作为该模型的输入，进行建模。

本文第四章也给投资者交易作出了参考，投资者可以根据波动率曲面套利原理开发策略。在不是十分有效的市场中，波动率曲面套利应该是时有存在，套利策略在一定的时间内应当是持续有效的。

六、参考文献
1) 邓力. (2017). 上证 50ETF 期权隐含波动率曲面: 建模及实证研究. 投资研究, 36(2), 124-146. Roper, M. (2010). Arbitrage free implied volatility surfaces. preprint.
2) Gatheral, J., & Jacquier, A. (2014). Arbitrage-free SVI volatility surfaces. Quantitative Finance, 14(1), 59-71.
3) Fengler, M. R. (2009). Arbitrage-free smoothing of the implied volatility surface. Quantitative Finance, 9(4), 417-428.

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