反比例函数图象的几何性质

先给出结论，后给出解释。为简单起见下面反比例函数k值均＞0，所有图形仅出现在第一象限。结论一：有任意两个反比例函数图象，过原点任意作两条指向第一象限的射线，与前两图象分别交于A，C点以及B，D点。则 AB∥CD。
结论二：取任一反比例函数图象上任一点A，以A为圆心AO为半径作圆交x轴于B点，构造等腰三角形AOB，则AB所在直线与反比例函数图象相切。
结论三：取任一反比例函数图象上任一点A，过A向x轴作垂线段AB，B为垂足。过B作OA平行线交反比例函数图象于C点，则BC：OA=根5-1:2≈0.618，即黄金分割比例。
结论四：取任一反比例函数图象上任一点A，如结论二所示先构造等腰三角形OA1B1，再过B1 作OA平行线B1A1，构造下个相似的等腰三角形B1A2B2，依此类推，直到第n个等腰三角形Bn-1AnBn，则OBn=根n倍OB1，且如果A1坐标为（x1，y1），则An坐标为（（根n+根(n-1))x1,(根n-根（n-1))y1)

接下来三个结论都来源自同一个背景一个本质。结论五：取任一反比例函数图象上任一点A，以A为顶点构造等腰△AOC，AO与AC分别于另一k值较小的反比例函数图象交于B和D，当A点变化时，BCD位置跟随发生变化，但AB：AO，AD：AC的值均不变（取决于A点双曲线参数k1和B点双曲线参数k2）
结论六：取任一反比例函数图象上任一点A，以A为顶点构造等腰△AOC，AO与AC分别于另一k值较小的反比例函数图象交于B和D。过A和B作x轴垂线垂足分别为E和F，过D作DG⊥AF于G，则S梯形ABEF=S△ADG
结论七：取任一反比例函数图象上任一点A，以A为顶点构造等腰△AOC，AO与AC分别于另一k值较小的反比例函数图象交于B和D，则有OB+AD=AO。
利用该结论可构造以下特例：取任一反比例函数图象上任一点A，以A为顶点构造等腰△AOC，过A作x轴垂线垂足为B，在OA上取OD=OB，过D点的反比例函数图象交AC于E点，则有AE=AB。
以上结论的一些解释与推导：结论（1）：设A，B所在反比例函数参数为k1，C，D所在反比例函数参数为k2，AO：CO=BO：DO=根k1：根k2，所以AB∥CD。
结论（2）：首先一个前提，任一直线不可能和双曲线产生三个交点。然后延长BA交y轴于C，显然A为BC中点。再结合之前文章中的结论三：过双曲线一支上两点作直线与坐标轴相交，则每点与其相邻坐标轴交点构成的线段长相等。则如果直线与双曲线无论在AC段还是AB段还有一交点，必存在另一关于A对称的交点。这将产生了3交点和前提矛盾。故仅存在A点唯一一个交点，即AB与双曲线相切。
结论（3）：过C作CD⊥x轴于D，设BC：AO=k，则BD=kOB，CD=kAB。由AB*OB=CD*OD，得k（k+1）=1，解得k=（根5-1）/2.
结论（4）：不妨设各等腰三角形底分别为OB1=2a1，B1B2=2a2，……Bn-1Bn=2an，，高分别为ka1,ka2,……kan，k为等腰三角形底角正切值。a1+a2+……an=bn，考察A1点即k*a1*a1=k*b1^2=k*a1^2,A2点即k*（2a1+a2)*a2=k*(b2+b1)(b2-b1)=k*(b2^2-b1^2)=k*a1^2.同理k*(b3^2-b2^2)=k*a1^2,……，k*(bn^2-bn-1^2)=k*a1^2.将以上各式相加，即可得bn=根号n倍a1，乘2后代表的几何意义即为OBn=根n倍OB1,由于An横坐标为2a1+2a2+……an=bn+bn-1，纵坐标为kan=k（bn-bn-1），剩下坐标关系An坐标为（（根n+根(n-1))x1,(根n-根（n-1))y1)也显而易见。

剩下三个结论，其几何证明都基于以下这个几何结论：S△BOE=S梯形GFCD
证明其实非常简单：过D作DH⊥x轴于H，S梯形DGFC=S△DGF+S△DFC=S△DHF+S△DFO=S△DOH=S△BOE。
然后得到S梯形ABEF=S△AGD，从而AD：AC=根号下（S△AGD：S△AFC）=根号下（S梯形ABEF：S△AOF），如果B所在双曲线k值为k1，A所在双曲线k值为k2，还能推出AD：AC值最本质很简洁的公式，等于根号下（1-k1/k2).此时(OB：OA)+（AD：OA）=k1/k2+1-k1/k2=1,即OB+AD=OA。以上这些结论模型在一些中考题或者模拟题中也有用武之地，也许常规方法也能做，但能理解到上面的层次可以做的更快更好。
(本文转自网络，版权归作者.)

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