高考数学函数题“必考知识点&常考题型”总结！考试专用

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本文来源于公众号：高考数学（ID：gksx100）
中学数学教与学（ID：zxsxjyx）选编（转载请注明出处）

1 . 适用条件

[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。

注：上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。

2 . 函数的周期性问题(记忆三个)

(1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;
(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;
(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。

注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。

3 . 关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下

(1)若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2
(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;
(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称

4 . 函数奇偶性

(1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0;
(2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项
(3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空

5 . 数列爆强定律

(1)等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);
(2)等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差
(3)等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立
(4)等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+qmS(n)可以迅速求q

6 . 数列的终极利器，特征根方程

首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，
a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。

二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数)

7 . 函数详解补充

1、复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外
2、复合函数单调性：同增异减
3、重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。

它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0，根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。

8 . 常用数列bn=n×(2n)求和Sn=(n-1)×(2(n+1))+2记忆方法

前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个2

9 . 适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式

k椭=-{(b)xo｝/{(a)yo｝k双={(b)xo｝/{(a)yo｝k抛=p/yo

注：(xo，yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。

10 . 强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技

已知直线L1：a1x+b1y+c1=0直线L2：a2x+b2y+c2=0
若它们垂直：(充要条件)a1a2+b1b2=0;
若它们平行：(充要条件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[
这个条件为了防止两直线重合)

注：以上两公式避免了斜率是否存在的麻烦，直接必杀!

11 . 经典中的经典

相信邻项相消大家都知道。
下面看隔项相消：
对于Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]

注：隔项相加保留四项，即首两项，尾两项。自己把式子写在草稿纸上，那样看起来会很清爽以及整洁!

12 . 爆强△面积公式

S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m，n)，向量BC=(p，q)

注：这个公式可以解决已知三角形三点坐标求面积的问题

13 .  你知道吗?空间立体几何中：以下命题均错

(1)空间中不同三点确定一个平面
(2)垂直同一直线的两直线平行
(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(4)如果一条直线与平面内无数条直线垂直，则直线垂直平面
(5)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
(6)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体都是棱锥

注：对初中生不适用。

14 . 一个小知识点

所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。

15 . 求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n为正整数)的最小值

答案为：当n为奇数，最小值为(n-1)/4，在x=(n+1)/2时取到;

当n为偶数时，最小值为n/4，在x=n/2或n/2+1时取到。

16 . √〔(a+b)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b为正数，是统一定义域)

17 . 椭圆中焦点三角形面积公式

S=btan(A/2)在双曲线中：S=b/tan(A/2)

说明：适用于焦点在x轴，且标准的圆锥曲线。A为两焦半径夹角。

18 . 爆强定理

空间向量三公式解决所有题目：cosA=|{向量a.向量b｝/[向量a的模×向量b的模]
(1)A为线线夹角
(2)A为线面夹角(但是公式中cos换成sin)
(3)A为面面夹角注：以上角范围均为[0，派/2]。

19 . 爆强公式

1+2+3+…+n=1/6(n)(n+1)(2n+1);13+23+33+…+n3=1/4(n)(n+1)

20 . 爆强切线方程记忆方法

写成对称形式，换一个x，换一个y

举例说明：对于y=2px可以写成y×y=px+px
再把(xo，yo)带入其中一个得：y×yo=pxo+px

21 .  爆强定理

(a+b+c)n的展开式[合并之后]的项数为：Cn+22，n+2在下，2在上

22 .  转化思想

切线长l=√(d-r)d表示圆外一点到圆心得距离，r为圆半径，而d最小为圆心到直线的距离。

23 . 对于y=2px

过焦点的互相垂直的两弦AB、CD，它们的和最小为8p。
爆强定理的证明：对于y=2px，设过焦点的弦倾斜角为A
那么弦长可表示为2p/〔(sinA)〕，所以与之垂直的弦长为2p/[(cosA)]
所以求和再据三角知识可知。
(题目的意思就是弦AB过焦点，CD过焦点，且AB垂直于CD)

24 . 关于一个重要绝对值不等式的介绍爆强

∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣

25 . 关于解决证明含ln的不等式的一种思路

举例说明：证明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)

把左边看成是1/n求和，右边看成是Sn。

解：令an=1/n，令Sn=ln(n+1)，则bn=ln(n+1)-lnn，
那么只需证an>bn即可，根据定积分知识画出y=1/x的图。
an=1×1/n=矩形面积>曲线下面积=bn。当然前面要证明1>ln2。

注：仅供有能力的童鞋参考!!另外对于这种方法可以推广，就是把左边、右边看成是数列求和，证面积大小即可。说明：前提是含ln。

26 . 爆强简洁公式

向量a在向量b上的射影是：〔向量a×向量b的数量积〕/[向量b的模]。
记忆方法：在哪投影除以哪个的模

27 .  说明一个易错点

若f(x+a)[a任意]为奇函数，那么得到的结论是f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右边不是-f(-x-a)〕
同理如果f(x+a)为偶函数，可得f(x+a)=f(-x+a) 牢记

28 . 离心率爆强公式

e=sinA/(sinM+sinN)

注：P为椭圆上一点，其中A为角F1PF2，两腰角为M，N

29 . 椭圆的参数方程也是一个很好的东西，它可以解决一些最值问题。

比如x/4+y=1求z=x+y的最值。
解：令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍!

30 . 仅供有能力的童鞋参考的爆强公式

和差化积
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

积化和差
sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

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