初中数学之函数启发

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初中数学之函数启发
函数这个概念在初高中数学学习中，其重要性不言而喻，我也一直想写一写关于这方面的见解。但却迟迟没有动笔，究其原因，主要是担心自己写的东西不能让初学者看懂，让已学者顿悟，便不如不写。但关于这个主题的思考总在心中盘桓，若不梳理明白，总觉心有不甘！

昨天跟一个朋友（一位优秀的初中科学老师）聊天，她谈及现在的科学越来越难，很多需要数学上对于函数的理解，但初中数学函数的概念是很迟教的，或者教的程度不够，无法让学生联系应用到其他学科的学习。因朋友的话，我积压内心多时关于函数的思路便再次活络起来了。择日不如撞日，今天，我姑且理一理关于函数的思考吧。

一、函数概念的来源
我们知道，世界上万事万物是有普遍联系的。很多时候，两个事物之间呈现的是因果关系（一个事件（即“因”）和第二个事件（即“果”）之间的作用关系），比如弦的音调高低依赖于弦的长度、重量和张力，大气压强依赖于高度，枪弹的能量依赖于它的质量和速度等。物理学家的任务就是搞清楚这些因果关系，为了更好描述这种关系，物理学家们（他们很多是数学家）抽象出了函数这个概念。

随着人们认识地深入，函数已不只是用来表示物理上的因果关系，函数在数学上只是变量之间相互依赖的一个规律。

二、函数概念的发展
在历史上，函数概念的正确确立，经历了漫长的过程，读者们可以沿着历史的步伐，看看历史上的大数学家是如何理解函数的，一下子看不懂没有关系，人家大数学家还一下子抓不到函数的本质呢，你就不求甚解，多看多记多思考，量变到质变，没准某个瞬间，你就开窍了呢！
18世纪的数学家大多数相信一个函数必须处处都有相同的解析表达式

Euler和Lagrange允许函数在不同的区域上具有不同的表达式

在Gauss的早期著作中函数指的是一个封闭（有限解析的）的表达式

Lacroix1797年的《专著》中早就引入了一个更广的概念。他在引论中说：”每一个量，若其值依赖于一个或几个别的量，就称它为后者（这个或这些量）的函数

例如：Lacroix把一个五阶方程的一个根作为该方程系数的函数
Lacroix在他的《热的解析理论》中说：“通常，函数表示相接的一组或纵坐标，它们中的每一个都是任意的……我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；它们以任何方式一个挨着一个……“实际上，他只讨论了在任一有限区间。

Cauhy在他1821年的书中是从定义变量开始的.“人们把一次取许多互不相同的值得量叫做变量.当变量之间联系起来的时候，人们想象这些量是用其中的一个来表达的，这时这个量就取名为自变量，由这自变量表示的其他量就叫这个自变量的函数。

Dirichlet给出了（单值）函数的定义，这个定义是现今最常用的，即如果对于给定区间上的每一个x的值有唯一的一个y同它对应，那么y就是x的一个函数，至于在整个区间上y是否按照一种或多种规律依赖于x，或者y依赖于x是否可用数学运算来表达，那都是无关紧要的。

三、函数的概念和内涵
函数描述的是两个事物之间的联系，用变量分别代表两个事物的变化。

变量：指没有固定的值，可以改变的数；也指在一个变化过程中可以取不同数值的量；几何意义为数轴上变动的对应点，变量以非数字的符号来表达，一般用英文字母表示。

函数：一个变量随着另一个变量的改变而改变，前一个变量叫应变量，后一个变量叫因变量，这个定义是初中的定义，理解上更多的是从物理上的因果关系中引出的概念，让初学者更容易理解吧。

前面讲过变量的几何意义是数轴上变动的对应点，自变量对应的点在一数轴上变动，因变量对应的点也在一数轴上变动，将两根数轴垂直放置，就形成了平面直角坐标系。

这样点就可以有序数对----坐标来表达，据说是笛卡尔生病卧床的时候，看到“蜘蛛网”后产生的创意，从此就有了解析几何。

四、函数的外延
为了更好的认识函数概念，我们来看看函数的外延：

初高中碰到的函数，其图像一般是连续的（就是不断开的），也有不连续的，例如狄里克莱函数，是个在函数史上很有名的函数，大大拓宽了人们对于函数概念的理解。

结语：
我们认识一个数学对象，单纯从定义出发，往往是一下子无法把握它的本质的，需要研究它的外延，就是举出符合它定义的典型例子，从这些例子中归纳出它的共性，有些时候，还要举出一些反例，不符合它定义的例子，来加深对它定义的理解。

加油，所有爱数学的朋友们，让我们一起徜徉在数学的殿堂，一起去探求更神秘的未来！

参考文献：《什么是数学》《古今数学思想》
关于作者
俞海东，学生爱称“东哥”，浙江师范大学数学系毕业。热衷于数学教学与研究。著有《数学思维培训自学课程》和《数学思维培训基础教程》。

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