加入交乘项后符号变了!?

作者：连玉君 (知乎 | 简书 | 码云) Stata连享会精品专题 || 精彩推文

python 爬虫与文本分析专题-现场班

连享会-Python爬虫与文本分析现场班-山西大学 2019.5.17-19[h2]一起学空间计量……[/h2]
空间计量专题-西安 2019.6.27-30

特别说明

文中包含的链接在微信中无法生效。请点击本文底部左下角的

【阅读原文】

复制代码

，转入本文

【简书版】

复制代码

。
[h2]1. 简介[/h2]

Stata：交乘项该如何使用？
Stata：边际效应分析
Stata：图示连续变量的边际效应(交乘项)
Stata：图示交互效应\调节效应

在前面的几篇推文中，我们对交乘项的基本设定、图示、边际效应分析等内容进行了较为细致的分析。最近适逢很多学生写毕业论文，有关交乘项的问题又涌上心头。其中，最突出的问题便是：为何加入交乘项后主变量变得不显著了，甚至符号都变掉了？
简单的解释是：此一时，彼一时！
因为，加入交乘项前后，主变量的系数含义发生了实质性的变化，二者不具可比性。本文的目的在于澄清这种差异，并介绍一种让主变量系数在加入交乘项前后不会发生大幅变化  (具有可比性)  的方法。
[h2]2.  为何加入交乘项后主变量符号会变化？[/h2]对于模型

系数
，也就是当
取样本均值时，
变动一个单位对  y  的影响。
当我们加入交乘项
  后，
  的系数含义发生了很大的变化。

先看
  对  y  的边际影响：
，这是大家都了解的基本结论：包含交乘项时，
对 y 的边际影响不再是常数，而是随着
  的取值不同而发生变化。

解释：此时，一阶项
的系数为
。也就是说，在模型  (2)  中，一阶项
的系数表示当
=0 时，
  变动一个单位对  y  的影响。显然，模型  (1)  中的
与模型 (2) 中的
估计值不同，甚至发生符号变化是很正常的事情。
举个简单的例子。假设  y  表示收入；
表示丑陋程度；
  表示教育年限，取值为  0,  1,  2,  ……20，均值为  12。基本想法是想检验「教育能否扭转我在职场上的天生劣势？(你知道我为什么读  PhD  吗？)」假设估计模型  (2)  得到的参数为
=-1.6，
=0.2，即
  。根据上面的数值，可以大致推断模型  (1)  中
的系数约为
。大家可以自行分析一下
和
  的经济含义。

[h2]3.  如何尽力保证模型间的系数可比性？[/h2]若想让加入交乘项前后的模型 (1) 和模型 (2) 中主变量 (
)  的系数具有可比性，可以采用如下模型设定形式  (参见  Balli  H  O,  Srensen  B  E.  Interaction  effects  in  econometrics[J].  Empirical  Economics,  2013,  45(1):  583-603.  [PDF])：

其中，
和
分别表示
和
  的样本均值。
此时，主变量 (
) 的系数
会非常接近基于模型 (1) 得到的
：

大家可能更加关心交乘项的系数是否会发生变化，答案是：不会！
因为，模型  (3)  相对于模型  (2)  无非是增加了一些一阶项和常数项，而交乘项并未发生变化。我们也可以用更为正式的方式来得到这一结论。对于模型  (2)  而言，
，而在模型 (3) 中
。
[h2]4.  部分离差还是全部离差？[/h2]在模型 (3) 中
称为
的离差形式，其实就是对
  的每个观察值都做去均值处理。
因此，文献中也会采用如下模型设定形式：

按照上面的分析逻辑不难看出，这个模型与模型 (3) 没有任何本质区别，因为展开后新增的项目
和
都是常数，即

其中，
。简言之，相对于模型  (3)，由模型  (4)  中得到的
,
以及
  的系数都是完全相同的，唯一差别在于常数项。
需要补充说明的是，无论是采用模型  (3)  还是模型  (4)，本意都是为了方便对系数的含义进行解释，并不是所谓的克服共线性之类的说辞。
[h2]5. 模拟分析[/h2]参考 Balli et al. (2013, [PDF]) 文中的做法进行模拟，发现在使用交乘项时，在模型中用
替换
，一次项的系数更容易解释一些。
Note：这里的 x 表示上文中的
，这里的 z 表示上文中的
。

1. *-Source:
复制代码
1. /*
复制代码
1. Balli, H. O., B. E. Srensen, 2013,
复制代码
1. Interaction effects in econometrics,
复制代码
1. Empirical Economics, 45 (1): 583-603.
复制代码
1. */
复制代码
1. /* Table 1
复制代码
1. The true model is Y = 3X1 + 5X2 + 8X1X2 + e
复制代码
1. where X1 = 1 + e1 and X2 = 1 + e2,
复制代码
1. ei~N(0,1) for i = 1, 2
复制代码
1. (X1 and X2 are not correlated) and e~N(0,100).
复制代码
1. A constant is included but not reported.
复制代码
1. The sample size is 500 and the number of simulations is 20,000.
复制代码
1. Averages of estimated t statistics are shown in parentheses
复制代码
1. */
复制代码
1. clear
复制代码
1. set obs 500
复制代码
1. set seed 135
复制代码
1. local rhox = 0
复制代码
1. gen x = 1 + rnormal()
复制代码
1. gen z = 1 + rnormal() + `rhox'*x
复制代码
1. gen e = rnormal(0,10)
复制代码
1. gen y = 10 + 3*x + 5*z + 8*x*z + e
复制代码
1. pwcorr y x z
复制代码
1. center x z, prefix(c_)
复制代码
1. *-模型 (0)
复制代码
1. reg y x
复制代码
1. est store m0
复制代码
1. *-模型 (1)
复制代码
1. reg y x z
复制代码
1. est store m1
复制代码
1. *-模型 (2)
复制代码
1. reg y x z c.x#c.z
复制代码
1. est store m2
复制代码
1. *-模型 (3)
复制代码
1. reg y x z c.c_x#c.c_z // Balli2013, Eq.(3)
复制代码
1. est store m3
复制代码
1. *-模型 (4)
复制代码
1. reg y c_x c_z c.c_x#c.c_z
复制代码
1. est store m4
复制代码
1. *-结果对比
复制代码
1. local m "m0 m1 m2 m3 m4"
复制代码
1. local m "m1 m2 m3 m4"
复制代码
1. esttab `m' `s', nogap replace order(x z c_x c_z) ///
复制代码
1. b(%6.3f) s(N r2_a) drop(`drop') ///
复制代码
1. star(* 0.1 ** 0.05 *** 0.01) ///
复制代码
1. addnotes("*** 1% ** 5% * 10%")
复制代码

1. ----------------------------------------------------------------------------
复制代码
1. Model (1) (2) (3) (4)
复制代码
1. ----------------------------------------------------------------------------
复制代码
1. x 9.979*** 2.904*** 10.047***
复制代码
1. (17.66) (4.48) (21.68)
复制代码
1. z 12.898*** 5.450*** 13.101***
复制代码
1. (22.53) (8.14) (27.90)
复制代码
1. c_x 10.047***
复制代码
1. (21.68)
复制代码
1. c_z 13.101***
复制代码
1. (27.90)
复制代码
1. x#z 7.479***
复制代码
1. (15.59)
复制代码
1. c_x#c_z 7.479*** 7.479***
复制代码
1. (15.59) (15.59)
复制代码
1. _cons 3.024*** 9.792*** 2.485*** 25.275***
复制代码
1. (3.12) (10.81) (3.12) (53.61)
复制代码
1. ----------------------------------------------------------------------------
复制代码
1. N 500.000 500.000 500.000 500.000
复制代码
1. r2_a 0.629 0.751 0.751 0.751
复制代码
1. ----------------------------------------------------------------------------
复制代码
1. t statistics in parentheses
复制代码
1. *** 1% ** 5% * 10%
复制代码
1. . sum y x z
复制代码
1. Variable | Obs Mean Std. Dev. Min Max
复制代码
1. -------------+---------------------------------------------------------
复制代码
1. y | 500 25.55029 21.10401 -33.97629 103.5704
复制代码
1. x | 500 1.023 1.018471 -2.755543 3.808831
复制代码
1. z | 500 .9550672 1.005523 -1.766887 3.902355
复制代码

结果分析：

在模型 (1)-(3) 中，交乘项的系数和 t 值都完全相同；
对比模型 (3) 和模型 (4)，除了常数项外，其他变量的系数和 t 值完全相同；
模型 (2) 和模型 (3) 中的一阶项系数之间的关系。在两个模型中 x 的系数分别为 2.904 和 10.047。z 的样本均值为 zm = 0.955。因此，对于模型 (2) 而言，当 z 取其样本时，dy/dx (z=zm) = 2.904 + 7.479*zm = 2.904 + 7.479*0.955 = 10.046。这与第三列中由模型 (3) 估计出的 x 的系数 (10.047) 非常接近。期间的微小差别主要源于四舍五入。
模型 (1) 和模型 (3) 中的一阶项系数之间的关系。这是我们最关心的事情。由上面的分析可知，虽然模型 (1) 和 (2) 中 x 的系数存在很大差异，但 (1) 和 (3) 中 x 的系数应该比较接近。我们看到的结果也的确如此。

事实上，在很多论文中，通常会先估计 y = a + b*x，而不是 y = a + b1*x + b2*z ，即本文的模型 (1)。如果 corr(x, z) = 0，这两个模型中得到的 x 的系数不会有明显差异，但如果 x 和 z 彼此相关，则简化模型 y = a + b*x 就会存在遗漏变量的问题，其系数是有偏估计。感兴趣的读者，可以把上述模拟分析代码中的

local rhox = 0

复制代码

修改为

local rhox = 0.5

复制代码

或

local rhox = -0.5

复制代码

等数值，并在结果呈现部分也列示出 m0 的结果，看看系数估计值会发生哪些变化。
[h2]6. 结论和实操建议[/h2]

若只关心交乘项的系数，则使用模型 (1)-(3) 中的任何一种形式，都不影响系数的统计推断。
若希望让加入交乘项前后一阶项的系数容易解释，也具有可比性，可以在论文中呈现模型 (1) 和模型 (3) 的结果。
如果
是一个虚拟变量，则无需做中心化处理，在论文中呈现模型 (1) 和模型 (2) 的结果即可，此时基于模型 (2) 进行分析反而更为直观。

[h1]参考文献[/h1]

Balli H O, Srensen B E. Interaction effects in econometrics[J]. Empirical Economics, 2013, 45(1): 583-603. [PDF] 这篇讲的非常清楚，还做了 MC 分析。
Bun M J G, Harrison T D. OLS and IV estimation of regression models including endogenous interaction terms[J]. Econometric Reviews, 2018: 1-14. -PDF-
Ebbes, P., D. Papies, H. van Heerde. 2016, Dealing with endogeneity: A nontechnical guide for marketing researchers[C], Handbook of market research 1-37. 从 IV 讲起，很细致，进一步讨论了交乘项内生以及多个内生变量的情形。[PDF]
Papies, D., P. Ebbes, H. J. Van Heerde. 2017, Addressing endogeneity in marketing models[C], Advanced methods for modeling markets (Springer, 581-627. [PDF], [web]

[h2]后续写作安排[/h2]

离差形式的系数含义图示，边际效应图示
包含内生变量以及内生变量的交乘项的情形
包含两个以上内生变量
估计方法
- IV
- 2SLS
- 控制函数法 (Control Function Approach, see Ebbes, Papies, van Heerde, 2016, pp.28 讲的非常清楚)
- 潜工具变量法 (LIV, see Ebbes, Papies, van Heerde, 2016)

[h3]关于我们[/h3]

【Stata 连享会(公众号：StataChina)】由中山大学连玉君老师团队创办，旨在定期与大家分享 Stata 应用的各种经验和技巧。
公众号推文同步发布于 CSDN-Stata连享会、简书-Stata连享会和知乎-连玉君Stata专栏。可以在上述网站中搜索关键词
1. Stata
复制代码
或
1. Stata连享会
复制代码
后关注我们。
点击推文底部【阅读原文】可以查看推文中的链接并下载相关资料。
Stata连享会精彩推文1 || 精彩推文2

[h3]联系我们[/h3]

欢迎赐稿：欢迎将您的文章或笔记投稿至
1. Stata连享会(公众号: StataChina)
复制代码
，我们会保留您的署名；录用稿件达
1. 五篇
复制代码
以上，即可免费获得 Stata 现场培训 (初级或高级选其一) 资格。
意见和资料：欢迎您的宝贵意见，您也可以来信索取推文中提及的程序和数据。
招募英才：欢迎加入我们的团队，一起学习 Stata。合作编辑或撰写稿件五篇以上，即可免费获得 Stata 现场培训 (初级或高级选其一) 资格。
联系邮件： StataChina@163.com

[h3]往期精彩推文[/h3]

欢迎加入Stata连享会(公众号: StataChina)[h2][/url][/h2][url=http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzAwMzk4ODUzOQ==&mid=2247485104&idx=1&sn=8c47b6a91d36cd81fc57f9b9cdd550b6&chksm=9b338be4ac4402f2e2b7358a827202258691bdd76d656d07eca27ce50905f1d47dd6042e0071&scene=21#wechat_redirect]

[url=http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzAwMzk4ODUzOQ==&mid=2247485064&idx=1&sn=58e05c5ef029356ddfe71cb6defefd4b&chksm=9b338bdcac4402caebd7ff2e33af05ad0133351e277040f5d365a3da2fdbf2d6036fe75f9789&scene=21#wechat_redirect][/url]