期权玩不好，那是你算法不行

当我最初接触到vix.shtml" target="_blank" class="relatedlink">50ETF期权的时候，首先看到的是这个跨式期权组合的到期损益图，乍看上去，买期权是一个很棒的主意。可以同时看涨市场和看空市场，观点错了也就是损失一点权利金，T+0交易而且还没有平今手续费。

在大约一周之后，我才意识到这个第一印象错的有多么离谱。欧式期权的到期损益图是一个非常直观的表示期权到期时刻损益情况的示意图，但这个图在定量绘制的时候表现的盈亏比要咋看上去的示意图糟糕的多，形象的说这是一张很昂贵的“彩票”。

对现在的50ETF期权，通常买入一个平值跨市组合并持有至到期需要支付标的价格的4%~8%作为成本，这意味着持有到期一个跨市组合需要标的价格向上或者向下移动4%～8%的幅度才能够抵销建立这个头寸付出的成本。但经统计，50ETF的历史行情数据显示在过去10年中月收益率绝对值超过4%的概率只有48.3%不足一半，超过8%的概率更是只有21.8%。

更定量化的方法是从策略分析的角度预估持有这个期权组合的头寸在到期日损益的期望值，这取决于期权的成本和标的价格的概率分布，可以通过到期损益图和概率图进行估算。统计分析历史数据就会发现从长期来看这种期望为负值的策略不是一个好的交易策略。

事实上市场上大部分的期权头寸都不会被持有至到期，大多数的交易者会在行权日之前根据市场状况获利了结或及时止损。在期权到期前组合头寸的损益分析则相对复杂一些，例如，在不考虑波动率等影响期权价格因素变动的情况下，随着时间的流逝持有如上图所示的跨市组合损益变化如下图:

可见更短的时间内发生更大的价格移动将产生更多的盈利，这意味着标的价格波动的速度直接影响跨市组合头寸的损益，标的价格波动的速度通常可以用波动率来衡量。

标的未来的价格运动是不确定的，无法直接刻画，这可以通过使用单位时间内标的价格波动范围对应的概率来间接描述，即在单位时间内标的价格大概率落在什么范围内。如下图概率分布图为股票无限的价格可能分配了相应的概率，概率的大小侧面体现了标的价格的波动性。

相比于正态分布，50ETF历史收益率分布图呈现明显的尖峰肥尾。收益率的尖峰表明大多数时候标的价格波动速度比分布要慢，而肥尾意味着50ETF实际发生极端收益率的概率要远远大于正态分布对应的概率。

在期权理论定价模型中通常将标的收益率的概率分布近似假设为正态分布来对期权进行估值。正态分布可以仅用均值和标准差来描述，均值描述分布曲线峰值的位置，标准差刻画曲线向两边展开的速度。Black-Scholes期权定价模型推导过程中巧妙的消除了均值变量，当我们把波动率输入理论定价模型的时候，实际上是在输入正态分布的标准差。

标准差不仅描述了概率分布曲线向两翼展开的速度，还刻画了标的收益率落在某个范围内的概率。

对期权合约价值进行理论定价时，波动率被假设为连续复利计算的收益率的标准差。同利率一样，波动率总是使用年化数值表示。经典的Black-Scholes期权定价模型告诉我们对冲Delta风险的成本就是期权的价值，这意味着理论上期权的价值取决于标的价格在期权存续期内的波动率sigma。由于波动率发生在未来，交易者不知道波动率的准确取值，通常使用定价模型从市场价格中倒推出一个隐含的波动率取值，这个隐含波动率sigma_i 可以被视为所有市场参与者对于某个期权剩余期权内标的价格波动预期的共识。

尽管Black-Scholes模型是一个优雅的模型，但在实践中表现不佳。例如，众所周知，股票价格有时会跳跃，并不总服从广义布朗运动(GBM)模型假设的连续移动方式。股票价格也往往比GBM预测的尖峰肥尾。最后，如果Black-Scholes模型是正确的，那么我们应该看到一个几乎平的隐含的波动率曲面，波动率微笑的存在并不符合BSM模型的假设，即隐含波动率是实际波动率的预期值，而且只能有一个值。注意期权的价格是从股票的价格中推导出来的，但是股票的波动率并不取决于期权。以上表明Black-Scholes模型远非准确，但它使得你可以使用一种非常理性的方法来衡量期权的价值。

有了波动率和理论定价模型，我们就可以更精确的定量分析上面的跨市组合。将波动率作为参数输入希腊值计算公式中就可以估算各种风险因素对期权价值的影响。根据Black-Scholes模型和泰勒公式，期权价值V变动可以近似表示为:

这些偏微分方程系数被称为期权的希腊值，描述了期权与市场相关的风险变动关系。不同的期权对风险的敏感性不同，通过动态的调整头寸中持有的期权的种类和数量可以构建出比股票和期货更精确刻画市场状态的头寸组合，这相当于定制一个特定的结构化产品。例如在存续期间持续动态对冲上面的跨市组合的Delta风险则期权头寸的价值变化就可以近似表示为：

则对于交易者而言，离散进行的动态对冲的daily pnl(Profit and Loss)可以近似表示为（使用隐含波动率sigma_i 代替真实波动率sigma）

它由三个部分组成，
第一部分是Gamma效应，由于Gamma为正，标的价格波动就会盈利。
第二部分是Theta效应，随着时间的流逝，期权持有者会产生损失。
第三部分是Vega效应，市场对标的未来波动率的预期发生变化。
这样上涨和下跌都浮盈的组合，一定伴随时间损耗。Gamma头寸带来波动收益的同时，Theta头寸成为广义对手方承担市场波动风险的补偿。但daily pnl本质上取决于隐含波动率与实际波动率的差，也就是市场对标的价格波动的预期与标的实际波动的偏差。这可以通过将gamma和theta关系近似为

更明显的显示出来，这样daily pnl就转变为股票实际波动率和隐含波动率的关系

其中
是股票的真实波动情况，
是由期权价格根据理论定价模型计算的隐含的理论波动情况。左边表示组合头寸持有期内实际波动率与隐含波动率价差造成的损益，右边表示组合持有期间市场对标的未来波动率预期的变化造成的损益。如上，交易者对于标的价格波动率的观点（体现在建立或取消组合头寸）、市场对此的"共识"以及标的价格真实的波率动共同决定了组合头寸的实际损益。

实际中的波动率交易要更复杂一些，因为在“波动率交易中没有什么是不变的”。例如上文中的希腊值是期权价值在定价模型公式中的参数发生微小变化时的敏感性度量，这些敏感性通常也会随着市场条件（如隐含波动率、标的价格和剩余到期时间等）的变化而变化，并且通常呈现高度非线性变化的特性。对上文中的跨市组合，在不同的时间、标的价格和隐含波动率水平下Gamma/Theta的比率差别很大。这导致期权头寸的盈利是不稳定的，并且也是路径依赖的。这种在不同的市场条件下相同的头寸表出现各异的风险敏感性的特性为期权头寸的风险管理带来增加了复杂度，但同时也为专业的期权交易者带来了额外的非线性收益。