纯函数相关综合（5）（2019版）——压轴系列[尖子生之路]

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纯函数相关综合（5）（2019版）
——一道典型的含参计算说理

【试题】如图，抛物线F：y=ax[sup]2[/sup]+bx+c的顶点为P，抛物线F与y轴交于点A，与直线OP交于点B．过点P作PD⊥x轴于点D，平移抛物线F使其经过点A、D得到抛物线F′：y=a′x[sup]2[/sup]+b′x+c′，抛物线F′与x轴的另一个交点为C．
（1）当a=1，b=﹣2，c=3时，求点C的坐标（直接写出答案）；
（2）若a、b、c满足了b[sup]2[/sup]=2ac
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC的形状，并说明理由．



【图文解析】
（1）由于抛物线F′由抛物线F：y=x[sup]2[/sup]-2x+3＝（x-1）[sup]2[/sup]+2平移所得，所以a=a′=1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，所以c=c′=3．再根据抛物线F的顶点P(1，2)，得D(1，0)，然后将D的坐标代入抛物线F′(此时解析式为y=x[sup]2[/sup]+b′x+3)，解得b′＝-4，进一步得C（3，0）．



简，得b[sup]2[/sup]﹣2bb'+4ac＝0．将b[sup]2[/sup]=2ac（已知）代入，得3b[sup]2[/sup]﹣2bb'＝0．因b≠0，所以b：b′=2：3．
②由图象中可知，四边形OABC的各点坐标均可用a、b、c表示出来．
其中点O（0，0）、C（0，c），而点B坐标可通过直线OP与抛物线F的解析求解，点C的坐标是抛物线F′与x轴的另一交点．




【拓展1】如果得到的四边形是一个正方形呢？请写出需满足的条件．
将本题的第二小题中的已知条件与结论对调，即：
【拓展2】若四边形OABC是矩形，求a、b、c需满足的条件．本题是否有唯一解？
【拓展3】若b：b′＝2：3，求a、b、c需满足的条件．并判断四边形OABC是否是矩形？
【反思】又一道计算说理的试题，关键是敢于进行含参计算．
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