最完美的衍生品，期权及其定价模型全解析

有人说，期权是最完美的金融衍生品，因为合理的配置，行情无论是上涨下跌或者横盘，期权都能够有获利能力。本文将重点讲解一下期权的发展过程，分类，以及其定价的基本原理。
1.期权基础
1.1期权含义
期权（Options），是一种选择权，指能在未来特定时间以特定价格买入或卖出一定数量特定商品的权利。它是在期货的基础上产生的一种衍生金融工具，给予期权买方（或期权持有者）买入或卖出标的资产的权利。
从本质上讲，期权是在金融领域中将权利和义务分开进行定价，权利拥有人在规定时间内自行决定是否行使权利、进行交易；而义务方则必须履行义务。在期权交易时，购买期权的一方称作买方，而出售期权的一方则叫做卖方；买方可以在该项期权规定的时间内选择买或不买、卖或不卖。他可以实施该权利，也可以放弃该权利，而卖方则是必须履行与买方权利所对应义务的交易方。
1.2期权发展历史
早在18 世纪，在工业革命和运输贸易的刺激下，欧洲出现了有组织的期权交易，标的物以农产品为主。由于制度不健全等因素影响，期权交易的发展一直受到抑制，1733年的巴纳德法宣布期权为非法。但一直到1860 年该法被撤消期间，期权交易也从未停止过，只是交易量很小。
18 世纪末美国出现了股票期权。由于当时还不存在期权的中心交易市场，期权都是在场外进行交易，市场依靠那些为买方和卖方寻求配对方的经济商才得以运行。
1973年4月26日芝加哥期权交易所（CBOE）开张，进行统一化和标准化的期权合约买卖，上述问题才得到解决。期权合约的有关条款，包括合约量、到期日、敲定价等都逐渐标准化。起初，只上市16只股票的看涨期权，很快，这个数字就成倍地增加，股票的看跌期权不久也挂牌交易，迄今，全美所有交易所内有2500多只股票和60余种股票指数开设相应的期权交易。之后，美国商品期货交易委员会放松了对期权交易的限制，有意识地推出商品期权交易和金融期权交易。
1983年1月，芝加哥商业交易所提出了S&P500股票指数期权，纽约期货交易所也推出了纽约股票交易所股票指数期货期权交易，随着股票指数期货期权交易的成功，各交易所将期权交易迅速扩展至其它金融期货上。目前，期权交易所已经遍布全世界，其中芝加哥期权交易所（CBOE）居于首位。
外汇期权出现的时间较晚，现在最主要的货币期权交易所是费城股票交易所（PHLX），它提供澳大利亚元、英镑、加拿大元、欧元、日元、瑞士法郎这几种货币的欧式期权和美式期权合约。目前外汇期权交易中大部分的交易是柜台交易，中国银行已经开办的“期权宝”业务同样采用了期权柜台交易方式。
目前国际市场上几个主要的期权交易所及其相应的主要上市品种如下：

1.3期权分类
根据期权交易方式、方向、标的物等方面的不同，可以将期权划分为不同的类型。
◆按行权权利划分，包括看涨期权、看跌期权两种
看涨期权（Call）是指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权利金后，即拥有在期权合约的有效期内，按事先约定的价格向期权卖方买入一定数量合约规定的特定商品的权利，但不负有必须买进的义务。而期权卖方有义务在期权规定的有效期内，根据期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格卖出期权合约规定的特定商品。
看跌期权（Put）是指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权利金后，即拥有在期权合约的有效期内，按事先约定的价格向期权卖方卖出一定数量合约规定的特定商品的权利，但不负有必须卖出的义务。而期权卖方有义务在期权规定的有效期内，应期权买方的要求，以期权合约事先规定的价格买入期权合约规定的特定商品。
◆按期权的交割时间划分，包括美式期权、欧式期权及百慕大期权三种
美式期权（American Options）是指在期权合约规定的有效期内任何时候都可以行使权利。
欧式期权（European Options）是指在期权合约规定的到期日方可行使权利，期权的买方在合约到期日之前不能行使权利；超出期限合约自动作废。
百慕大期权（Bermuda options）一种可以在到期日前所规定的一系列时间行权的期权。
界定百慕大期权、美式期权和欧式期权的主要区别在于行权时间的不同，百慕大期权可以被视为美式期权与欧式期权的混合体，如同百慕大群岛混合了美国文化和英国文化一样。
◆按期权合约标的划分，包括个股期权、股指期权、利率期权、商品期权以及外汇期权等诸多种类
个股期权也被称为股票期权，一般是指企业授予员工、高管的在未来可以按照目前约定价格购买一定数量公司普通股的选择权。接受期权的员工、高管有权在一定时期之后出售这些股票，获得股票市价和行权价之间的差价；但在合同封闭期内，期权一般不可转让、也不能得到股息。个股期权制度是上市公司经常使用的一种主流薪酬激励制度。
股指期权是在股票指数期货合约的基础上产生的。期权购买者付给期权的出售方一笔期权费，以取得在未来某个时间或该时间之前，以某种价格水平（即股指价格点位）买进或卖出某种股票指数合约的选择权。第一份普通股指期权合约1983年3月在芝加哥期权交易所出现，标的物是S&P100股票指数。
利率期权是一种关于利率变化的权利。买方支付一定金额的期权费后，就可以获得这项权利：在到期日按预先约定的利率，按一定的期限借入或贷出一定金额的货币。这样当市场利率向不利方向变化时，买方可固定其利率水平；当市场利率向有利方向变化时，买方可获得利率变化的好处。利率期权的卖方向买方收取期权费，同时承担相应的责任。
商品期权是指标的物为实物商品的期权，如农产品中的小麦、大豆；金属中的铜、黄金等。
外汇期权又称货币期权，其持有人即期权买方享有在合约到期或之前以规定的价格购买或销售一定数额某种外汇资产的权利。期权卖方收取期权费，有义务在买方要求执行时卖出（或买进）外汇资产时买进（或卖出）该种外汇资产。
◆按期权内在价值划分，包括实值期权、虚值期权和平价期权三种
实值期权（ITM，In the Money）：指内在价值为正的期权。
平价期权（ATM，At the Money）：指内在价值为零的期权。
虚值期权（OTM，Out of the Money）：指内在价值为零的期权。
1.4期权特点
期权买方为了获得相应权利，必须向卖方支付一定数量的费用（即权利金，premiums）。
期权买方取得的权利只能在未来的行使。如在未来一段时间内（指美式期权），或在未来某一特定时点（指欧式期权）。
期权买方在未来买卖标的物的价格是事先约定好的（即履约价格或行权价格）。
期权买方可以买进标的物（指买进看涨期权的履约），也可以卖出标的物（指买进看跌期权的履约）。
期权买方取得的是买卖的权利，而不负有必须买进或卖出的义务。买方有执行的权利，也有不执行的权利，完全可以灵活选择。
最后，期权与期货主要具有以下4种区别：

2、期权定价模型全解析期权定价是期权中最重要的核心。我们通常将期权的价格称为“权利金”或者“期权费”，该价格也是投资者在交易所里买卖期权的市场价格。
2.1、期权理论价格
期权理论价格由内涵价值、时间价值两部分组成。内涵价值（Intrinsic Value)，指立即履行合约可获取的总利润。时间价值(Time Value)，代表了期权受时间流逝影响的那部分价值。期权距到期日时间越长，价格大幅度价格波动的可能性就越大，因此期权买方付出的权利金就越多。
期权理论价值=内涵价值 +时间价值

如前所述，在期权内涵价值不断变化的过程中，可以将其划分为实值期权、平价期权和虚值期权三种。
实值期权：当看涨期权的执行价格低于当时的实际价格时；或者当看跌期权的执行价格高于当时的实际价格时，该期权为实值期权。权为实值期权时，内涵价值大于零。
平价期权：当看涨期权的执行价格等于当时的实际价格时；或者当看跌期权的执行价格等于当时的实际价格时，该期权为平值期权。当期权为平值期权时，内涵价值为零。
虚值期权：当看涨期权的执行价格高于当时的实际价格时，或者当看跌期权的执行价格低于当时的实际价格时，该期权为虚值期权。当期权为虚值期权时，内涵价值为零。
2.2、期权Call-Put两平关系
期权基本模式中的欧式期权由于只能在最终到期日行权，因此我们可以利用对未来现金流量折现的方式构造两组投资组合Pa、Pb，其中Pa包括看涨期权及生息现金（或含息债券）、Pb包括看跌期权及股票。可以证明，上述两组投资组合在未来及现在均具有相同的价值量，该平价关系被我们称之为“Call―Put Parity”，在数学上可以表述为：

其中，C=Call、P=Put、S0=PV（stock price）、X=exercise price、r=risk-free interest rates、T=time remained。
2.3、B-S-M期权定价模型
B-S期权定价模型由布莱克与斯科尔斯在20世纪70年代提出。该模型认为，只有股价的当前值与未来的预测有关；变量过去的历史及变动方式与未来预测无关。模型表明，期权价格的决定非常复杂，合约期限、股票现价、无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权价格。此后莫顿也独立提出期权定价公式，并对B-S模型做出修改。目前，该公式被统称为B-S-M期权定价模型。
在实务中，美国德州仪器公司推出了装有根据这一模型计算期权价值程序的计算器。现在，很多从事期权交易的经纪商都持有不同公司出品的此类计算机，利用按照这一模型开发的程序对交易估价。这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。
B-S-M模型对欧式看涨、看跌期权的定价公式为：

其中参数d1、d2公式为：

C代表的是看涨期权Call的市场定价；P代表的是看跌期权Put的市场定价；S代表标的资产（即股票）的当前价格；X代表行权价；T代表了期权到期日前的剩余的有效期限，也可称为剩余存续期，通常以年为单位（例如，6个月可表示为0.5年）；r代表无风险利率，通常用国债收益率来表示代表；N(d1)和 N(d2)代表标准正态分布变量的累计概率分布函数。

需要指出的是，B-S-M定价模型的计算是建立在“资产价格服从正态分布”、“资产价格的波动率为常数”等前提之上。实证数据显示上述预设条件并不符合原生资产及期权市场交易的实际情况。因此，B-S-M定价模型存在一定程度的内在误差。
2.4二叉树定价法
二叉树期权定价模型早在1979年就被提出，现已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。
它的基本出发点在于：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。同时运用无套利定价原理或风险中性定价原理获得每个结点的标的资产的价格，再根据期权的盈亏状况，从末端T时刻起，在已知现金流终值的情况下倒推计算出期权价格的现值。
某基础资产（S）价格两步骤二叉树模型如下图所示：

在使用二叉树模型为期权定价时，基础资产的价格可以根据不同时间点的货币时间价值推导得出，并且后一阶段的期权价格也可以根据期权约定价格与资产实际价格对比得出。此时真正所求的未知量即为上一阶段的期权价格。某一阶段二叉树模型为某看涨期权（Call）定价变量如下图所示：

此时，在已知S0、S＋、S－、C＋、C－等基本条件的前提下，通过将现金流终值折算为现值的方法可以求解出C0的价格。
[示例]目前HS300股票指数市场点位为2000点，对应股指期权每点价值人民币100元。据分析，半年后有60%的机会该股指会上涨15%、40%的可能会下跌10%，市场无风险利率为3.5%。根据对宏观经济走势的判断，某投资者拟买入一份行权价为2200点位的看涨期权，则该看涨期权目前价位应该为：58.98点，对应金额5898元。
由题意可知：
S0＝2000，S＋＝2000×（1＋15%）＝2300，S－＝2000×（1－10%）＝1800。
当股指上涨到2300点位时，执行价格为2200的看涨期权价值为100点；
当股指下降到1800点位时，执行价格为2200的看涨期权价值为0点。
因此，半年后该看涨期权在考虑了上涨与下跌两种可能性之后的价值为：
60%×100＋40%×0＝60（点）
根据货币时间价值的公式，将半年后的60点折算为半年前（今天）的现值为：

对应金额为：58.89*100=5898元。
当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的时候，该模型将会收敛到BSM模型。该方法优点在于其比较简单直观，可以为美式期权及其他较复杂的期权模型定价。但是它假定在一小段时间内标的资产的价格只以特定的概率向两个方向运动，难以令人信服。
上述三种方法均用到了风险中性定价或无套利定价原理，都能对常规的期权定价，其中BSM模型用的是解析方法，估值要精确一些，而另外两种方法适用范围更广一些。
2.5蒙特卡罗模拟定价法
蒙特卡罗模拟法是一种通过模拟标的资产价格的随机运动路径得到期权价值期望值的数值方法，也是一种应用十分广泛的定价方法。它也要用到风险中性定价原理，其基本思路是，从初始时刻的标的资产价格开始，根据假定的随机路径来模拟出大量的标的资产的到期价值，计算出每个到期价格下期权的收益，求出其均值，再以无风险利率贴现，就得到这个期权的估价。
蒙特卡罗方法的优点在于应用起来相当直接，能处理许多盈亏状态很复杂的情况，尤其是路径依赖性期权（到期收益依赖于中间价）。但它是不擅长于处理美式期权，而且往往所需计算时间较长。
以上，就是期权定价模式的相关内容。
本文来源：投机部落。
作者|暴风城城主

推荐阅读：

交易之路，孤独而精彩
这才是真正的期货交易宇宙无敌大法…其他的都是骗人的！
赌徒？魔术师？白日梦想家？不，我们是风险交易员
只有一种读书的方法是正确的，其他的都是在浪费时间
期货市场，可能是草根崛起，野蛮生长最好的领域之一
稳定盈利二大核心：交易系统+执行力。提高交易执行力的唯一方法

好文！必须点赞