波动率指数的月光前奏曲

记得在大学期间曾听一位教授说过：“对于天才，直觉是必不可少的！”而在21世纪初的期权世界里，CBOE与高盛的一群天才们用自己的直觉敏锐地嗅到了波动率指数与Dirac分解的关系，最终为编制新vix指数谱写出了经典的“前奏曲”。

新VIX指数的编制不再依赖于传统的、有着众多局限性的B-S模型，而是从股价服从一般的扩散过程（Diffusion Process）出发，运用Dirac的Delta函数的分解、Ito公式以及风险中性定价法等金融数学方法，推导出了广义隐含波动率在特定条件下的精确表达式：

最终，通过该表达式的离散近似形式进行指数的编制。下面，就让我们弹奏一首波动率指数的“月光前奏曲”，来欣赏期权世界中的一缕深邃的月光。

（第一乐章：Dirac分解）

或许英国量子力学家Dirac自己都没有想到，他曾搞出的Delta函数的分解公式会在21世纪初被金融界的一群天才用在波动率指数的设计中。关于该分解的具体形式，我们叙述如下：

假设f是关于y的一元函数，且满足所需的正则性条件，于是可以得到如下分解形式：

综上，Dirac分解等式成立。

有了Dirac分解等式，我们可以利用这一工具得出“人造”的“对数期货空头”(Synthetic log-future short position)的盈亏分解式，而正是这一盈亏分解式，让我们揭开了广义隐含波动率显性表达式的真实面纱。

（第二乐章：对数期货空头的盈亏分解式）

看到这一乐章的名称，读者或许会突然被“对数期货空头”这一陌生的名字而怔住。事实上，对数期货空头并不复杂，它只是在实际期货空头的基础上加上了一个ln函数，也就是说普通的期货价格是F时，对数期货的价格就是lnF。

我们知道，对于一份股指期货合约的空方，如果他持有到期，那么盈亏就等于开仓时约定的交割价格减去股指在到期日收盘的价格。那么对数期货空方的盈亏是怎样的呢？很容易可知，他的盈亏就等于
。至此，其实如果您对广义隐含波动率的表达式具有很好的敏感度的话，直接会发现欲求出广义隐含波动率的表达式，关键的关键就在于得出对数期货空头的盈亏表达式。接下来，我们就详细地推导出对数期货空头的具体分解式。

通过这个分解式，我们将对数期货空头与普通期货空头、以及认购、认沽期权多头组合联系在了一起。在第三乐章中，您就会发现正是这个表达式的作用，才解释了为什么新VIX指数的编制只选择全部虚值的认购和认沽期权，而不用实值期权，为什么行权价格间距越小，VIX的计算越精确。

（第三乐章：广义隐含波动率的表达式）

我们在期权定价时，使用了一个十分经典且普适的方法，那就是风险中性定价法。在风险中性的世界里，所有资产的预期收益率都等于无风险利率，所有的定价问题都视为“公平”的定价。同样地，对于未来一段时间内的波动率平均值的估计也是一种广义的“定价”，因此从t时刻到到期日T这段时间内的广义波动率被定义为风险中性的世界里从t时刻到T时刻期间每个瞬时方差序列的平均值的平方根。而它的表达式可以如下推导：

通过严密的证明，可以知道这一离散的求和表达式（2）正是广义波动率表达式（1）极好的可操作的近似表达式。而如今，表达式（2）已经被众多交易市场广泛地视为波动率指数编制的基础性公式。
“江畔何人初见月，江月何时初照人”，或许在运用VIX表达式编程模拟的同时，我需要向那些见第一个见到月光，一步步谱写这些前奏曲的天才们致以敬意。

来源/作者：上交所期权一点通怀念苏黎世的鱼