如何理解 Black-Scholes 期权定价模型？

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匿名用户 · 2018-10-16 00:07:25

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于飞 · 2018-10-16 00:07:26

本人非业内，拥有机器学习和深度学习背景。试着回答一下，请多指教。
假如我要追求一个美女，我为了追求这个美女我需要准备一些礼金。

期权价格其实就是交易费用。计算交易费用类似为了追求某个美女我要准备多少礼金。
反解方差率。类似看别人准备了多少礼金看某个美女究竟有多美。
组合交易。得到美女-礼金的历史散点图或者趋势曲线，为了最大程度的获得美女的青睐，我需要准备多份礼金，那么就需要在不同的美女和礼金之间进行匹配。

dongzhoubin · 2018-10-16 00:07:27

以欧式看涨期权为例。
BS公式从形式上看其实就是资产复制，也就是可以通过持有一定数量的标的和做空（借入）货币市场资金来完全复制期权价格。
当然理论上整个过程中要不断进行调整头寸。BS公式的第一项关于标的，其中N（d1）告诉了我们需要持有的股票数量；第二项则告诉了我们期初所需要借入的资金。因为是借入，所以是负号。
不深入考究的话，在下以为这是从公式表面的形式上所能给出的简单解释了。不知楼主可否理解？

王达仲 · 2018-10-16 00:07:28

推导本身不就是最简单易懂又精炼的解释么？
话说这就是一个calculator,算不上model.....

廖格朗日 · 2018-10-16 00:07:29

作为一个工科生也强行来答一下吧，关于期权这个概念本人还是在2015年的一则关于50etf期权的新闻上看到的。最初以为期权是跟期货差不多的东西，后来看了定义才猛然意识到这玩意不仅可以通过猜标的物的涨跌赚（亏）钱，而且可以可以通过两头下注，猜是否会暴涨或暴跌赚（亏）钱。
不过问题来了，一张这玩意究竟应该值多少钱呢？我自己的想法是酱紫滴：
0. 假设50etf的走势是一个随机游走，单位时间的变化率的标准差是
；

因为各时间段的走势是相互独立的，所以N个时间段变化率的总和的标准差是
；
对于看涨期权来说，如果到期时标的物没有突破行权价，那么就是废纸一张，如果突破了行权价，那么就是有价值的，所以可以按照以下方法来计算价值：

如图所示，在N个时间段之后，标的物的价格是一个正态分布的随机变量，均值等于当前价格，标准差是
，P0是标的物当前价格，P1是行权价。这个随机变量中低于P1的那一部分分布是“废纸”。记这个上述正态分布的概率密度函数是
,所以一张这样的期权的价格应当是:

这个积分式子只对图中阴影部分积分，因为非阴影部分是废纸。
我当时也不知道什么无套利定价，也不知道如何用期权复制出标的物。不过当标的物波动较小，持续时间较短的情况下，算出来的结果应该和BS公式差不多。
后来我看闲书的时候才知道，几十年前有个叫“BS”的家伙搞出了一个差不多的东西（那时我还不知道BS是两个人），区别就在于BS是假设标的物价格是几何随机游走以至于在到期日标的物价格的分布不再是一个正态分布，而且考虑了市场无风险利率。由于当时间较短，波动较小的情况下，几何随机游走与随机游走差不多，所以算出来的结果也是差不多的。
我觉得这个解释应该挺直观的吧。

Lulu Chen · 2018-10-16 00:07:30

Paul Wilmott On Quantitative Finance这书基本上高中没毕业都能看得懂。
然后重要假设正态分布别忘了——LTCM就是靠这个假设破产的。
其实实在不会也没关系的。那么多好工作不做，干吗偏做quant这种工作？

匿名用户 · 2018-10-16 00:07:31

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ChiefX · 2018-10-16 00:07:32

首先明白泰勒公式
之后明白二元泰勒公式
这样就可以明白ito了
之后就知道股票服从的分布
最后就可以求期权啦
说实话直接从数学入手不是更浅显吗……

唐先生 · 2018-10-16 00:07:33

其本质是求一个期权的的期望值，E（一个看涨期权）

然后利用e可以降维打击捏造出来一个对数分布(这样往后推公式可以无限的循环嵌套)，再奇淫巧技愣是给写成了这个形式，最后再声称martingale情况下的风险中性测度来作为未来股票价格的期望，还是S0，以及期权的折现价格，于是就拼出来了这个神奇的公式

Donkey Hotay · 2018-10-16 00:07:34

5月份考QFI-Core。最近在看BS公式。楼上各位都提得足够详细了，只补充一点。

以Euro Call为例。有两项SN（d1)-Ke^-rt N(d2)

这个价格公式在Risk Neutral的下面就是未来option payoff的期望。call的payoff是什么？如果St>K，付两者之差；若小于则0 对不对？

第二项上面有人提到了，就是K，折现到现在，然后乘以St>K的概率。如果以I代表一个指示变量表示St>K（即St>K则I=1，否则0）那么概率就是这个指示变量的期望。

第一项是什么？第一项也是一个期望。不过是S*I的期望。

至于为什么d1和d2的公式这么像，这个推导现在已经很容易了。N(d2)是Risk Neutral测度下的概率，而N(d1)也是一个概率，只不过是不是同一个测度。这个测度下股票收益平均是r+sigma^2，而方差仍然是sigma^2。而这个测度变换之后，乘以S（记得折现后股票价格是鞅么？）就刚好是S*I的期望。
所以我们完全可以把call分解成两个衍生品：
第二项是Ke^-rt个binary call。
第一项是一个特殊期权，它付St（股价）如果St大于K；否则0。
上面提到的测度变换可以参考这个Wiki：https://en.wikipedia.org/wiki/Esscher_transform
依据就是Properties标题下，“mean move”这个公式h=1的简单情况。

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