谢邀，抛砖引玉，代码写的太丑最近还没重构完我就先不拿出来了，大概写一下我的简易版手写MPC控制器是怎么做的，有哪里不对的地方还请前辈/看官们斧正。
感谢 @Kaixiang Wang 指出的问题，已经修改。
0：形式
MPC控制器是最优控制器的一种，它有一堆名字，最广泛的另一个名字是RHC。既然是最优控制器，它的标准形式就要有，1：目标函数，包括Lagrange(求和/积分项)项和Mayer项(Terminal cost项，一个只与![]()
有关的函数)。2：约束。其中约束包括由系统特性决定的，动力学模型/微分方程等式约束，控制量/状态量之间的一些等式和不等式关系造成的约束。
1： 离散化
如果系统是线性的，就意味着微分方程可以写成![]()
这样的形式，如果控制量是piecewise constant，那么系统就可以被精确地离散化成![]()
, 其中![]()
,h是时间差，![]()
. 同时再把目标函数也写成求和形式，离散化就完成了。把所有的![]()
和![]()
打包进一个大的状态向量s，你就得到了关于s的一个等式约束。
非线性系统需要single shooting或者multiple shooting，我当时为了偷懒就直接写了multiple shooting的。multiple shooting 又名多重打靶法，就是用微分方程生成每个时刻的等式约束，要求是![]()
,这里的这个函数其实就是ode积分，初值为![]()
时间差为h。然后同样，把所有的![]()
和![]()
打包进一个大的状态向量s，你就得到了关于s的一个等式约束。
同理，目标函数中的Lagrange项可以被化成求和。mayer项保留，成一个关于![]()
的函数。
总之，离散化完了之后就得到了一个离散的最优控制问题。也就是一个带约束的优化问题。下一步就是求解这个优化问题。
2：最优控制问题求解
带约束的优化问题有很多种求解的办法，尤其是如果你的目标函数是凸的，约束域是凸的，就可以用凸优化的方法。我所采用的是SQP序列二次规划。然后这里我没有手写求解器，我调用了一个qp求解器：qpOASES https://projects.coin-or.org/qpOASES 然后找大神要了这个求解器的julia的接口。把最优控制问题的参数传进这个求解器，然后去迭代这个求解器，也就是利用SQP方法求解了这个最优控制问题。这里有个小问题就是，如果是非线性系统，需要![]()
函数的jacobian，我自己偷懒在手写的ode45里面直接顺便算了(当然，因为我的目标函数是最小化时间，并且直接用高斯牛顿法省略高阶项，就不用去算QP里面的那个海森矩阵了，这样顺便算了也就够用了)，如果有AD自动微分器的话也可以调用那个计算。
这一部分的内容在任何最优控制的教科书里都有介绍。我自己看的是Prof. Moritz Diehl 的简明笔记Lecture Notes on Optimal Control and Estimation. 除此之外，Matlab中可以直接调用famicom 求解，或者任何一个你喜欢的求解器（比如MPT，Cplex，BARON）。
3： MPC闭环
根据刚才计算出的最优解s,可以得到最优控制序列u，然后取出第一个u，也就是![]()
，连带第一个x，也就![]()
塞进![]()
进行运算。然后系统就运行到了![]()
状态，接下来，让你的目标函数中Lagrange项的积分上界T，T=T+h，重新规划未来，再来一遍过程2。
4：稳定性分析
这个计算过程不保证稳定性，假定是全状态可观测，没有干扰，没有考虑观测量，也没有设置估计器。MPC如何处理这一些问题请参照 Model Predictive Control: Theory and Design, James B. Rawlings, David Q. Mayne Model Predictive Control: Theory and Design。
BTW: Mayne2000年有篇文章讲的nominal MPC的稳定性问题：
Mayne, D. Q., et.al. . Constrained model predictive control: stability and optimality. Automatica, 36, 789–814
大概就是这样……
有空再更……
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