关于期权定价和无风险利率的关系？comes from John Hull?

现在是正式答题时间，以下答题言语粗陋，因为一个作死客户大过年的还要做交易，忙了一下午，非常不爽，请大家海涵。

先喷一下题里面的解释：
1. 经济环境利率上升的时候，股票预期增长率倾向于增加。
我只能说是狗屁不通的一堆东西最后得出了一个相对合理的结论。
从公式
看，利率ir增加的时候貌似是股票的增长率增加了。但是请注意，这个SDE可是股价在风险中性测度下的dynamics，请问他跟股票实际的增长率有啥关系呢？当然可以用所谓的风险溢价
应该不变呀，所以ir增加股票实际的增长率也应该增加来BB，但是总会觉得这有一种钦定的感觉。

好了，虽然可以说从期权定价理论上看不出利率上涨跟股票预期增长之间能有个啥关系，但是个人觉得这应该是对的。毕竟要是股票增长率连利率都干不过，也实在太惨了，谁还会去买股票啊。。。我还是相信有效市场的。我就随口一说，大家不要当真。

2. 持有者收到未来现金流现值减少。
虽然看起来是对的，但是我还是觉得这绝逼实在逗我玩儿。上面那个方程已经告诉了你，利率上升时，股价在某个确定时刻T大于某个确定数值K的概率绝逼是要变大的，虽然贴现也会有影响，但是得到这个结论之前咱们先推导一下看是不是这样的啊。有闲心的朋友可以去看看。

好了，这俩扯逼蛋的解释讽刺完毕，下面，让一个奇异期权交易员，从实务的角度告诉你，为什么利率上升，看涨期权会变贵而看跌期权变便宜了。我们所用到的数学。。。嗯，我们不用数学！

我预设大家都知道BS公式背后是有一套dynamic hedging的机制。那么我们在卖出去一个期权的时候，利率到底是怎么在影响我们定价的呢？

a. 假设我们卖了一个call，我要对冲，是不是需要买股票？股价上涨的时候，如果最终要行权，我需要确保我在对冲端买的股票价值涨幅能够覆盖我期权端需要付的钱。本质上这玩意儿就是在代客持股。而我要买股票，我需要钱啊，客户给我那点儿期权费，基本上是九牛一毛，所以我要“借”钱来买。这里我就要付出资金成本了，也就是利率。当利率变高的时候，我为了对冲要“借”更贵的钱来买股票，所以，我要把这个利息成本转嫁给客户，于是，期权端我要收取更高的期权费，因为我是在帮客户持股，拿人钱财，才能替人消灾，这特么是不是超级合理？

b. 同理，假设我们卖出去了一个put，我要对冲，是不是需要卖股票？股价下跌的时候，如果最终要行权，我需要确保我在对冲端卖的股票价值跌幅能够覆盖我期权端需要付的钱。本质上特么我又是在代客砸盘啊！这里唯一的不同，在于做空股票我需要借券，不过借券成本跟利率可以无关的，所以我就不讨论这个。在卖掉股票之后，好了，是不是手上有钱了。有钱拿去干嘛？炒股票？作死我是不拦你的，看你老板会不会打死你。。。。有钱就拿去存着收利息嘛！好了，在利率上升的时候，你存的钱是不是能拿更多利息？这些钱算不算是帮客户存的？嗯。。。这个问题确实要考量一下了。不过像我这种正直淳朴的青年，我认为这个钱就是帮客户存的，利息就是应该给客户的！那表现出来，是不是相当于在期权端少收一点期权费啊？！

另外，（如果）大家知道如果不使用风险中性测度，而使用forward measure，我们可以得到所谓的black model，这玩意儿形式上是利率无关的。为什么呢？因为对冲是用futures，如果不考虑保证金（default free），这玩意儿多空都不产生现金流！

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如果我说这种说法是为了解释而解释，并不是期权交易ir的实质，不知道会不会有人来打我，先做一笔交易，有空来补全。

根据CAPM模型，单个股票的预期回报率=无风险利率+风险溢价，不考虑风险溢价，可以看出当无风险利率上升时股票的预期收益也是上升的；
根据present value的常用计算方法，未来的现金流折算到今日需要除以（1+risk-free rate)^time period，所以当无风险利率增加时分母也增加，现值就减小了。反过来说，当无风险利率增加时，cash flows的future value将变大。
Option的价格依赖于underlying assets，例如股票，所以当股票价格上升时，call option的杠杆效应会更加明显，收益将更大，这也带来call option本身价格的上升。Put option也是同样的道理。

股票定价的一个基本方法也就是未来预期现金流的折现。当然不同于债券的固定现金流，股票的现金流是不确定的。折现回来多少一是取决于当期现金流多少，二是取决于折现因子（当期无风险利率体现在折现因子的分母上）。所以，利率走高导致了折现因子变小，股票的即期价格就会变小。基于以上理由，利率走带来的效果类似于看涨期权执行价的下跌，看涨期权的内在价值就会变大，期权价格就会走高。看跌期权则正好相反。

吐槽一下，这也就理论研究吧，实际交易里谁会考虑这些…

还有一个角度，用C+K=P+S，K就是等于一个par等于X的bond的现值，即X/（1+rf）的t次方，这样Call value=P+S-K，当risk free rate上升时，K变小，call的价值就会升高。put同理。

用二叉树一下就能看出来——现值100的股票既可能是120也可能80，然后突然利率从5%变成10%了，你算一下就能解决所有疑问。