首先，很多人在系统学习等价鞅测度(equivalent martingale measure),Girsanov theorem, Radon-Nikodym derivative等等这些概念就已经在用风险中性定价了，是怎么做的呢？二叉树！所以我们先用二叉树简单阐述一下如何实现风险中性以及定价。
比如以几何布朗运动(GBM)为例，在经典的欧式期权定价中，我们把股票价格写为服从漂移率为![]()
，方差率为![]()
的几何布朗运动，也就是说![]()
，其中![]()
是标准布朗运动(SBM)。在使用二叉树来模拟上述布朗运动时，我们是这么处理的(下图直接引用Baxton书中内容)
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而什么叫风险中性测度即Q测度呢？在之后我们会给出严格的定义，而此处我们仅仅讲一下二叉树模型下怎样构建风险中性测度，
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也就是说，原本进行模拟时，P测度下向上漂移的概率为1/2，变成了现在Q测度下的![]()
，而所需要复制期权的股票和债券所占的比例分别是上图中所提到的![]()
。具体而言，
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通过上面的过程，我们终于实现了将原本P测度下，服从漂移率为![]()
，方差率为![]()
的几何布朗运动，变成了在Q测度下方差率不变，而漂移率为r而方差率不变的几何布朗运动。二叉树模型所描述的离散情况仅仅是为了帮助理解，那么严格的定义和做法是怎样的呢？
下面分割线之间的内容可以直接跳过，仅仅是为了Girsanov定理做铺垫
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optional
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- 定义martingale，即鞅过程
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我们需要知道Ito integral的性质，即Ito integral是鞅，而鞅表示定理又告诉我们，鞅一定可以表示为Ito integral。下面定义Ito process,
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还有一些其他的准备工作，包括absolute continuity of measures, Radon-Nikodym theorem![]()
optional
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这些准备工作完成之后，就要介绍有关风险中性定价最直接相关也是最重要的定理之一，Girsanov 定理，
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利用上面的定理，对于最初定义的几何布朗运动，我们只要构造如下的随机过程:
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，令![]()
，这时![]()
所以![]()
在经过Girsanov测度变换后的测度Q下是鞅且是标准的Brownian motion，对于这一点的证明既可以利用矩母函数，即证![]()
，见Financial Calculus P63。还可以用特征函数，见随机波动性金融市场衍生品，即证明![]()
。而原本的股价在Q测度下，漂移率变为了r，方差率保持不变。这时，期权价格为
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解一下上面的积分，最后的公式大家都知道。
(PS:文中截图有些直接来自于下面的书中内容，有些来自于个人整理)
参考文献：
1.Financial Calculus Martin Baxter, Andrew Rennie
2.Stochastic Differential Equations Bernt ksendal
3.Derivatives in Financial Markets with Stochasic Volatility Fouque.J.
关于离散和连续部分，其实Financial Calculus Martin Baxter, Andrew Rennie已经阐述地很清楚了，这里再贴上几张相关的图，
离散情形下的测度变换--Radon-Nikodym导数。考虑下图的两步随机游走:
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