期权delta与到期时间的关系如何用数学公式推导出来？

期权，delta对冲，金融衍生品

Big Brother · 2018-9-25 22:27:14

对B-S公式求一下导就出来……

这不就是数学公式吗？看不懂函数
的意思吗？标准正态分布变量的累积概率分布函数而已。这一函数等于服从标准正态分布的变量小于
的概率：

进一步参考资料：
https://en.wikipedia.org/wiki/Black%E2%80%93Scholes_model
我还是从直观上解释一下期权剩余时间对平值附近期权Delta的影响吧：
在对抗双方分数接近的体育竞技比赛中，最后几分钟会变得异常激烈，这并非是因为参赛选手跑得更快或者更卖力，而是因为一个策略性的因素变得越来越重要了，这个因素就是：时间。领先的一方希望时间过得点，最好毫无悬念地锁定微弱优势胜利结束比赛；落后的一方，希望珍贵的时间慢点流逝，好让他们扳回比分，距离比赛结束时间越长，落后一方力挽狂澜的机会就越大。
尽管数学上不精准，交易员对Delta的定义（交易员对Delta的定义：Delta表示的是期权到期时成为实值的概率。）却帮助我们洞悉时间是如何影响期权Delta的。距离期权到期时间越长，越不能确定该期权在到期时究竟是价内、价外还是平价期权。从另一方面看，无论价内期权还是价外期权的Delta，都反映了他们到期状态的不确定性，期权的到期时间越长，其Delta越趋向于0.5。事实上，一个0.5的Delta代表了最大限度的不确定性，和丢硬币一个道理。
距离到期日越远，期权Delta越趋近于0.5。特别地，在到期当日，Delta相当确定，是生存或者死亡，要么是1，要么是0；要么是股票，要么一无所有。

时，
，所以
。
最后，我想提醒的是，对于理解Delta来说，凡是死抠数学公式的，都是耍流氓。之所以是耍流氓，是因为Delta这一概念的出现时间，要比B-S定价模型、二叉树定价模型等现在广泛应用的数学模型更早。
顺便给出Dan Passarelli对期权Delta的四种定义，及我对这些定义的注释（括号内为我的注释）：
1、当标的股票价格变动时，对应的期权价格变化。（不需要借助数学定价模型，仅从统计上就可以得到。）
2、期权价值与股票价格关系曲线图的一次导数。（需要借助数学定价模型，即数学意义上的解释。）
3、期权头寸和标的股票之间的等量关系。（不需要借助数学定价模型，而且由此可以引出Delta对冲的思想。）
4、期权在到期时成为价内期权（ITM）的概率。（交易员对Delta的定义，即部分讲解BSM定价公式的书中，对N（d1）的解释，但对于交易员来说，这个定义的出现要早于BSM公式。）
四种定义更详细的论述见《期权希腊参数在交易中的应用》，Dan Passarelli 这本书值得阅读，尤其适合看见数学公式就发怵的读者，这本书居然没有用一个像样的数学公式就把希腊值讲的入木三分，更重要的是能够从交易本身进行剖析！

期权delta与到期时间的关系如何用数学公式推导出来？

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