Quant面试烧脑题概率题求各位解答？

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Lyken · 2018-9-24 01:08:58

大家大概想复杂了？

兔子无限多，随便取三十只。前十只当做是第一次取的，剩下的是第二次取的。面试官的问题等价于「最重的那只在前十只的概率是多少」，如果体重分布随机，显而易见答案是1/3。

Richard Xu · 2018-9-24 01:08:59

假设兔子的重量服从概率分布 Prob(x<a)=F(x)

，概率密度函数为

那么k只兔子重量的最大值服从概率分布 $Prob(\tilde{x_k} <a)=F_k(a)=F(a)^{k}$
（解释：所有兔子的重量都小于a的概率就是每只兔子重量小于a的概率的乘积）
相应的概率密度函数为 $f_k(a)=(F_k(a))'=kF(a)^{k-1}f(a)$
所以n只兔子中最大值大于m只兔子的概率就是
$\int_{-\infty}^{+\infty}f_n(x)F_m(x)dx$

$=\int_{-\infty}^{+\infty} nF(x)^{n-1}f(x)F(x)^mdx$

$=\int_{-\infty}^{+\infty} nF(x)^{m+n-1}f(x)dx$

$=\frac{n}{m+n} F(x)^{m+n} |^{+\infty}_{-\infty}$

$=\frac{n}{m+n}$

代入n=10，m=20，结果为1/3
（注意由于概率密度函数存在，则概率分布函数总是1阶可导的，故积分区间可以取正负无穷）

又及：
1. 感谢评论区同学的补充说明：这个做法建立在兔子数量无穷多，以至于可以用连续函数刻画的基础上。
2. 个人认为其实其它答主的30个分成10/20这个想法更加巧妙，而且从面试官的说明来看他期待的也是那个答案~

Dmoon · 2018-9-24 01:09:00

曾老师又黑浙大明明是1/3啊

张金波 · 2018-9-24 01:09:02

这就好比有30只兔子随机分成10+20两组，最胖的那个货被分到10里面的概率

又土又木ing · 2018-9-24 01:09:03

不要把问题想复杂了，A大于B，只需要30只兔子中，体重最重的一只在A中即可满足，很容易得出为1/3。

为了更好理解，现建立这样一个数学模型：
从1到正无穷的整数数据库中（1,2,3，……9999999，……，+ $\infty$ ），选出30个数字，把这30个数字分成2组，A组10个，B组20个，问A组数据最大数大于B组数组最大数的概率？

分析：
从题意我们可以看出，由于30个数据是各异的，每个数据被选择的概率相等，所以实际无穷个数据对结果毫无影响，即由于30只兔子体重不一，数量无穷多对结果毫无影响，我们只需要选择30个数据处理即可。

对30组数据进行建模：
选出的30只兔子，依照体重进行编号，体重最轻的兔子编号为1，以此类推，直到体重最重的兔子编号为30，排除无穷因素的影响那么实际建模为：

把1,2,3，……，28,29,30这30个数字，分成2组，A组10个，B组20个，问A组数据最大数大于B组数组最大数的概率？

要使A组数据最大数大于B组数组最大数，那么最大数30必须在A组中，两组数据中的最大数30在A
组的概率为1/3，在B组的概率为2/3
所以最终概率为：
$\frac{1}{3}$

麦克灵伟 · 2018-9-24 01:09:04

最新答案：
直接抽取30只兔子随机分成两组组第一组10只第二组20只最大的那只落在第一组时 a大于b 此概率为1/3

############分割线以下为原错误答案######
既然兔子的质量分布是均匀的那么任意两堆数量一样的兔子一堆的最大值比另外一堆大的概率都是1/2
现在问题转化为

可以这么考虑
后面的20只兔子看做两堆10只的
如果a要大于b 也就是说第一堆必须大于后面的两堆概率就是1/2*1/2为1/4

求指正
#############分割线###########
仔细想想我这个答案只适用于任意两只兔子体重都不相等的情况

王方正 · 2018-9-24 01:09:06

证明的话可以看成A、B的二维概率分布，然后积分可以得到1/3.

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