牛顿、莱布尼茨、拉格朗日、高斯、泰勒等等，他们这些人当时怎么会去研究数学，在当时有什么实际意义吗，比 ...

有实际作用的。比如枪的射程，需要牛顿的微积分来计算，这个是当官的很重视的。而法国的数学家们，通过其精湛的数学知识，算出国王花园里喷泉的形状与喷口角度的关系（国王可是大金主，皇家科学院的资金来源）。
凭借记忆写的，只记得这两个例子，还有很多例子的。大家可以看一些《十八世纪科学技术和哲学史》或牛顿传记之类的书。数学家们对世俗人们的需求，小试身手，就像你大学暑假回家，帮父母重装系统，安装个软件一样（家里一致称赞你大学没有白读）。

西方傳統就是對最高，或者說終極的尋求，柏拉圖的理念，基督教的上帝之類的，都是爲了認識事物背後的終極實在，其實神學、哲學甚至科學追溯的都是這條道路。
畢達哥拉斯認為數學就是終極，我想你說的這些人也許也有可能抱著同樣的態度去研究數學。比如牛頓認為世界的最頂端有個上帝作為第一推動，晚年沉迷煉金術，萊布尼茨更是十分傑出的哲學家，還有你沒有提到的笛卡爾，是他開啟了哲學的認識論轉向。
他們追求的是學術，甚至是最終的規律，要是只是爲了實用價值去研究，也不會有那麼輝煌的成就。

研究纯科学就用不着和现实扯得那么近，为了某个应用目的去研究科学那叫工程学。

从偏学术的剑桥和世俗气息浓厚的帝国理工的校训不同就可以看得出：

剑桥大学. 校训：Hinc lucem et pocula sacra （拉丁语：此地乃启蒙之所，智识之源）.

帝国理工，校训：Scientia imperii decus et tutamen(科学是帝国的光彩和守护者）

大卫·希尔伯特作为德国数学家，博士宣誓仪式，校长主持：“我庄严的要你回答，宣誓是否能使你用真诚的良心承担如下的许诺和保证：你将勇敢的去捍卫真正的科学，将其开拓，为之添彩；既不为厚禄所驱，也不为虚名所赶，只求上帝真理的神辉普照大地，发扬光大。”

当然有，大航海时代，拼的就是物理，数学啥的
辨认方向需要天文学，当人们发现托勒密的地心系过于复杂，已不适用于当时的航海时才有第谷和开普勒等人的理论，要不你以为哥白尼天天只喜欢对着天画漩涡玩呀，要没实际利益的话那个他是不会搞的
还有要不是为了明白磁体指南的原理，哪来的吉尔伯特
打海战就是要比科技，炮弹打出去你总不能就让它掉水里不管了吧，那个是要算弹道学的，要不你以为微积分为啥会创立
其实古希腊的希龙早就会利用热能（蒸汽机）了，把它晾了几百年不就是因为用不上吗，后来是船只的能源不够，必须用蒸汽机了，瓦特才冒出来。那时候搞这个的很多，只不过瓦特先做出来了而已
而且政府也是非常重视物理数学的
伽利略敢搞出来那么多在当时看来的反动言论还不是因为有几个公爵保他?他最后都进监狱了还没给整个死刑，除了他本人还懂点政治外就只能说明说明教会的实力拼不过政府
再比如说那个马德保半球实验。要场地，要道具，要马，你也总还得雇几个苦力吧，物理学家又不养马，钱谁给出
最极端的例子，由于想得到政府的奖励，也是为了在物理学史上留名，莱顿瓶发明以后有很多科学家甚至盼着自己被莱顿瓶电死，成为第一位死于人造电的物理学家
那时候也跟现在差不多，为点钱几个科学家来回斗。最缺德的就是牛顿，为点社会影响力，偷自己老师的理论，成名了以后就开始瞎搞。也不知道怎么想出来个光学理论就发表，别人还都得听他的，自己连个实验都不做，坑了一代人。尤其是他的那个粒子说，仗着政府支持就打压别人，整得那会都没人接受波动说
还有后来的法拉第，这人家里富得没边，租了了好几间屋子（屏蔽电场），还雇了一大帮仆人，天天闷起来做实验，你说他为啥，这要没点奖励他能干吗？奥斯特做完实验以后这人就觉得磁能生电，然后发表理论。这都没啥，关键他发表完就跟所有人说，这是我先发表的，之后无论谁做实验做出来磁生电了，都得管这条定律叫法拉第定律，你说要没点实惠他至于为点名气搞得这么夸张吗？

因为寂寞

其实神学 哲学 科学 都是差不多的 ， 都是希望用最简单的方式来解释一切谜团后的真相

神学就说下雨是因为哪个神怎么了，火山爆发是因为哪个神怎么了。
哲学我不懂
科学就说 下雨是因为水蒸气怎么了，火山爆发是因为地球怎么了。

当时的科学家通过他们的研究，发现世界的规律，这和僧侣与神对话是一样有吸引力的。
如果说实际意义，通过科学，也许可以摆脱教会的束缚，思想自由把

牛顿墓志铭：
自然和自然的法则藏匿于黑暗中，上帝说：“让牛顿出世吧！”于是世界充满光明。