为什么在金融领域，用几何平均来代替算术平均更为严谨？这两个平均数有什么本质上的不同吗？

灵剑 · 2018-9-22 00:58:37

几何平均值其实是对数域上的算数平均值，也就是

$\ln \sqrt{ab} = \frac{\ln a + \ln b}{2}$

如果你的自变量的累积方式是求和，那么算术平均值是数学上唯一正确的方法，由于期望的可加性有 $E(\bar X) = E(X)$ 也就是算数平均值的期望仍然是原随机变量的期望值，而方差由大数定律缩小，其他平均值没有这种性质。但是如果你的自变量是通过相乘的方法来求和的，比如说收益率，那么其实相当于对数值相加，所以应该对它们的对数值求算数平均值，也就是求几何平均值了。

Reinhardt Jin · 2018-9-22 00:58:38

本科老师教的解释一般是“再投资机会/reinvestment opportunity”，用以论证复利和对应的几何平均数。前面的答主也说了这个解释。关于复利/几何平均数为什么合理，我再换个角度解释一下。

假定一资产（组合也行）的价值为一随机过程 V_t ，我们知道其在两个相距很近的时点： t_0 和 $t_0+\Delta_t$ 的价值。问：自 t_0 始 $\Delta_t$ 时间内的平均回报率是什么？

我们按照算术平均和几何平均分别计算。算术平均是净回报率直接除以 $\Delta_t$ ，一个是先对毛回报率取自然对数，再除以 $\Delta_t$ ，再取指数并减掉1。不难发现，当 $\Delta_t$ 趋于零的时候，两种方式计算出的回报率趋向于同一个数。

下面我们来把 $\Delta_t$ 切成n等份。这样一来，一个定义良好的“平均收益”应该有这么个性质：在 $\Delta_t$ 时间内的平均收益率，应该等于这n个小时间段内的n个平均收益率的平均。

这个事是可以递归的。每个小时间段依然可以接着切成n个。这样一来，在计算每个小时间段的收益率时，分母是这个时间段开始时点的价值。而同时，这个价值又正是上一个时间段终止时点的价值。易知，满足前述性质的唯一“平均收益率”定义就是几何平均。

使用算术平均，有一定的历史原因。在收益率波动不大的时候，算术平均可以作为几何平均的良好近似。算术平均的计算量小于几何平均，也更容易口算，所以在没有计算机的时候用起来更方便一点。

很多人在“再投资”机会这纠结，在我看来是因为脑子里对金融资产的概念被债券或者存款这类资产影响了。

债券或者存款这类资产，有明确规定的本金额，有明确规定的利息率，定期付息，有到期日。这可能是我们大多数人最早接触的金融资产。由于债券和存款一般计单利，即使票面利率是浮动的，由于它付息时参考的价值是合同规定的本金数额而不是这项资产的市场价格，故容易产生“应该用本金作为任一时点产生的收益对应的收益率的分母”这一错觉。

事实上，对于一个更一般的金融资产，很难找出明确的“本金”额来。因为本金事实上是一个合同上规定的玩意。你即使买入一个刚发行的，明确规定了本金的资产（比如债券），也不一定就支付了合同上规定的本金。何况还有股票等很难找到一个有意义的“本金”的资产。但反过来说，你开始持有这项资产时资产的市场价格往往是明确可知的。同时，你持有这个资产的期间，任意一个时点该资产的市场价格，只要开市，往往也是明确可知的。也就是说，你可以任意取一个时点的价值作为参考（分母），来计算由这个时间开始的任意时间段（只要该资产存续）的总收益率和平均收益率。这又可以回到之前说的把 $\Delta_t$ 切吧切吧的做法上。

所谓的“再投资”机会，事实上只是为了给用存款或债券的现金流profile来考虑任意金融资产的人解释为什么你在算每个时间段的收益率时，参考的价值应该是这个时间段开始时点资产的价值，而不是更早的某个时点资产的价值的。如果把资产价值看成一个随机过程，就不需要“再投资”这个mental device来过渡。

呵呵 · 2018-9-22 00:58:39

关于算术平均数和几何平均数的概念，我们先看以下这个例子：

如果你是一个基金经理，管理着一支基金，规模是100万元，今年行情好，到年底的时候涨到了200万元；然而第二年行情很差，又跌回了100万元，请问这支基金在这两年内的平均收益率是多少？

收益率的计算公式：

收益率=（期末价格-期初价格）/期初价格

我们分开计算：

第一年的收益率=（200-100）/100=100%；

第一年的收益率是100%，盈利；

第二年的收益率=（100-200）/200=-50%；

第二年的收益率是-50%，亏损；

那么平均收益率该怎么算呢，一般人可能会把这两个收益率加起来除以二：

[100%+（-50%）]/2=25%；

也就是说平均收益率有25%，基友一看，那好，你基金经理把25%的收益率给我，我投了100万，你把25万给我。

你一看，期初管理了100万的基金规模，两年后还是100万的基金规模，并没有多出的25万给基友啊，那这平均收益率难道错了吗？

其实不是平均收益率错了，而是你选用计算平均收益率的方式错了。

计算平均数，有两种方式，一种是算术平均数，还有一种是几何平均数。

算术平均数就是我们上面求均值的方式，也是统计学中最基本、最常用的一种平均指标，是加权计算的，每个数据之间不具有相互影响关系，是独立存在的。

比如你是手机店的销售员，星期一你卖了10部手机，星期二你卖了8部手机，星期三你卖了9部手机，星期四你买了11部手机，星期五你卖了12部手机，那么这一周你平均每天卖的手机数是：

（10+8+9+11+12）/5=10；

你平均每天卖10部手机。

那么，什么是几何平均数呢？

几何平均数是指n个观察值连续乘积的n次方根，这么说好像不太好理解，我们接着举卖手机的例子：

比如你是手机店的销售员，上个星期平均每天卖了10部手机，这个星期你的经理给你布置了新的任务指标：星期一在上个星期的基础上要增加10%的量，星期二在星期一的基础上再增加12%的量，星期三在星期二的基础上再增加8%的量，星期四在星期三的基础上再增加11%的量，星期五在星期四的基础上再增加9%的量。

那么，我们分开来计算每天要卖几台手机：

星期一：=10X（1+10%）=11；

星期二：=11X（1+12%）=12.32；

星期三：=12.32X（1+8%）=13.31；

星期四：=13.31X（1+11%）=14.77；

星期五：=14.77X（1+9%）=16.1；

或者我们可以一步计算：

星期五：=10X1.1X1.12X1.08X1.11X1.09=16.1；

星期一到星期五的增长率就是：

（16.1-10）/10=61%；

既然是求平均率，那么每个时间段的增长率都是相等的，即：

（1+r）（1+r）（1+r）（1+r）（1+r）=（1+61%）；

r=10%；

手机销售的日平均增长率是10%；

介绍完了算术平均数和几何平均数的概念，我们再来看这篇答案开篇的那个例子：

如果你是一个基金经理，管理着一支基金，规模是100万元，今年行情好，到年底的时候涨到了200万元；然而第二年行情很差，又跌回了100万元，请问这支基金在这两年内的平均收益率是多少？

我们还是分别算出第一年和第二年的期间收益率：

第一年的收益率=（200-100）/100=100%；

第一年的收益率是100%，盈利；

第二年的收益率=（100-200）/200=-50%；

第二年的收益率是-50%，亏损；

这里我们不能用算术平均数的方法计算，而应该用几何平均数的方法计算：

（1+r）（1+r）=(1+100%)(1-50%)；

r=0；

几何平均数算出来的平均收益率是0%。也就是这两年没涨没跌，符合实际情况，100万元的基金规模在两年后还是100万元。

有些基金公司对外宣称的平均收益率，都是算术平均收益率，这是不符合行业规范的，因为在算术平均收益率的计算下，如果第一年行情火爆，基金收益翻了好几倍，即使后面几年连续亏损，计算出来的也依然是正的收益率，按照规定，应该算几何平均收益率。

中国古代数学家是用几何图形来表示几何平均数的：

图中AB为直径，DD'为过直径的一条垂线，相交AB于C，AC的长度为a，CB的长度为b，设DC的长度为c，我们来计算c的长度：

根据勾股定理：

AD*AD=a*a+c*c；

BD*BD=b*b+c*c；

AD*AD+BD*BD=AB*AB=（a+b）（a+b）=a*a+c*c+b*b+c*c；

2*a*b=2*c*c；

a*b=c*c；

c为a、b的乘积开根号；

除非DD'也是直径垂直于AB，AC=CB=DC，也就是a=b=c，否则c<（a+b）/2；

一般情况下，几何平均数的值要小于算术平均数的值，只有当期间值相等时，几何平均数才等于算数平均数。

以上就是对算术平均数和几何平均数的介绍，希望能为大家的理解提供一点帮助。

-

关于几何平均收益率在债券产品中的应用，请看我写的这篇答案：

债券的即期收益率，到期收益率，远期收益率有什么区别？

-

--

评论私信已关闭提醒，相关咨询请来我的公众号：

呵呵的小书屋

甘道夫张 · 2018-9-22 00:58:41

假设你投资了十年，前九年每年回报率30%，最后一年你赔掉了所有的钱，按照算术平均你可以吹牛说投资回报优秀，真实的情况是几何平均血本无归。

羞羞的秀念 · 2018-9-22 00:58:43

数学概念楼上其实讲的比较清楚了，我从实操的角度讲一下吧。
1.复利和非复利在相对收益比较时其实无所谓，关键是统一计算方式。所以在股票和债券的收益计算时，两种方式对实操影响不大。
2.影响比较大的是在量化和期权定价的时候，一个连续随机过程和一个分步随机过程的差别会直接影响概率分布的假设（二叉树和BS的区别），从而推出不同的结论和交易结构，所以要注意。
3.对数分步收敛性更好，在处理大数据时具有抑制outlier的作用。

子知 · 2018-9-22 00:58:44

几何平均数是连乘，如果你有一期是零，你赔没了所有的钱，那么之前无论挣了多少钱都没用。

连乘对小的数敏感，对大幅度赔钱是有惩罚的，体现了金融领域对风险的重视。

瑟胖子 · 2018-9-22 00:58:45

这两者的本质区别是:

算术平均更代表一种预期值。几何平均是实际值。
一般几何比较真实，复利问题其他答案也写的比较详细。还有算术大于几何的数学不等式也有答案提到。但现实是，为什么不用几何代替算术？大多数基金经理还是喜欢用算数。为啥，算数算出来的收益高啊。预期值永远比实际值要高。

举个例子。一个基金第一年100净值，第二年200，第三年又跌回100。

第二年简单收益率=(200-100)/100=100%
(这个方法也称为time-weighted return.另外的方法是money weighted return，类似于现金流，IRR的算法)
第三年收益率=(100-200)/200=-50%

算术平均年收益率=（100%-50%）/2=25%

明明投资两年，净值没增长，还是100，逗我说年收益率25%？？但是如果投资者不看净值，很容易就相信了。

实际上，这个代表了将来预期的收益率。总体数据2个，同概率出现，要么100%，要么-50%。所以有的基金经理会告诉你这个基金预期收益率25%。但打开账户，什么都没变。(╯‵□′)╯︵┻━┻

如果用几何平均，考虑了复利和连续投资，

(1+100%)*(1-50%)^(1/2)-1=0
算出来是实际收益，就是0，但基金经理不喜欢用。一般会说，投资代表未来，过去的收益不算啦。

用算术平均，这个基金平均收益25%，一方面可以吸引其他不仔细看净值的投资者。就算被发现不符合现实，也可以说，其实这个数值讲的是未来预期收益百分之25，来投资噢，也没毛病。

不等式证明:

Financial Market Analysis
Second Edition
David Blake

gang liu · 2018-9-22 00:58:46

可以用算数平均值，但每个周期净值都归1.00。换句话说一年以后如果赚钱了，200万分红100万。如果亏损了，就让客户补钱到100万，保证第二个周期还是100万

为什么在金融领域，用几何平均来代替算术平均更为严谨？这两个平均数有什么本质上的不同吗？

8 个回复