在市场中，Market makers提供流动性，使得投资者的买卖需求可以立即被满足而不用等待需求匹配，进而减少了投资者的风险，同时Market makers通过承担这一部分风险也可以从中获利
Grossman-Miller Market Making Model
考虑Grossman-Miller Market Making 模型来描述这个市场结构
1.基本模型
设共有三天， t\in \{1,2,3\} ,在 t=1 时有一位Liquidity trader（称之为 LT_{1} ）卖了i个单位的资产，在 t=2 时另一位Liquidity trader（称之为 LT_{2} ）进入市场并购买了i个资产。为了方便计算，我们称 LT_{1} 交易了 i 个资产而 LT_{2} 交易了 -i 个资产，Market makers只提供流动性，所以手中原本没有资产。
先假设没有交易成本（no trading cost），在这个过程中价格会发生变化， t=3 时资产单位净值为 S_{3}=\mu+\epsilon_{2}+\epsilon_{3} ,其中 \mu 为定值， \epsilon_2,\epsilon_3 \sim N(0,\sigma^2), 满足i.i.d,\epsilon_t 的值会在t-1和t之间公开。市场中所有参与者都有风险厌恶（risk-averse）的偏好，故而对于资产 X_3 ，不妨令其效用函数为 U(X)=-exp(-\gamma X) ， \gamma >0 为风险厌恶指数。
令 j\in \{MM,LT_1,LT_2\} , q_{t}^{j} 为参与者j在t时刻的持仓（在第t天结束时拥有的仓位，即第t+1天开始时候的仓位），正值代表持有，负值代表有购买需求。在 t=2 的时候，市场参与者们会根据已经公布的价格变化 \epsilon_2 来调整持仓以实现期望效用最大化：
\operatorname*{max}_{q_{2}^{j}}\mathbb{E}\left[U\left(X_{3}^{j}\right)\mid\epsilon_{2}\right]\\
其中 X_{3}^{j}=X_{2}^{j}+q_{2}^{j}\,S_{3} ， X_{2}^{j}+q_{2}^{j}\,S_{2}=X_{1}^{j}+q_{1}^{j}\,S_{2} 为约束
所以有
\mathbb{E}\left[U\left(X_{3}^{j}\right)\,|\,\epsilon_{2}\right]=-\exp\left\{-\gamma\left(X_{2}^{j}+q_{2}^{j}\,\mathbb{E}[S_{3}\,|\,\epsilon_{2}]\right)+{\frac{1}{2}}\gamma^{2}\left(q_{2}^{j}\right)^{2}\sigma^{2}\right\}\\ 这个结果可以用坐标变换去计算之后整合得到，当然，比较直观的理解方式是 \epsilon_2 和 \epsilon_3 i.i.d,所以 X_3^j \sim N(\mu+X_2^j, 2(q_2^j)^2\sigma^2) ,于是 \mathbb{E}\left[U\left(X_{3}^{j}\right)\,|\,\epsilon_{2}\right]=\mathbb{E}\left[U\left(X\right)\right] ， X\sim N(X_2^j+q_2^j\mathbb{E}\left[S_3|\,\epsilon_{2}\right],(q_2^j)^2\sigma^2) ,对于正态变量，其矩母函数 \mathbb{E}[e^{tX}]=e^{\mu t+\frac{\sigma^2}{2}t^2} ,带入可得
\mathbb{E}\left[U\left(X_{3}^{j}\right)\,|\,\epsilon_{2}\right]=-\mathbb{E}[e^{-\gamma X}]=-\exp\left\{-\gamma\left(X_{2}^{j}+q_{2}^{j}\,\mathbb{E}[S_{3}\,|\,\epsilon_{2}]\right)+{\frac{1}{2}}\gamma^{2}\left(q_{2}^{j}\right)^{2}\sigma^{2}\right\}
这是一个上凸函数，期望效用最大值点为 q_{2}^{j,\star}={\frac{\mathbb{E}[S_{3}\,|\,\epsilon_{2}]-S_{2}}{\gamma\sigma^{2}}}\\ t=1 和 t=2 的总仓位守恒，所以有：
n\,q_{1}^{M M}+q_{1}^{L T1}+q_{1}^{L T2}=n\,q_{2}^{M M}+q_{2}^{L T1}+q_{2}^{L T2}\\ 注意到 q_{2}^{j,\star} 中并无和参与者身份有关的信息，换言之，在t=2的时候所有参与者的最佳决策都是一样的，同时，在t=1的时候， LT_2 并未进入市场，但具有购买需求，所以 q_1^{LT_2}=-i ,于是
LHS=0+i-i=0=(n+2)\,{\frac{\mathbb{E}[S_{3}\,\vert\,\epsilon_{2}]-S_{2}}{\gamma\sigma^{2}}}=RHS\\ 这意味着 S_{2}=\mathbb{E}[S_{3}\,\vert\,\epsilon_{2}]=\mu+\epsilon_{2}+\mathbb{E}[\epsilon_{3}]=\mu+\epsilon_{2} ，更进一步， q_{2}^{j,\star}=0 ，这个结果表明，第二天结束后资产分配将达到均衡，即此刻价格为有效价格（efficient price），没有人甘愿在没有风险溢价的情况下持有风险资产（因为risk-averse），所以最优决策都将是清仓
类似地，在t=1的时候参与者同样会最大化期望效用，这个时候 LT_2 还没进入市场，所以此时参与者中不包含他，对于其他参与者，他们需要考虑如下问题：
\operatorname*{max}_{q}\left[U\left(X_{2}^{j}\right)\right]\\
其中 X_{2}^{j}=X_{1}^{j}+q_{1}^{j}\,S_{1},X_{1}^{j}+q_{1}^{j}\,S_{1}=X_{0}^{j}+q_{0}^{j}\,S_{1}
和之前的分析类似，最优决策为：
q_{1}^{j,\star}={\frac{\mathbb{E}[S_{2}]-S_{1}}{\gamma\sigma^{2}}}\\ 守恒条件： n\,q_{0}^{M M}+q_{0}^{L T1}=n\,q_{1}^{M M}+q_{1}^{L T1} ,所以有：
LHS=0+i=i=(n+1)\frac{\mu-S_{1}}{\gamma\sigma^{2}}\ \Longleftrightarrow\ S_{1}=\mu-\gamma\sigma^{2}\frac{i}{n+1}\\ 带入可得 q_{1}^{j,\star}=\frac{i}{1+n}
通过以上分析，我们可以描述出这个过程：
LT_1 进入市场，有卖出需求但并没有市场中找到有对应购买需求的，这个时候MMs会买下他的资产，但是不会以原始价格 \mu 成交，因为MMs还要承担价格变化的风险，所以他们要从中额外得到一些回报，即liquidity discount，所以我们会发现 S_1<\mu ，而 liquidity\ discount=|S_1-\mu|=|\gamma \sigma^2\frac{i}{1+n}| ,这个回报由风险厌恶程度( \gamma )、价格波动程度（ \sigma ）、流动性需求( i )和竞争（n）共同决定，liquidity trader是价格敏感（price-sensitive）的，所以当价格变化的时候他会意识到并且保留一部分仓位，所以最后所有参与者都持有 \frac{i}{1+n} 的仓位，而竞争越激烈，liquidity discount就会越来越接近0，而 q_{0}^{L T1}-q_{1}^{L T1,*} 则会收敛于i。
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2.考虑交易成本（trading cost）
首先，引入和交易量有关的成本，假设该成本取每笔交易的一定比例 \eta（\eta>0） ，且无论买卖都要收取该费用，对于sell-side，trading fees相当于降低了成交价格，因为在卖出的时候额外要支付一笔费用，而对于buy-side，成交价格是上升的，所以t=2时： q_{2}^{j}=\frac{\mathbb{E}[S_{3}-\eta\,|\,\epsilon_{2}]-(S_{2}-\eta)}{\gamma\sigma^{2}},\quad j\in\{M M,L T1\}\\q_{2}^{L T2}=\frac{\mathbb{E}[S_{3}+\eta\,|\,\epsilon_{2}]-(S_{2}+\eta)}{\gamma\sigma^{2}}\\ 所以，trading fees并未对t=2时的决策有影响
然而，t=1时情况会有不同： q_{1}^{L T1}={\frac{\mathbb{E}[S_{2}-\eta]-(S_{1}-\eta)}{\gamma\sigma^{2}}}\\ q_{1}^{M M}=\frac{\mathbb{E}[S_{2}-\eta]-(S_{1}+\eta)}{\gamma\sigma^{2}}\\
由均衡条件有： i=n\,q_{1}^{M M}+q_{1}^{L T1}=\frac{\mu-S_{1}}{\gamma\sigma}+n\,\frac{\mu-S_{1}-2\eta}{\gamma\sigma}\\ 所以 i=(n+1){\frac{\mu-S_{1}}{\gamma \sigma^2}}-{\frac{2\,n\,\eta}{\gamma \sigma^2}}\iff S_{1}=\mu-\gamma \sigma^2{\frac{i}{n+1}}-2\left({\frac{n}{n+1}}\right)\,\eta\\ 所以 q^{LT1,*}_{1}={\frac{i}{n+1}}+2\left({\frac{n}{n+1}}\right)\frac{\eta}{\gamma \sigma^2}\\ 从中可以看出，MMs的仓位减少了，支付了 2\eta 的trading fees，但是也获得了额外的liquidity discount。
综上，trading cost对流动性的影响比较小，而对于即时性和liquidity discount的影响是比较大的
3.限价单Market Making
LOB（limit order book）中将每时刻的midprice视为资产的价值，但实际上是有bid-spread的，所以MMs可以通过选择LO（limit order）和midprice的距离 \delta^{\pm} 来最大化利润，具体来说，挂 S_t+\delta^+ 的卖单或者 S_t-\delta^- 的买单来获利。假设买卖单成交的概率分别为分布函数 P^{\pm} ,其他LOs在的分布满足系数为 \kappa^\pm 的指数分布(正负号对应卖买)，所以需要最大化利润：
\operatorname*{max}_{\delta+,\,\delta^{-}}\mathbb{E}\left[\,\Pi(\delta^{+},\,\delta^{-})\,\right]\,=\,\operatorname*{max}_{\delta+,\,\delta^{-}}\,\left\{p^{+}\,e^{-\kappa^{+}\delta^{+}}\,\delta^{+}\,+\,p^{-}\,e^{-\kappa^{-}\delta^{-}}\,\delta^{-}\,\right\}\\ 解为 \delta^{\pm,\star}=\frac{1}{\kappa^{\pm}}
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这里很多假设都比较理想化（比如指数分布的假设），而实际上可以有更为动态的策略
4.流动性测度
在LOB中liquidity trader的MOs或者会遇到一个大单LO，直接成交，或者被许多个小单拆分，逐个成交，移动过程中LT可以获利，考虑这个过程，将价格写为线性函数： S_{1}=\mu+\lambda\,q^{L T1}\\ 根据Grossman-Miller模型， \lambda=-\frac{1}{n}\,\gamma\sigma^{2},q^{L T1}=i\,\frac{n}{n+1}
可与看出，一个流动性更高的市场需要更多的竞争者（n），更低的风险承受能力（ \gamma ）以及更低的资产波动（ \sigma^2 ）
另一种流动性测度是价格（or 收益）的自相关性。在Grossman-Miller模型中，再加入t=0这一天，且t=0时会有一个事件发生，导致价格变化 \epsilon_1 ， \epsilon_1,\epsilon_3,\epsilon_3 i.i.d \sim N(0,\sigma^2) ,同时 \mu_{0}=\mathbb{E}[S_{3}]\,,\mu_{1}=\mathbb{E}[S_{3}\,|\,\epsilon_{1}\,]\,,\mu_{2}=\mathbb{E}[S_{3}\,|\,\epsilon_{1},\epsilon_{2}\,],\mu_{3}=S_{3}\\
该过程为鞅。
均衡价格为 S_{1}=\mu_{1}+\lambda\,q^{L T1} , S_2=\mu_2 , S_0=\mu_0 ，令 \Delta_1=S_1-S_0,\Delta_2=S_2-S_1 ,于是价格变化的自相关性为：
\begin{array}{l l}{{\mathrm{Cov}\left[\Delta_{1},\Delta_{2}\right]=\mathrm{Cov}\left[\mu_{1}+\lambda\,q^{L T1}-\mu_{0},\mu_{2}-\mu_{1}-\lambda\,q^{L T1}\right]}}\\ {{=\mathrm{Cov}\left[\epsilon_{1}+\lambda\,q^{L T1},\epsilon_{2}-\lambda\,q^{L T1}\right]=-\lambda^{2}\,\mathrm{Var}\left[q^{L T1}\right]\lt 0}}\end{array}\\ 可以看出，当流动性增加， \lambda趋于0，该序列趋于鞅 \mu_t
Algorithmic and High-Frequency Trading by Alvaro Cartea et al |
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