金融经济学 | 第3讲：利率及债券价值分析（Ⅰ）

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1. 真实世界中的利率

利率（interest rate）是利息（interest）与本金（principle）的比值。
广义地讲，任何资产的回报率都可以被叫做这种资产给出的利率。但一般情况下，利率特指债务合约（如债券、银行存款等）给出的回报率。
在我国，国债收益率完全不包含违约风险，因此它可以被视为无风险利率。除国债和准国债（比如我国政策性银行发行的债券）外，市场中的其他债券都包含一定信用风险（无法偿付本金利息的风险）。因此，其债券收益率会比无风险利率更高，以补偿投资者持有这些债券所面临的风险。这些债券收益率与无风险利率之间的差异就是信用利差（credit spread），也可广义地叫做风险溢价（risk premium）。
2. 计息习惯

按照利息是否进入本金而生息，计息可以分为单利（simple interest）和复利（compound interest）两种方式。
2.1 单利

单利是指利息不计入本金，利息不会产生利息。在单利下，如果把初始本金A存n年，且每年的利率都是r，最后能得到的金额为A+Ar\cdot n，即
A(1+nr) \\
2.2 复利

通俗地说，复利就是“利滚利”，产生的利息收入会被计入本金，也产生利息。在复利的情况下，不仅要看利率的大小，还要看计息的次数。
例如，当1年期的利率是10%时，假设1年复利1次，那么年初存入100元，在年末能够连本带息收到100+100×10%=110元。但是，如果1年复利两次，那么这会带来两个变化。一是，随着计息周期的变短，单位周期内的利率相应下降。半年期利率我5%。二是，上半年产生的利息会被计入本金，在下半年产生利息的利息。在此情形下，年初的100元在年末会变成
100\times (1+5\%)\times (1+5\%)=100\times (1+5\%)^2=110.25 \\
多出来的0.25元是上半年的利息（5元）在下半年产生的利息。
假设初始本金A存n年，每年的利率都是r。那么，如果每年仅复利一次，最后得到的金额为
A(1+r)^n \\
如果每年复利m次，则最后得到的金额为
A(1+\frac{r}{m})^{nm} \\
容易看出，复利的频率越高，最后得到的金额越多。这是因为复利频率越高，利息收入越能及时开始产生利息。
有一种特殊的复利叫做连续复利（continuous compounding），即每年计复利的频率无限大。这种情况下，每一瞬间获得的利息收入都会立即开始产生利息。这样，n年后得到金额为
\underset{m\to \infty}{\rm lim}A(1+\frac{r}{m})^{nm}=Ae^{nr} \\
3. 金融决策

3.1 现值与贴现

利率又被叫做资金的时间价值（time value of money），用利率来计算未来一笔资金在当前的价值，叫做贴现（discount）；用来将未来的资金折算为现值的利率叫做贴现率（discount rate）。
我们用FV来表示未来值（future value，又叫终值），用PV来表示现值（present value），在每年复利一次的情况下有
\begin{aligned} FV&=PV(1+r)^n\\ PV&=\frac{FV}{(1+r)^n} \end{aligned} \\
在连续复利的情形下，上面两个式子变成
\begin{aligned} FV&=PVe^{nr}\\ PV&=FVe^{-nr} \end{aligned} \\
上述式子表明，同样数额的资金在不同的时间，其价值是不一样的。不同时间的资金价值由利率联系起来。
3.2 净现值法则

净现值法则告诉我们：净现值为正的项目是值得投资的。
举个例子。有一个投资项目在初始的时候需要支付100元，但会在1年后、2年后和3年后分别带啦30元、60元和40元的收入，则项目的现金流为

图1

如果3年间的年利率均为10%（每年复利1次），那么这个项目的净现值为
NPV=-100+\frac{30}{1+10\%}+\frac{60}{(1+10\%)^2}+\frac{40}{(1+10\%)^3}=6.9 \\
此时项目净现值为正，值得投资。
如果3年间的年利率均为20%（每年复利1次），那么这个项目的净现值为
NPV=-100+\frac{30}{1+20\%}+\frac{60}{(1+20\%)^2}+\frac{40}{(1+20\%)^3}=-10.2 \\
此时项目净现值为负，不值得投资。
3.3 内部收益率法则

计算项目的内部收益率（internal rate of return，简称IRR）是另一个普遍使用的金融决策法则。所谓内部收益率，是使项目净现值NPV恰好为0的利率。给定了项目的现金流，每个项目都有自己固定的内部收益率，与市场利率无关。
以3.2节中的投资项目为例，其内部收益率IRR的计算方程是
0=-100+\frac{30}{1+IRR}+\frac{60}{(1+IRR)^2}+\frac{40}{(1+IRR)^3} \\
可解得IRR=13.7\%。
如果项目内部收益率高于资金成本，则项目值得投资。前面这个项目的内部收益率是13.7%。所以，当市场利率是10%时，项目就值得投。而当市场利率变成20%时，项目就不值得投资。
3.4 再投资风险

在计算内部收益率时，有几个潜在的假设。它要求投资者要持有投资项目至到期，项目也不存在违约风险。也就是说，项目的所有现金流都必须如约实现。另外，还有一点非常关键假设：再投资的收益率与项目收益率一致。
我们来看上一节的例子。这个投资项目可以被理解为在当前（0期）投入100元，然后在1、2、3年后分别产生30元、60元、40元的回报。现在我们问这么一个问题：在3年后，这个项目初期投资的100元会变成多少元？一个直观的看法是，既然项目的内部回报率是IRR，那么3年后初期的100元就会变成100\times (1+IRR)^3。然而事实并非如此。
前面计算内部收益率的式子可以变形为
100\times (1+IRR)^3=30\times (1+IRR)^2+60\times (1+IRR)+40 \\
由上式可见，在用IRR计算项目未来的终值时，其实是假定了项目中间的现金流都能够以项目自身的IRR水平获得回报。但完全有可能发生的事情是，项目中间支付的现金找不到其他能够达到项目IRR水平的投资机会。这时，用IRR来计算的未来终值就不正确。
我们假设一种极端的情况，前面这个项目第1年与第2年支付的30与60的回报只能投资在零回报的资产上。这样，当前投入在项目上的100元在3年后就只能变成130元（=30+60+40），而不是用IRR计算出来的150元（=100\times(1+13.7\%)^3）。这就是项目的再投资风险。
对产业投资来说，再投资风险一般可以忽略。因为当你投资建起来一个企业，把这个企业产生的现金流再投入到这个企业中一般是可行的。但对债券投资来说，再投资风险就不可忽略（因为今年买到的高回报债券，明年不一定买得到了）。
参考文献：《金融经济学二十五讲》. 徐高. 中国人民大学出版社. 2018-7