一、前言
最近因工作需要学习了BAW 1987美式期权定价模型，主要阅读了Giovanni Barone-Adesi, Robert E. Whaley于1987年发表在《The Journal of Finance》上的"Efficient Analytic Approximation of American Option Values"。
整个BAW模型本质是一个近似解析解，我理解的要点有：
- BAW 1987模型先定义了一个美式期权相较于欧式期权的提前行权溢价；
- 将美式期权溢价的PDE偏微分方程在到期时间 T 趋于0和∞时进行了近似处理，使得退化到了ODE常微分方程（一个齐次二阶常系数微分方程）；
- 得到ODE方程的通解，通过边界条件得到相关系数，可以获得Call和Put的近似解析解；
- 提出使用Newton-Raphson来求解最优行权边界，最终得到一个分段函数形式的美式期权价值；
其优点和缺点：
- 相较于当时市面上的主流美式期权定价方法（有限差分法、二叉树法、蒙特卡洛模拟等），BAW1987模型实现了近似解析解，用一个金融计算器就能快速对美式期权估值，不需要耗费什么计算资源。
- BAW 1987仍然有其局限性，在估计超短期和超长期的美式期权时比较准，中期美式期权估值误差相对较大。后续Nengjiu Ju和Rui Zhong通过对BAW的近似项做了一些改进，实现模型的优化（"AN APPROXIMATE FORMULA FOR PRICING AMERICAN OPTIONS"）；
目前BAW模型在大连商品交易所等都有应用；
受限于学科背景和个人水平，难免存在一定纰漏；
感谢还在成电读博的王尼玛总是不厌其烦地在Elsevier帮我下论文！
从搬砖效率角度来看，直接用公式结论就行，不需要进行具体的推导，但是不做推导又咋能学习提升呢？同事们说得好，虽然推过一遍公式后面很快还是会忘，但下一次再看到的时候心理上已占据优势！
另外本人还参考了下列知友关于BAW模型的探讨，非常专业详实：
1. BAW定价模型研究-美式期权定价模型简介 - 李洋的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/27092221
2. 美式期权BAW定价模型 - 西格玛的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/30491973 二、从欧式期权出发
2.1 欧式期权的PDE
对于欧式期权（European Option），Merton于1973年就给出了期权价值 V 应满足如下偏微分方程：
(1)\qquad 1 / 2 \sigma^{2} S^{2} V_{S S}+b S V_{S}-r V+V_{t}=0
值得一提的是：当 b （cost-of-carry：持有成本）等于 r （无风险利率）时，方程退化到Balck-Scholes模型；当持有成本为0时，便可得到Black远期期权（futures option）的微分方程。
2.2 欧式期权的解析解
Merton通过代入期权价值的终端边界条件（对于Call： \max \left(0, S_{T}-X\right) ；对于Put： \max \left(0, X -S_{T} \right) ），得到Call和Put的期权价值两个解：
(2)\qquad c(S, T)=S e^{(b-r) T} \mathrm{~N}\left(d_{1}\right)-X e^{-r T} \mathrm{~N}\left(d_{2}\right)
(3)\qquad p(S, T)=X e^{-r T} \mathrm{~N}\left(-d_{2}\right)-S e^{(b-r) T} \mathrm{~N}\left(-d_{1}\right)
三、来到美式期权
3.1 概述
对于行权时间不确定的美式期权，首先要分析标的资产持有成本 b 与无风险利率 r 的关系：
- 当 b>= r 时，美式期权永远不会在到期时间前行权，所以此时等效于一个欧式期权；
- 当 b<r 时，美式期权比欧式期权多了一份提前行权的溢价，下文都是针对这份溢价如何去pricing而讨论；
3.2 从PDE到ODE：一个二阶近似方法
以看涨期权为例我们定义美式期权的提前行权溢价（the early exercise premium） 为：
(4) \qquad \varepsilon_{C}(S, T)=C(S, T)-c(S, T)
其中 C(S, T) 为美式看涨期权价值， c(S, T) 则为欧式看涨期权价值。
做二阶近似的关键是：若欧式期权的PDE方程，即式(1)也可用于描述美式期权，那么美式期权相对于欧式期权的溢价 \varepsilon_{C}(S, T) 也应当满足该PDE：
(5) \qquad 1 / 2 \sigma^{2} S^{2} \varepsilon_{S S}-r \varepsilon+b S \varepsilon_{S}+\varepsilon_{t}=0
为了便于解释，作者做了两项简写：
- 时刻 t 表示现在，时刻 t^* 则表示期权到期日，因此期权的到期时间 T=t^*-t ；
- M=2r/\sigma^2 、 N=2b/\sigma^2 ；
故式(5)简写为：
(6) \qquad S^{2} \varepsilon_{S S}-M \varepsilon+N S \varepsilon_{S}-(M / r) {\varepsilon_{T}}=0
作者令 \varepsilon_{C}(S, K)=K(T) f(S, K) ，且 K(T)=1-e^{-r T} ，带入式(6)得到：
(7) \qquad S^{2} f_{S S}+N S f_{S}-(M / K) f-(1-K) M f_{K}=0
作者为何要作上述函数形式的定义呢？ K(T) 的形式可以使得 \varepsilon_{C}(S, T) 满足边界条件（趋近到期日时的溢价应当趋于0）。
接下来是关键的近似步骤：
- 当到期时间 T 趋于0时， f_K 应趋于0；（这个我个人还没想通怎么推出来，希望知道的知友帮忙解答一下）
- 当到期时间 T 趋于∞时， (1-K) 应趋于0；(这个很好理解)
因此，式(7)简化为一个二阶齐次ODE（常微分方程）的形式：
(8) \qquad S^{2} f_{S S}+N S f_{S}-(M / K) f=0
式(8)的通解：
(9) \qquad f(S)=a_{1} S^{q_{1}}+a_{2} S^{q_{2}}
其中， q_{1}=\left[-(N-1)-\sqrt{(N-1)^{2}+4 M / K}\right] / 2 , q_{2}=\left[-(N-1)+\sqrt{(N-1)^{2}+4 M / K}\right] / 2 。注意由于 M/K>0 ,所以 q_1<0 且 q_2>0 。
对于式(9)， a_1 , a_2 都是未知待确定的参数。我们可以考虑当 a_1\ne 0 时，若标的资产价格 S 趋于0时，则 f(S) 趋于∞，这显然不符合美式看涨期权的实际物理含义，因为标的资产价格都到0了，看涨期权已无意义。因此 a_1=0 。
美式看涨期权的价值可以写为：
(10) \qquad C(S,T)=c(S,T)+Ka_2S^{q_2}
式(10)应当与提前行权获得的payoff，即 S-X 在某点相切，相切点记为 S^* ，也就是最优行权边界价格。
当标的资产价格 S 大于等于最优行权边界价格 S^* 时，美式看涨期权应当立刻提前行权；
当标的资产价格 S 小于等于最优行权边界价格 S^* 时，美式看涨期权没有必要选择提前行权；
因此，完整的美式看涨期权价值应当写为：
(11) \qquad C(S,T)=\left\{\begin{array}{l} c(S,T)+Ka_2S^{q_2},\ when \ S<S^{*} \\ S-K, \ when \ S \geqslant S^{*} \end{array}\right.
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美式看涨期权的期权价值和提前行权payoff应相切
相切意味着在 S^* 处应满足下列条件：
S^*-X=c(S^*,T)+Ka_2S^{*q_2} \\ 1=e^{(b-r)T}N[d_1(S^*)]+Kq_2a_2S^{*q_2-1}
其中 d_1(S^*)=[In(S^*/X)+(b+0.5\sigma^2)T]/\sigma\sqrt{T} ，故可得 a_{2} 的表达式：
(12) \qquad a_{2}=\left\{1-e^{(b-r) T} \mathrm{~N}\left[d_{1}\left(S^{*}\right)\right]\right\} / K q_{2} S^{* q_{2}-1}
代入回相切点得到：
(13) \qquad S^{*}-X=c\left(S^{*}, T\right)+\left\{1-e^{(b-r) T} \mathrm{~N}\left[d_{1}\left(S^{*}\right)\right]\right\} S^{*} / q_{2}
此时唯一的未知数就是 S^* 了，式(11)改写为：
(14) \qquad C(S,T)=\left\{\begin{array}{l} c(S,T)+A_2(S/S^*)^{q_2},\ when \ S<S^{*} \\ S-K, \ when \ S \geqslant S^{*} \end{array}\right.
其中 A_{2}=\left(S^{*} / q_{2}\right)\left\{1-e^{(b-r) T} N\left[d_{1}\left(S^{*}\right)\right]\right\} 。
3.3 最优行权边界价格的确定
接下来的问题就是求解满足式(13)的 S^* 了，那么作者提出用Newton-Rapson来解。（牛顿法YYDS）
首先移项构造 f(S) ，并令 f(S)=0 :
(15) \qquad f(S)=LHS(S)-RHS(S) = S-X-c\left(S, T\right)-\left\{1-e^{(b-r) T} \mathrm{~N}\left[d_{1}\left(S^{}\right)\right]\right\} S^{} / q_{2}
依据牛顿法， S 的迭代更新方式为： S_{i+1} = S_i - \frac{f(S_i)}{f&#39;(S_i)} ，故迭代公式为：
(16) \qquad S_{i+1}=\frac{X+RHS(S_i)-b_iS_i}{1-b_i}
其中：
RHS(S) = c\left(S, T\right) + \left\{1-e^{(b-r) T} \mathrm{~N}\left[d_{1}\left(S^{}\right)\right]\right\} S^{} / q_{2}
b = \frac{\partial RHS(S)}{\partial S}=e^{(b-r) T} \mathrm{~N}\left[d_{1}\left(S_{}\right)\right]\left(1-1 / q_{2}\right)+\left[1-e^{(b-r) T_{}} \mathrm{n}\left[d_{1}\left(S_{}\right)\right] / \sigma \sqrt{T}\right] / q_{2}
那么我们只需要设置一个初始值 S_0 和一个误差容忍度然后根据迭代公式(16)迭代就好了。
看跌期权的推导过程与上述逻辑整体一致，不做赘述了。
四、参考文献
[1] Whaley B . Efficient Analytic Approximation of American Option Values[J]. Journal of Finance, 1987, 42(2):301-320. |
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