微分方程已知特解如何确定通解?

微分方程已知特解如何确定通解?

fov1l · 2022-7-6 18:25:13

我和下面答案的解法一样，求出系数，列特征方程，求解。。

p2w1 · 2022-7-6 18:25:39

2020.05.20 更新对第二种情况（特征方程可能有两相同实根）的解释。

是如何通过那个特解得出对应的齐次方程的两个解以及原方程的特解的？
题目中的特解和答案中的原方程的特解概念不一样的吗？

先答第二个问题。是一样的。一个微分方程可以有很多个特解。比如说一个方程的通解是，那么一个特解可以是，可以是，也可以是。
现在看第一个问题：通过特解的形式猜测的。
(1) 第一种情况：特征方程有两个不同解。
二阶常系数微分方程（原方程）

的通解可以分成两部分，，其中

是方程

的通解，（是特征方程的解），
而是的一个特解（假设特征方程有两个不同的实数根，也即）。

换言之，原方程的通解可以写作
，
的形式。我们的目标是找到。
然后我们观察题设给出的特解：。
比较发现，当通解取时可以得到题设给的特解。可见（反之亦可）。把代回特征方程可以得到，把代回原方程可以得到。所以都找到了。

(2) 第二种情况：在(1)里假设了特征方程有两不同实根；现在讨论两相同实根的情况。
如果特征方程有两个相同实根，那么算出。现在。但是发现把代入原方程左侧得到，和右侧的恒不相等。所以这种情况不成立。
有一种办法能很直观的看出哪一项一定属于通解以及特征方程有几个不同实根：在题设的特解里，但它没有在原方程的右侧，所以它在原方程的左侧被消除，在左侧被消除意味着会出现在通解里。既然在通解里，特征方程的一个根就是2，剩下的根因为不存在项所以不可能是2，故推出特征方程有两个不同实根。
还有一个比较麻烦但是等价的办法：既然题设给了特解，那么把特解代入原方程，原方程一定成立。把非零项移到左侧，通过线性独立可以知道和常数项的系数一定为零，由此解得。把代回原方程就可以用正常的解法得到通解。

optbbs724 · 2022-7-6 18:26:11

可以用拉普拉斯变换求解。

ndhkal · 2022-7-6 18:26:53

完了，我感觉直接就猜出来了。首先解二次齐次微分方程，解只含有e的指数项，并且两个解线性无关。特殊情况是只有在特征方程只有一个解的时候，这是后解为e^（ax）和xe^（ax）。题目中给出了一个特解，并且e指数项有两个且线性无关，因此判定其为齐次方程的解，而非齐次方程的解为齐次的加上一个特解，故而非齐次的一个特解为xe^x，最后得到一般的特解为齐次的解线性组合加上一个特解即可。

吴宇 · 2022-7-6 18:27:20

是如何通过那个特解得出对应的齐次方程的两个解以及原方程的特解的还有题目中的特解和答案中的原方程的特解概念不一样的吗大佬们求求孩子吧

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