论文必须掌握的金融时间序列分析
一、原理
时间序列是按照时间排序的一组随机变量，时间序列数据本质上反映的是随机比变量随时间不断变化的趋势。而时间序列预测就是想根据已有的历史数据，挖掘出这样的规律，如t1 , t2 , t3 ,..., tn 按照时间次序排列，然后尝试预测其tn+1 时刻的状态。
时间序列分析在工程学、经济学、气象学、金融学等众多领域有着广泛的应用。在金融学领域，介绍时间序列分析的优秀书籍层出不穷。其中最家喻户晓之一的要数美国芝加哥大学商学院 Ruey S. Tsay 教授撰写的金融时间序列分析 —— Analysis of Financial Time Series（下图，该书也同时有中文版）。
二、典型事实
在现代量化金融领域，金融资产的回报率会有一些很特殊的性质。金融工程一般认为金融时间序列的回报率有四大特点：
（1）Leptokurtic。这个词指的是描述金融时间序列中金融资产收益率的分布的“尖峰厚尾”现象。换句话说，把所有的金融资产收益率放在一张统计图中，就会发现，这个分部不是标准正太的，而是中部比标准正太要尖（尖峰），两边比正太分布要宽（厚尾：左右尾都比正太分布要厚一些）。
这个现象的原因有很多，其中有一个解释是：相对于自然界的分布，金融时间序列的数值差异过于大。据一个例子，人的身高的最值差一般会保持在平均身高的0.5-1.5倍之间，而且差异不会特别过分。成年人最高也就2.5m最低的也就0.5（这之间也就5倍的差距最多，还都是正的），而且正常人的身高多在1.5-2.1之间。但是金融时间序列就不一样了，一不小心有的资产就能有几十甚至成百上千倍的暴利，或者一不小心就就suffer非常巨大的损失。这个极值之间的差距就不是一般的大小了，所以对于时间序列，最值差可能就会变为平均值的0-10倍甚至更高，所以这导致在金融领域，更容易出现尖峰厚尾。
这个现象导致什么呢？资产收益率的尖峰厚尾现象意味着赚钱时会赚很多，赔钱时也会赔很多，也就是资产回报分布的两头很大，中间很空白。所以，如果你买出你的资产，你会发现市场的流动性不高（中间很空白），所以你不得不降价很多才能卖出去你的share 。
（2）Heteroskedasitc。这个叫“异方差”。啥是异方差呢？这要先介绍一个叫“同方差”的术语。同方差指的是：不管时间如何变化，金融资产回报率的方差是不变的，也就还是那一个方差（所谓的方差分布独立于时间）。这一点对于金融非常非常重要。为啥呢？因为金融里有一个很重要的问题就是要搞预测。如果回报率的方差独立于时间的话，那就意味着我们可以把之前的方差值直接放到今天甚至放到以后去用，这就对我们预测波动有十分重要的帮助（其实这是时间序列stationary的必要充分条件第一条）。但是如果出现了时间序列里的数据方差于时间有关系，那么我们手中算出的过去的数据就基本上不能再用来预测以后的方差，因为方差会因为时间的改变而改变，甚至随意改变并且不可控。
注意，这里的“异方差”是比较大的时间概念。这个股票的波动情况（方差描述波动情况）随时间先变大，后再变小的一个大趋势。
（3）Volatility clustering。这个是“波动集聚性”。他是相比于“异方差”大趋势的小趋势，也就是说时间尺度更短的情况下，波动情况的特征。这个波动的特点都是一浪接一浪（一波接一波，有波峰有波谷）。从波动趋势角度，我们可以认为如果出现了这个样子的“浪”，就可以说明“高的波动紧跟高的波动，小的波动紧跟小的波动”，所以大的波浪形成波峰，小的波浪形成波谷。
（4）Leverage effects。“杠杆效应”的意思就是：好的消息总是没有坏的消息对市场的影响大。这种对news对volatility的不对称的影响就是杠杆效应。从下面这个图（上面fact 3用过）我们可以清楚地发现，上下浪是不对称的。这个现象就是杠杆效应。
杠杆效应是怎么产生的呢？ 当股票价格下跌时，公司的净股东权益（Equaity）会下降但负债的情况却没有任何变化（Debt不变）。所以，公司的debt-to-equity ratio会变大并且公司会有更高的杠杆率（负债／所有者权益）。而更高的杠杆也会让公司的credit情况恶化，所以就会触发更深一步的公司的股票价格下降。所以我们看到上图中，负的波浪比正的波浪更大（严重）一些，所以意也就味着影响更大一些。
其实，也就是因为leverage effect的出现，才让ARCH模型要加入方差方程从而调整成了新的更powerful的GARCH模型以及更更高级的TGRACH以及EGARCH模型。
三、建模步骤
平稳性检验。
（1）时序图：观察时间序列的波动情况，若基本上是围绕着0轴上下波动，在0轴上方和下方的波动幅度基本一致。可以初步认定，该时间序列是平稳的。
（2）自相关图和偏自相关图：若自相关图和偏自相关均有明显的拖尾现象，及在某一阶之后迅速衰减至0，则符合平稳性的要求的。
（3）单位根检验：前两种方式很直观，但也很主观。它们全靠肉眼的判断和判断人的经验，不同的人看到同样的图形，很可能会给出不同的判断。因此我们需要一个更有说服力、更加客观的统计方法来帮助我们检验时间序列的平稳性，这种方法，就是单位根检验。当一个时间序列的滞后算子多项式方程存在单位根时，我们认为该时间序列是非平稳的；反之，当该方程不存在单位根时，我们认为该时间序列是平稳的。常见的单位根检验方法有DF检、ADF检验和PP检验。
自相关检验
（1）自协方差（Autocovariance,简称AF）是时间序列与其滞后项的协方差，假设X为随机变量（即随着时间变化取值随机的变量,比如股票价格），则k阶自协方差使用数学公式表示为：
（2）自协方差跟变量的单位有很大关系，比如X放大10倍，则自协方差将放大100倍，因此其值大小并不能反映相关性的大小。为了消除量纲（单位）的影响，使用自相关系数来刻画变量与其滞后项的相关性。自相关系数（Autocorrelation Coefficient，简称ACF）本质是相关系数，等于自协方差除以方差，k阶自相关系数数可以表示为：
（3）假设对于上证综指价格序列，一阶自相关系数大于0，说明今天的价格与昨天的价格相关，而昨天价格又与前一日价格相关，依次类推，可见当你计算今天与昨天价格之间的自相关系数时，同时包含了更早之前所有各期的信息对今天的间接影响，度量的是过去所有信息加总的影响效果。为了剔除其他各期的影响，单纯考察过去某一单期对今天的影响，引入偏自相关函数（Partial Autocorrelation Coefficient，简称PACF），即条件自相关系数，使用数学公式表示为：
（4）Ljung-Box-Q检验。Ljung-Box Q (LBQ) 统计量将检验最多滞后 k 的自相关等于零的原假设（即，数据值在某一滞后数之前是随机和独立的）。如果 LBQ 大于特定临界值，则一个或多个滞后的自相关可能显著不同于零，说明在这段时间内各个值并不是独立和随机的。
（5）LM检验。LM检验即拉格朗日乘数检bai验，用来检验模型残差序列du是否存在序列相关。原zhi假设是不dao存在序列相关；备选假设是：存在p阶自相关。检验统计量渐进服从卡方分布，如果计算得出的P值太大则拒绝原假设，认为存在序列相关。
异方差检验
（1）图示检验法由于异方差通常被认为是由于残差的大小随自变量的大小而变化，因此，可以通过散点图的方式来简单的判断是否存在异方差。具体的做法是，以回归的残差的平方2ie为纵坐标，回归式中的某个解释变量ix为横坐标，画散点图。如果散点图表现出一定的趋势，则可以判断存在异方差。
（2）Goldfeld-Quandt检验。Goldfeld-Quandt检验又称为样本分段法、集团法，由Goldfeld和Quandt1965年提出。这种检验的思想是以引起异方差的解释变量的大小为顺序，去掉中间若干个值，从而把整个样本分为两个子样本。用两个子样本分别进行回归，并计算残差平方和。用两个残差平方和构造检验异方差的统计量。
Goldfeld-Quandt检验假设检验设定为：H0:具有同方差，H1:具有递增型异方差。
具体实施步骤为：
a、将观测值按照解释变量x的大小顺序排列。
b、将排在中间部分的c个（约n/4）观测值删去，再将剩余的观测值分成两个部分，每个部分的个数分别为n1、n2。
c、分别对上述两个部分的观测值进行回归，得到两个部分的回归残差平方和。
构造F统计量
，其中k为模型中被估参数个数。在H0成立条件下，F~F(n2-k,n1-k)
d、判别规则如下，
若F<Fa(n2-k,n1-k)，接收H0（具有同方差）
若F>Fa(n2-k,n1-k)，拒绝H0（具有异方差）
（3）Breusch－Pagan/GodfreyLM检验。该方法的基本思想是构造残差平方序列与解释变量之间的辅助函数，得到回归平方和ESS，从而判断异方差性存在的显著性。具体设模型为：
（4）White检验。和Goldfeld-Quandt检验相比，White检验不需要对观测值排序，也不依赖于随机误差项服从正态分布，它是通过一个辅助回归式构造X2统计量进行异方差检验。White检验的提出避免了Breusch-Pagan检验一定要已知随机误差的方差产生的原因且要求随机误差服从正态分布。White检验与Breusch-Pagan检验很相似，但它不需要关于异方差的任何先验知识，只要求在大样本的情况下。
（5）ARCH检验。回归条件异方差（ARCH）检验主要用于检验时间序列中存在的异方差。ARCH检验的思想是，在时间序列数据中，可认为存在的异方差性为ARCH过程，并通过检验这一过程是否成立来判断时间序列是否存在异方差。
（6）Park检验法。Park检验法就是将残差图法公式化，提出6i2是解释变量xi的某个函数，然后通过检验这个函数形式是否显著，来判定是否具有异方差性及其异方差性的函数结构。（7）Glejser检验法。这种方法类似于Park检验。首先从OLS回归取得残差ei之后，用ei的绝对值对被认为与方差密切相关的X变量作回归
残差检验
（1）时序图。观察残差的波动情况，若基本上是围绕着0轴上下波动，则拟合较好。
（2）QQ图。检验是否服从正态分布。
（3）acf能够检验出是不是有自相关性。
（4）archlm能够检验出是否有异方差性。
四、代码
Matlab版本
clear;
clc;
p=0.01;
HS300= xlsread(&#39;HS300.xlsx&#39;);
HS300=price2ret(HS300);
[h1,pValue,stat,cValue,reg] = adftest(v1,&#39;alpha&#39;,0.01,&#39;model&#39;,&#39;TS&#39;,&#39;lags&#39;,0:4); %h = 0的值表明,不拒绝有单位根的零假设，非平稳
res = HS300- mean(HS300);
[h2,pValue] = lbqtest(res,&#39;lags&#39;,[5,10,15])
[h3,pValue] = lbqtest(res.^2,&#39;lags&#39;,[5,10,15])
h4 = archtest(res);
qqplot(res)
python版本
import numpy as np
import statsmodels.tsa.stattools as tsfrom statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox as lb_test
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7])
result = ts.adfuller(x, 1)
statsmodels.tsa.stattools.adfuller(x, maxlag=None, regression=&#39;c&#39;, autolag=&#39;AIC&#39;, store=False, regresults=False)[source]
#x: 序列，一维数组
#maxlag：差分次数
#regresion:{c:只有常量，
# ct:有常量项和趋势项，
# ctt:有常量项、线性和二次趋势项，
# nc:无任何选项}
# autolag:{aic or bic: default, then the number of lags is chosen to minimize the corresponding #information criterium,
# None:use the maxlag,
# t-stat:based choice of maxlag. Starts with maxlag and drops a lag until the t-statistic #on the last lag length is significant at the 95 % level.}
#Ljung_Box检验
lb_test(x,lags=None,boxpierce=False)
# 函数输入 lb_test(x,lags=None,boxpierce=False):
# x：检验的时间序列
# lags(int,list or None)：检验的延迟数，若为None则输出min((nobs // 2 - 2), 40)，其中nobs
#为观测样本数量，样本较大的情况下输出40
# boxpierce:若为True，则同时输出boxpierce统计量的检验结果
# （Box-Pierce检验为白噪声检验的另一个版本，是LB检验的前身）
# 函数输出：
# LB统计量值（array）
# LB-p值（array）
# 若boxpierce=True，则继续输出BP统计量的值和相应p值
#arch效应检验
from statsmodels.tsa import stattools
LjungBox=stattools.q_stat(stattools.acf(SHret**2)[1:13],len(SHret))
The End
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