如何简明地解释曲率（curvature）？

一个圆半径越小，看起来就越弯曲；半径越大，看起来就越平，半径趋于无穷大，圆看起来就像一条直线，就几乎不弯曲了。所以我们把圆的半径的倒数，定义为曲率，因为我们希望曲率是一个衡量几何体弯曲程度的量。
对于一般的曲线，每点局部可以近似看成一小段圆弧（可以看其他答主提到的密切圆）。固定一点后，该点处密切圆弧的半径的倒数，就定义成曲线在该点处的曲率。注意，对于一般的曲线而言，不同点处的曲率数值并不一样，是个变数而不是常数。用数学术语来说，曲率是定义在曲线上的一个函数。——严格来说还可以讨论曲线曲率的正负号，但涉及曲线的定向问题，我不想画图所以不讨论了。
对曲面而言，固定一个点，沿着该点不同切方向截出的曲线的曲率，就是曲面沿着这个方向的法曲率。法曲率中最大的与最小的，称为两个主曲率，对应的方向称为主方向。两个主曲率的乘积，称为曲面在该点处的高斯曲率——对的，就是那个德国数学大师高斯提出来的。高斯曲率不仅有数值的大小，也有自然而然的正负号，因为两个主方向对应的曲线可以弯向相同或者相反的方向。弯向相同的方向，比如球面，椭球面，就是正曲率，局部都位于切平面的同一侧；弯向相反的方向，比如马鞍面，或者薯片，就是负曲率，切平面的两侧都有曲面分布。当然，曲率本身是个函数（变数），他在同一张曲面上也是可以变号的。比如考虑环面（看成3维空间中的旋转曲面，而不是平坦环面），可以想想哪些点是正曲率，哪些点是负曲率。
然后数学上还可以考虑更高维度的几何体，术语称为“流形”。3维以上流形，我们依然可以套用降维化归的想法，在流形上截出一个个子曲面，考虑这些子曲面的高斯曲率，术语称之为“截面曲率”，他们反映了流形沿着这些子曲面的弯曲信息。高维几何体的曲率的表达形式更加复杂，准确地说，流形上的曲率是个“张量”，而不仅仅是个数量——顺便提一句，流形上曲率张量这一整套理论，是另一个德国数学大师黎曼提出来的，所以同学们，不要小瞧德国的数学。不过讲到这里已经差不多到我通俗表达能力的极限了，要准确解释什么是“曲率张量”，然后通过曲率张量定义截面曲率，甚至准确定义什么是流形，我都得写数学定义、写公式了——而知乎上的文科生似乎不喜欢公式。。要准确理解最后一段提到的流形的曲率，您起码得学过数分、高代、微分流形理论、黎曼几何入门；不过理解曲线曲率，其实懂多元微分就行了，积分都不需要，文科生咬咬牙也是能做到的。