金融微积分笔记03：随机微积分（二）

1. BSM方程

1.1 模型设定

设代理人在每个时刻的投资组合价值为。
(1) 货币市场账户的利率不变，作为基准
(2) 股票用几何布朗运动模型表示为：

即：

(3) 在时刻持有份股票
(4) 在货币市场投资
1.2 货币市场

货币市场是短期（从隔夜到1年）借贷的市场。
美国货币市场占美国债券市场的7%，市政债券占9%，公司债券占20%，抵押贷款相关债券占23%，国债占32%。银行和金融机构在任何时候都有各种各样的借贷手段。
美国国库券(U.S. Treasury Bills)：国库券是一种期限不超过一年的短期工具。这些债券在最终到期日不支付息票、本金和利息。美国财政部每周经常拍卖期限不超过6个月的短期国库券，每4周拍卖期限为一年的短期国库券。鉴于美国政府发行的债券隐含的安全性，美国国库券通常是全球无风险利率的基准。
联邦基金利率(Federal Funds Rate)：银行和金融机构必须在美联储内部保留一定数量的资本。然后，拥有盈余准备金的银行可能会将一部分准备金借给拥有赤字准备金的银行。有效的联邦基金利率是银行在联邦储备银行借贷准备金时相互收取的规模加权平均利率。这是隔夜联邦基金贷款的利率。
美联储不能设定联邦基金利率，它有联邦基金利率的目标值或区间。在Taylor(1993)之后，货币政策的标准观点是：

联邦基金利率_t = α + β_1 * 通胀率_t + β_2 * (实际GDP - 目标GDP)_t

欧洲美元利率(Eurodollar Rate)，欧洲银行美元存款的利率。这些是短期存款，期限从3个月到1年不等。90天欧洲美元利率是衡量银行间市场状况的标准参考。
伦敦银行间拆放款利率(LIBOR, London Interbank Offer Rate)是银行在伦敦市场上相互收取的短期无担保借款的平均利率，由美国银行、巴克莱银行、摩根大通、德意志银行、汇丰银行等18家主要银行设定。英国银行家协会每天公布LIBOR，而LIBOR是大型场外衍生品市场中最重要的基准利率之一，作为参考指数。
隔夜指数互换(OIS, Overnight Index Swaps)是一种固定/浮动利率互换，浮动利率由公布的隔夜指数利率在合约期内每个时间区间的几何平均值决定。
上海银行间同业拆放利率(SHIBOR)是指18家银行在每个营业日上午11时30分将所有银行间人民币贷款利率平均值计算得出的批发利率，不包括4个最高和4个最低报价。
如果货币市场账户在FDIC担保的银行或联邦担保的信用社，那么它们就是安全的。FDIC的存款保险覆盖了FDIC银行账户最高25万美元。在国家信用合作社管理局 NCUA 机构的帐户有一个标准股份保险金额为每个账户所有权类别，每个投保的信用合作社，股东每股25万美元。
1.3 投资组合的变化

投资组合的变化来自两个因素：

股票头寸的资本收益
货币市场上的利息收益

平均回报：投资组合的平均基础回报率
风险溢价：投资股票的风险溢价
波动率：波动性与股票投资的规模成比例

贴现组合的变化完全是由于贴现股价的变化。
欧式看涨期权的payoff为

行权价，是该期权的固定时间。
是时刻期权的价值，。在时刻，已知，不再是随机的
是一个随机过程，其虚拟变量。我们计算贴现后的期权价格。

1.4 期权合约

基本期权合约有四种类型：

欧式看涨期权是指在特定日期以特定价格购买资产的权利
美式看涨期权是指在特定日期前以特定价格购买资产的权利
欧式看跌期权是指在特定日期以特定价格出售资产的权利
美式看跌期权是指在特定日期前以特定价格出售资产的权利

欧式看涨期权的收益(payoff)和利润(profit)：

固定r = 0.05，行权价K = 30，T = 0.5，目前股价是25
如果购买期权，支付3作为期权价格的溢价
到期日T时，成本为 3 * (1 + 0.05/2) = 3.075
(1) 若 ST = 20 < K = 30，则不行权，利润 = -3.075
(2) 若 SR = 40 > K = 30，则行权，收益 = 10，利润 = 6.925

欧式看跌期权的收益(payoff)和利润(profit)：

固定r = 0.05，行权价K = 30，T = 0.5，目前股价是25
如果购买期权，支付4作为期权价格的溢价
到期日T时，成本是 4* (1 + 0.05/2) = 4.1
(1) 若 ST = 20 < K = 30，则行权，收益 = 10
(2) 若 SR = 40 > K = 30，则不行权，收益 = -4.1

1.5 保证金要求

(a) 卖出期权时需要保证金。
(b) 当卖出裸期权(naked option)时，保证金为100%的销售收益加上标的股票价格的20%减去期权出清金额(如果有的话)、销售收益的100%加上标的股票价格的10%中的较大部分。
例：马克发行了3份ABC股票的裸看涨期权合约，期权价格是2.5美元，行权价格是20美元，股价是19美元。

初始保证金要求是多少?
交易所需的最低现金量是多少?

1.6 推导BSM

11
1.7 无套利

假设投资组合来自股票和货币市场。期权是到期日固定收益的第三种证券。为简便起见，设。
(1) 若，那么可以在卖出期权，在交易中投入。到期日，卖出期权是，收益为：

因此初始利润是无风险的。交易策略是套利。
(2) 若，则买期权、卖，初始利润
(3) 在时刻，适用于以避免套利。
1.8 BS敏感性

(1) 对于看涨期权：

若S(T) > K，则为价内 ITM
若S(T) < K，则为价外 OTM
若S(T) = K，则为平价 ATM

时间价值为：

(2) 复制看涨期权的投资组合。

股票数量为（Delta对冲比率）
借入资金为单位

其中：

(3) 弹性：一个有用的系数，衡量随着股票价格的变化，期权价格的相对变化。看涨期权的弹性为：

等价于：

这意味着：

复制看涨期权的投资组合总是需要借钱。
(4) 看涨期权的波动性：

风险中性测度下看涨期权价格的升值率等于无风险率，期权价格的波动服从随机过程，而股票价格的波动则服从恒定波动。这使得有看涨期权的投资组合的位置很难量化。
(5) 头寸Delta是通过将期权头寸的面值乘以其Delta得到的。为了测量位置Delta随标的股票价格变动的变化，我们使用二阶导数，即伽马效应。一个投资组合是负的，随着时间的推移，其他变量不变，它会失去价值。
(6) 当波动性增加时，正的伽马头寸将会带来利润。
例如：令K = 30，T = 0.25，S(0) = 31，σ = 0.1，r = 0.05。由公式可得 d1 = 0.93，d2 = 0.88，得到N(d1) = 0.8238，N(d2) = 0.8106。看涨期权价格为 c(0, S(0)) = 1.52。
Δ(0) = 0.8238，c(0, S(0)) - Δ(0)S(0) = -23.9。这意味着，为了对冲以1.52美元卖出的看涨期权的空头头寸，投资者需要在0时刻购买δ=0.8238股股票，并借入23.9美元单位的现金。
时刻0，看涨期权的弹性为 = 16.72。
假设股票价格从31上升到31.2，收益率为0.65%。期权价格将近似地变动 = 0.1×16.72 = 1.672，波动性几乎是股票波动性的17倍。c(0,31.2)=1.685 且 c(0,31.2)-c(0,31)=0.165，期权价格上涨16.5美分。
1.9 BSM的假设

股票、期权和现金的市场是完美的
现在和未来的利率是常数
借贷利率是相等的，并且是可能的
股票波动率恒定
没有交易费用或税
没有保证金的要求

1.10 用BSM交易的警告

交易员问题(Traders Issue)：爱尔兰联合银行(Allied Irish Bank)外汇交易员鲁斯纳克(John Rusnak)的投机活动持续了数年，导致该行损失了约7亿美元。鲁斯纳克设法通过虚构的期权交易来掩盖他的损失。
不能相信猜测：Amaranth对冲基金在2006年因预测天然气价格的未来走向而损失了60亿美元。
不能相信专家：长期资本管理对冲基金在1998年损失了大约40亿美元，因为俄罗斯的债务违约和由此导致的质量下降。纽约联邦储备银行(New York Federal Reserve)安排14家银行投资该基金，有序清算了该基金。
次级抵押贷款损失(Subprime Mortgage Losses)：2007年，投资者对美国次级抵押贷款创造的结构性产品失去了信心。这导致了信贷紧缩，瑞银、美林和花旗集团等金融机构损失了数百亿美元。
2011年，瑞银(UBS)的奎库阿多博利(Kweku Adoboli)未经授权在股市指数上建立投机头寸，损失了23亿美元。
认真对待风险限制：罗伯特·西特龙在1991-1993年的活动为奥兰治县带来了丰厚的利润，市政当局开始依赖他的交易来获得额外的资金。人们选择忽视他所承担的风险，因为他创造了利润。不幸的是，1994年的亏损远远超过前几年的利润。
不要认为你能猜得透市场：如果一个交易员有出色的记录(就像罗伯特·西特龙在上世纪90年代初所做的那样)，这很可能是运气的结果，而不是卓越的交易技巧。
不要低估分散投资的好处：当一个交易者看起来很擅长预测一个特定的市场变量时，就会倾向于增加他的限制。假设有20只股票，每只股票的年预期回报率为10%，回报率的标准差为30%。任何两只股票的回报率之间的相关性是0.2。通过在20只股票中平分一笔投资，投资者每年的预期回报率为10%，回报率的标准差为14.7%。分散投资可使投资者减少一半以上的风险。
执行场景分析和压力测试：在场景生成的方式上具有创造性和使用经验丰富的管理者的判断是很重要的。一种方法是查看20或30年的数据，并选择最极端的事件作为场景。
小心监控交易员：所有交易员，尤其是那些赚取高额利润的交易员，都应该完全负责。对于金融机构来说，了解高额利润是否来自于不合理的高风险。
将前台、中台和后台分开：金融机构的前台由正在执行交易、持有头寸等的交易员组成。中台办公室由风险管理人员组成，他们负责监控所承担的风险。后台办公室是进行记录和会计的地方。一些最严重的衍生品灾难之所以发生，是因为这些功能没有被分开。
不要盲目相信模型：如果在遵循相对简单的交易策略的情况下总是报告巨额利润，那么很有可能利润计算的基础模型是错误的。
在确认初始利润时要保守：假设一家金融机构设法以超过其实际价值1000万美元的价格将一种工具卖给客户，或者至少比其模型所称的价值高出1000万美元。这1000万美元被称为初始利润。
不要向客户销售不合适的产品
谨防轻易获利：投资次级抵押贷款衍生的AAA级资产支持证券CDO似乎是个绝佳的机会。承诺的回报率远远高于AAA级投资工具的正常回报率。
不要忽视流动性风险：流动性对投资者变得非常重要，而非流动性的工具往往以比其理论价值大打折扣的价格出售。这种情况发生在2007年至2009年，当时信贷市场因对次级抵押贷款支持的证券缺乏信心而动荡。
当每个人都遵循相同的交易策略时要小心：这将创造一个危险的环境，在那里可能会有大的市场波动，不稳定的市场，以及市场参与者的巨大损失。
不要过度使用短期资金来满足长期需求：在信贷危机期间，许多金融机构的倒闭(如雷曼兄弟和北岩银行)很大程度上是由于过度依赖短期资金造成的。负责监管国际银行的巴塞尔委员会(Basel Committee)正在引入银行必须满足的流动性比率，这并不奇怪。
市场透明度很重要：2007年8月的次贷危机导致投资者对所有结构性产品失去信心，并撤出该市场。这导致了市场崩溃，部分结构性产品只能以远低于其理论价值的价格出售。
管理激励：银行的奖金制度倾向于强调短期业绩。一些金融机构已转向这样一种制度，即将一年的业绩奖金分摊到未来数年，如果业绩不如最初认为的那么好，部分奖金可能会“收回”。
永远不要忽视风险管理：当形势好的时候(或看起来不错的时候)，人们倾向于假设一切都不会出错，而忽略压力测试和风险管理团队进行的其他分析的结果。

1.11 看涨看跌平价

交割价格为K的远期合约要求持有者在到期日T购买1股股票，以换取K的支付。今天，一名交易员达成协议，以1.6196英镑的汇率在三个月内购买100万英镑。因此，在三个月后，对汇率来说，收益是( - 1.6196)×100万。
远期合约的价值是。设时，为远期合约在的前期的价值。

时刻0卖出远期合约：

买一股，向货币市场账户借款。在时刻，欠股票；来自货币市场的债务；这个投资组合就是远期合约。股票在时刻的远期价格是使时刻的远期合约价值为零的的值。

欧式看跌期权是时刻收益的期权。

远期合约的收益与一个看涨一个看跌的投资组合的收益是一致的。

这就是看涨看跌平价(put-call parity)。
2. 多变量随机微积分

2.1 定义二维方程

假设。二次变分为：

有二次变分和交叉变分：

2.2 二维伊藤公式

定理4.6.2：二维 Ito-Deoblin 公式。令。

2.3 伊藤乘法法则

伊藤乘法法则(Ito Product rule)。令，有：

如果：

因此：

的波动率为：

2.4 伊藤除法法则

伊藤除法法则(Ito Quotient rule)。令，有：

因此：

的波动率为：

2.5 列维对布朗运动的描述

定理4.6.4：列维对布朗运动的描述(Levy&#39;s characterization of Brownian motion)
令是相对于的过滤(filtration) 的鞅(martingale)。设，有连续路径(continuous path)，对于，。那么是布朗运动(Brownian motion)。
证明：设，则是的解。令，则：

由于为鞅，同样是鞅。

3. 期权定价模型的实证研究

3.1 BSM的变形

期权定价BSM的许多变化和推广：

BS模型
随机利率(SI)模型
随机波动(SV)模型
随机波动随机利率(SVSI)模型
随机波动随机跳跃(SVJ)模型

(1) 从每个广义特征中得到了什么？从一个更现实的特性中获得的收益，值得额外的复杂性或实现成本吗？
(2) 宽松的假设是否有助于解决与BS公式相关的已知经验偏见，比如波动率微笑（Rubinstein (1985, 1994)）？
(3) 最终，这是在错误指定的模型中做出的选择，可能是基于：
- 哪一个是错误最少的？
- 哪一个导致了最低定价错误？
- 哪一个对冲表现最好？

必须先回答这些经验问题，才能在实际应用中充分实现最近理论进展的潜力。
Bakshi, Cao和Chen (1997, JF)基于1988年6月至1991年5月的38,749 S&P 500看涨期权价格发现，SI和SVSI-J模型分别没有显著提高BS和SVJ模型的性能。Bakshi等(1997)的实证研究得出以下总体结论：

从内部参数的一致性判断，所有模型都是错误指定的，SVJ最小，BS错误指定最多
样本外定价误差在BS中最高，在SV中次高，在SVJ中最低。总体而言，单凭随机波动就能实现一阶定价改进，并通常将BS定价误差降低25%至60%。证据也证实了以下猜测
- 添加随机跳跃特性改善了短期期权的拟合度
- 包含SI特性增强了长期期权的定价拟合度

首先，在风险中性测度下，对于任意，标的非支付股利的股票价格及其组成部分为：

其中利率采用Cox、Ingersoll和Ross(1985)类型的单因素期限结构模型：

为Bakshi等人(1997)的公式(8)，通过傅里叶变换(Fourier transformations)。

如果，则为平值期权 ATM
如果，则为价外期权 OTM
如果，则为价内期权 ITM

3.2 每个模型的实现

第一步：

时间戳晚于中央标准时间下午3点的期权报价将被取消。这确保了现货价格与期权价格同步记录
由于距离到期不到6天的期权可能会导致流动性相关的偏差，因此它们被排除在样本之外
为了减轻价格离散性对期权估值的影响，不包括低于3/8美元的报价
报价不满足套利限制：

第二步：
收集个在同一时间点(或同一天)对同一只股票的期权价格，对于任意个大于或等于1加上待估计参数的数量。对于每一个，设分别为第个期权的到期日和执行价格。设为观测价格，为模型价格：

其中，为模型参数的集合。欲求和参数向量，需要求解：

这一步的结果是对日期t的隐含现货方差和结构参数值的估计。
第三步：回到第二步，直到样本中的每一天都重复这两个步骤。

首先，隐含现货波动率在BS模型、SV模型和SVSI模型之间的平均差距小于0.50%，除了SVJ模型下的平均隐含标准差比BS模型高1.15%。
第二，对于现货波动率过程的估计结构参数通常在SV、SVSI和SVJ模型(每个模型都假设随机波动率)中有所不同。为了更好地理解这些估计，回想一下，在SV模型中，股票收益的偏度和峰度水平在很大程度上分别由相关系数和波动率变异系数控制；SVSI模型依赖于同样的灵活性，并附加了随机利率的警告，以确保对未来收益进行更适当的贴现；除了继承SV的所有特性外，SVJ模型还允许价格发生跳跃，可以内化更多的负偏度和更高的峰度，而不会使其他参数不合理
最后，纳入随机利率似乎并不会增强SV模型的拟合，这一事实进一步表明，每个模型在平均一天中所有调用的定价误差平方和(SSE)。

参考文献：Stochastic calculus for finance II: Continuous-time models，第4章。