赫尔《期权、期货及其他衍生产品》笔记第18章期货期权

赫尔《期权、期货及其他衍生产品》笔记

第18章期货期权

期权持有者可以在将来某一固定时刻按某一价格买入或卖出某个标的资产，这些期权有时也被称为即期资产上的期权（options on spot）或即期期权（spot options），这是因为在行使期权时，已指定价格而进行买入或卖出资产的交易马上会发生。期货上的期权（options on futures），这类期权也被称为期货期权（futures options）。在这些合约中，行使期权会使得期权持有者持有期货的一种头寸。
18.1 期货期权的特性

期货期权给予持有者权利（而非义务）在将来某一时刻以一定的期货价格进入期货合约。具体地讲，看涨期货期权给持有者在将来某时刻以一定期货价格持有合约多头的权利。看跌期货期权给持有者在将来某时刻一定期货价格持有期货合约空头的权利。大多数期货期权为美式期权，也就是说期权持有者在合约有效期内随时可以行使期权。
当看涨期货期权被行使时，期权持有者进入一个期货合约的多头，加上数量等于最新期货结算价格减去执行价格的现金。当看跌期权被行使时，期权持有者进入一个期货合约的空头，加上数量等于执行价格减去最新期货结算价格的现金。一个关于看涨期货期权的实际收益等于，而一个关于看跌期货期权的实际收益等于，F是执行期权时的期货价格，K是执行价格。
18.1.1 到期月

期货期权是按标的期货的到期月（而不是按期权的到期月）来识别的。大多数期货期权为美式期权。期货期权到期日通常是标的期货交付日前的前几天。
18.1.2 利率期货期权

在美国的交易所里交易最为活跃的利率期权产品是关于产期国债期货、中期国债期货和欧洲美元期货的期权。
利率期货期权合约的运作方式与其他期货期权合约相同。
当债券价格增长时（即利率下降时），利率期货价格会随之增长。当债券价格下降时（即利率增长时），利率期货价格会随之下降。如果一个投资者认为短期利率会增长，他可以买入关于欧洲美元期货的看跌期权来进行投机。如果一个投资者认为短期利率会下降，他可以买入关于欧洲美元期货的看涨期权来进行投机。如果一个投资者认为长期利率会增长，他可以买入关于长期或中期国债期货的看跌期权来进行投机。如果一个投资者认为长期利率会下降，他可以买入关于长期或中期国债期货的看涨期权来进行投机。
18.2 期货期权被广泛应用的原因

在大多数情况下，期货合约要比标的资产的流动性更好，而且容易交易。还有，在交易所很容易马上获得期货的价格，而标的资产的价格并不一定很容易取得。
期货期权的一个重要特点是对期权的行使并不一定会触发对标的资产的交割，因为在大多数情形下标的期货合约会在到期日之前被平仓。期货期权往往最终以现金结算，这对大多数投资者来讲颇具吸引力，尤其是对于那些缺乏资金而不能在期权行使后买入标的资产的投资者更是如此。另外一个有时人们会提到的优点是期货与期货期权在同一个交易所中同时交易。这给对冲、套利、投机带来了方便，这也使市场有效性会更高。期货期权还有一个优点是在许多情况下，期货期权比即期期权的交易费用要低。
18.3 欧式即期期权和欧式期货期权

执行价格为K的欧式看涨即期期权收益为

其中为期权到期时资产的即期价格。具有同样执行价格K的欧式看涨期货期权收益为

其中为期权到期时的期货价格。如果期货与期权同时到期，那么，这时两个期权等价。类似地，当期货与期权同时到期时，欧式即期看跌期权与欧式期货看跌期权等价。
18.4 看跌-看涨期权平价关系式

具有相同执行价格K与期限T的两个欧式看涨和看跌期货期权。我们可以构造以下两个交易组合
组合A：一份欧式看涨期货期权加上数量为的现金；
组合B：一份欧式看跌期或期权加上一份期货合约多头，再加上数量为的现金，其中为期货价格。
在组合A中，现金可以按无风险利率r进行投资，在T时刻，该投资会增长到K。零为期权到期时的期货价格。如果，组合A中的期权会被行使，组合A的价值为。如果，组合A中的期权不会被行使，这时组合A的价值为K。因此在T时刻，组合A的价值为

在组合B中，现金按无风险利率进行投资。在T时刻，该投资会增长到。看跌期权收益为，期货提供的收益为。因此组合B在时刻T的价值为

因为以上两个交易组合在T时刻的价值相等，并且欧式期权不能提前行使，所以这里的两个交易组合在今天的价值应该相等。组合A在今天的价值为

其中c为看涨期货期权的价格。每日结算过程保证组合B中的期货在今天的价格为0，所以组合B的价值为

其中p为看跌期货期权的价格，因此

以上为看跌-看涨期权平价关系式。
当期权与标的期货合约同时到期时，欧式即期期权与欧式期货期权是等价的。当两种期权的到期日与期货相同时，上式即给出了即期看涨期权、即期看跌期权和期货价格之间的关系式。
对于美式期货期权，看跌-看涨期权的关系时
$$F_0e^{-rT}-K18.5 期货期权的下限
看跌-看涨期权平价关系式给出了欧式看涨期权和看跌期权的下限。因为看跌期权的价格为p不能为负值，得出

即

类似地，因为看涨期权的价格c不能为负值，得出

即

当期权为深度实值状态时，欧式看涨和看跌期权与它们的下限价格非常接近。为了说明这一点，我们重新考虑看跌-看涨期权平价关系式。当一个看涨期权为深度实值状态时，相应的看跌期权为深度虚值状态，这意味着p会很接近于0，c与其下限的差等于p。因此看涨期权会与其下限非常接近。对看跌期权我们也可以进行类似的讨论。
由于美式期货期权可以在任何时刻被行使，因此，我们有以下关系式

与

因此，假设利率为正，美式期权的下限一定会高于相应欧式期权的下限，美式期货期权总是有被提前行使的可能。
18.6 采用二叉树对期货期权定价

期货期权与股票期权的关键区别是进入期货合约时无须付费。
18.6.1 推广

假定为期货的初始价格，在时间段T后以后，期货价格会上涨到或下降到。我们考虑一个在时间T到期的期权，当期货价格上涨时，期权收益为，当期货价格下跌时，期权收益为。

这时的无风险交易组合包括1份期权的空头和份期货的多头，其中

交易组合在T时刻的价值总是

将无风险利率记为r，我们得出交易组合在今天的价值为

另外一种表达交易组合今天价值的表达式为，其中f为期权今天的价值。因此

将代入以上表达式，f可以被简化为

其中

上式给出了在风险中性世界里标的资产价格上涨的概率。
18.6.2 多步二叉树

应用多步二叉树对美式期货期权定价与对股票期权定价的方式是基本相同的。对应于期货价格上涨的参数u等于，其中为期货价格的波动率，为步长，期货价格上升的概率

18.7 期货价格在风险中性世界的漂移率

在风险中性世界里，期货价格的变化等价于支付股息收益率为国内无风险利率r的股票。
定义为时刻t的期货价格，并且假设结算日期为如果在0时刻进入期货多头，其价值为0。在时刻，期货的收益率为。如果r为在0时刻一段很短时间（）区间的利率，那么由风险中性定价方法得出在0时刻，合约收益率的价值为

其中为风险中性世界的期望。因此我们必须有

从而

因此，在风险中性世界里，期货价格的漂移率为0。期货价格类似于股息收益率q等于r的股票价格。这一结果具有一般性，它对所有的期货价格均成立，并且与关于利率、波动率等的假设无关。
在风险中性世界里，通常假设F服从以下过程

其中为常数。
####微分方程
期货价格上衍生产品的价格满足微分方程

这与将q取成r的形式相同。这验证了在对衍生产品定价时，我们可以将期货价格看成股息收益率为r的股票。
18.8 期货期权定价的布莱克模型

假设标的期货价格俯冲对数正态过程，期货期权上的欧式看涨期权价格c和看跌期权p可以将由取代，同时令而给出

其中

其中为期货价格的波动率。当持有费用和便利收益率均为时间的函数时，我们可以证明期货价格的波动率等于标的资产的波动率。
由布莱克模型代替布莱克-斯科尔斯-默顿模型

当期权期限与期货期限相同时，期货期权与即期期权等价。因此上式也提供了一种对于即期资产上欧式期权定价的方法。
标的资产既可以是消费资产也可以是投资资产，而且资产也可以给持有人提供收入。变量被取成与期权期限一样的期货或远期合约价格。
布莱克模型的很大优点是我们不需要去估计标的资产的收入（或方便收益）。在模型中的期货或远期价格已经将这些收入考虑在内。
18.9 美式期货期权与美式即期期权

在实际中，市场交易的期货期权通常为美式期权。假定无风险利率r为正，美式期货期权总是有被提前行使的可能性，因此，美式期货期权总是会高于相应的欧式期货期权的价格。
在当期权与期货具有相同期限时，美式期货期权的价格并不一定等于美式即期期权的价格。
例如，假定我们有一个正常（normal market），其中期货价格在到期前一直高于即期资产价格。这时，美式看涨期货期权价格一定会高于相应的美式即期看涨期权。这是因为在某些情形下，期货期权可能会被提前行使，这会给期权持有者带来更大的收益。类似地，一个美式看跌期货期权的价格一定会低于相应的美式即期看跌期权的价格。当市场反向（inverted market），即期货价格总是低于即期价格时，与以上相反的结论会成立。这时，美式看涨期货期权的价格会低于即期看涨期权的价格，而美式看跌期货期权的价格会高于美式即期看跌期权的价格。
上面描述了关于美式期货期权与美式即期期权的差别，这在期货与期权具有不同或相同期限时均成立。事实上，期货期权比期权期限越长，两种期权的差别也就越大。
18.10 期货式期权

有些交易所交易所谓的期货式期权（futures-style options），这是关于期权收益的期货合约。一般来讲，交易员在买入（卖出）即期或期货期权时要首先支付（收入）现金。与此不同的是，买入或卖出期货式期权的交易员要缴纳保证金，这一点与一般的期货交易没有什么两样。与其他期货一样，期货式期权要每天进行结算，而最终的结算为期权的收益。期货合约是对资产的将来价格下注，而期货式期权是对期权将来的收益下注。当利率为常数时，期货式期权中的期货价格等于关于期权收益的远期合约中的远期价格，这一结论说明期货式期权中的期货价格等于一个在到期日才付费的期权价格。因此，期货式期权价格等于一个普通期权价格以无风险利率复利到期权满期的数量。
布莱克模型给出了一个普通欧式期权的价格，其中期货（远期）价格对应于一个与期权具有同样期限的期货。因此，看涨期货式期权中的期货价格为

看跌期货式期权中的期货价格为

这些公式不依赖于无风险利率，并且对于期货合约上的期货式期权和资产即期价格上的期货式期权都是正确的。在第1中情形下，为期权标的合约的当前期货价格。在第2中情形下，为与期权具有同样期限的期货合约的当前期货价格。
期货式期权的看跌-看涨期权平价关系为

一个美式期货式期权可以被提前行使，这时要马上结算期权的内涵价值。事实上，提前行使美式期货式期权肯定不是最优的决策，这是因为期权的期货价格永远大于内涵价值，因此我们可以将这种美式期货式期权视为相应的欧式期货式期权。

赫尔《期权、期货及其他衍生产品》笔记 第18章 期货期权

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