量化金融实际来源于许多数学分支，金融模型可以以各种不同的方式运行。
在量化金融中最常用的数学方法是概率理论和微分方程。当然，通常还需要数值方法来产生数字。下面列出各种建模方法和一些有用的工具。
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1、建模方法
· 概率性
至少就量化金融而言，概率是金融市场的一个主要假设之一，它认为资产价格是随机的。我们倾向于将金融变量表述为一个随机路径，其中的参数用于描述资产的增长及其随机性程度。我们通过指定的平均增长率和平均值偏差来有效地对资产路径建模。这种建模方法在过去30年中产生了巨大的影响，导致衍生品市场的爆炸式增长。
· 确定性
该理论背后的想法是，模型将告诉我们关于未来的一切。给定足够的数据和算力，我们可以写出一些方程或用于预测未来的算法。有趣的是，动力系统和混沌系统就属于这一类。而且，混沌系统对初始条件表现出高度的敏感性，这使得实践中的预测变得几乎不可能。这就是“蝴蝶效应”，蝴蝶在巴西舞动翅膀将会“导致”曼彻斯特降雨，这个在20世纪90年代初流行的理论，并没有在金融界得到应用。
· 离散：差分方程
无论是从概率性还是确定性出发，最终得到的模型一般不是离散的就是连续的。离散意味着资产的价格或时间，无论是一美元还是一美分，一年或一天，都只能以有限的模块增加;连续意味着不存在这种较低的增量。数学中的连续过程常常比离散过程更容易。但是在任何情况下，当涉及数值计算时，需要把一个连续模型变成一个离散模型。
在离散模型中，我们最终得到差分方程。期权定价的二叉树模型就是该模型的一个示例，时间步长(简称时步)以有限的数量变动。
· 连续：微分方程
在连续模型中，我们最终得到微分方程。与离散空间中的二叉树模型等价的是布莱克-斯科尔斯模型，其具有连续的资产价格和连续时间。无论是二叉树模型还是布莱克-斯科尔斯模型，都来自金融世界的概率假设。
2、有用工具
· 模拟
如果金融世界是随机的。那么我们可以通过模拟来预测未来走势。例如。资产价格可以由其平均增长率和其风险表示。因此可以通过模拟得到随机资产未来状态的可能性。如果采取这样的方法。我们将要运行许多次模拟。一次模拟只能得到一个结果，所以我们能看到一系列可能性区间。
模拟也可用于非概率问题。仅仅因为数学方程之间的相似性，在确定性框架中导出的模型也可能通过概率方法解释。
· 离散方法
模拟方法有许多可完善之处，最著名的是有限差分法，它是诸如布莱克-斯科尔斯连续模型的离散化。
除非你解决的问题很简单，不然你可以通过模拟或有限差分法得到确定的数值。
· 近似值
我们在建模时旨在提出一个有意义和有用的解决方案，例如期权价格。除非模型真的很简单，否则我们可能无法轻松解决这时候可以考虑通过近似值方法，复杂的模型可能有近似解，这些近似解可能足够好，可以达到我们的目的。
· 渐近分析
这是一项非常有用的技术，在大多数数学分支领域都有所应用，但是在金融领域，这种方法几乎一直都不被人们所熟知。渐近分析的原理很简单:通过利用或大或小的，在某些方面特殊的参数或变量，找到复杂问题的近似解。例如，接近到期的单纯期权就存在简单的近似解。
· 序列逼近解法
如果方程是线性的(这在量化金融中随处可见)，那么你可以将解决其他问题的方案加在一起来解决一个特定的问题。序列逼近解法是将解决方案分解为简单函数(潜在无限)的和，如正弦和余弦，或幂级数。例如，障碍期权就是这种情况，它有两类障碍:一类低于当前资产价格，另一类高于当前资产价格。
· 格林函数
这是一种只在某些情况下有效的特殊技术。该理论认为，一些困难问题的解决方案，可以在解决类似问题的特殊情况的方案中构建。
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参考文献及延伸阅读
Joshi,M 2003 The Concepts and Practice of Mathematical Finance. Cambridge University Press.
Wilmott, P 2006 Paul Wilmott on Quantitative Finance, second edition. John Wiley & Sons Ltd.
Wilmott,P 2007 Paul Wilmott Introduces Quantitative Finance, second edition. John Wiley & Sons Ltd. |
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