期权定价模型系列（二）——从经过作者本人修正的有限阶二 ...

本篇文章相当重磅！为本人废寝忘食，在发烧中耗时多个小时整理。输入公式极其复杂，看不懂也可以感受数学公式的极致美，另外，对期权的解释相当深刻，大家可以点赞收藏，便于日后学习金融知识。
本篇文章继续发扬简洁、严谨、出神入化之风讨论经过作者本人修正的且作者认为更加合理的二叉树模型。原始二叉树模型认为期权的标的资产价格经过相同的上升和下降次数回到原始值，作者认为这种假设不合理，因为随着时间的推移，价格的迁移直接体现出无风险收益更加合理，而不是用概率来弥补。本篇文章着重讨论如下内容：
严谨解释为什么使用无风险收益率进行定价，
严格解释期权在何种情况下不会被提前行权，
严格推导价格上升比例与下降比例，
并严格解释为何上升下降比例的指数仅取一阶并不影响无限阶二叉树的结果，
这个模型的极限结果和上一篇文章中的极限结果相同，即均是Black-Scholes（BS）模型的结果。之所以不影响最终结果，是因为两个模型的期望和方差一致，最终趋于相同的正态分布。
原始二叉树模型参见文章
感兴趣的读者可以关注我的知乎账号与知乎专栏“数学妙谈”、“金融科学之数学原理”。无限阶二叉树取极限时会用到中心权限定理，中心极限定理的证明参见
本文中仅以看涨期权为例来推导期权定价公式，看跌期权也是同理，我们会将结论给出。
金融衍生品的定价使用无风险收益率 在讨论之前我们先来澄清一个问题：有很多人疑惑为什么期货、期权的定价用的均是无风险收益率？其实这个问题很好解释，我可以告诉你不仅仅是期货和期权，只要金融市场有效，任何金融衍生品的定价必须使用无风险收益率。
原因很简单，以期货为例，如果定价不使用无风险收益率，由于人们预测某种商品会涨价导致某种商品的期货比现货价格高很多，明显高出无风险收益率。那市场上就会有人买入现货（做多现货），再卖出期货（做空期货），等到期货到期交割之时将手中的现货交割给期货的买方即多方，这样便实现了无风险套利。由于无风险套利的存在，大家纷纷买入现货，卖出期货，会导致现货价格上涨，期货价格下跌，最终导致我们不能通过套利获得比无风险收益率更高的收益率。
再举一个股票期权的例子，如果一只股票的看涨期权的定价使用了明显低于无风险收益率的收益率进行定价，那市场上就是有人卖出看涨期权（做空看涨期权）和一张债券（做空债券），用卖出去的钱买入相应股票（做多股票）以及看跌期权（做多看跌期权，假定看跌期权是用无风险收益率定价的）。由于债券与看涨期权的复合等价于股票与看跌期权的复合，因此通过差价也实现了无风险套利。但是现实中金融市场不会绝对有效，因此金融衍生品价格在一定程度上偏离价值也是很正常的。
提前行权问题 如果标的资产没有附加收益，在有效市场里期权不会被提前行权。因为提前行权获得的仅仅是内在价值，以看涨期权为例，提前行权获得的仅仅市场价高于行权价的差值，而由于标的资产有一定的概率上涨得更高，有一定的概率下降得更低，甚至是行权价以下，但是期望是当前价格加上无风险收益部分，而下降到行权价以下持有者并不亏钱，所以这部分概率导致期权还产生了时间价值。而在二级市场上出售不仅仅获得内在价值，同时也获得时间价值。当然如果标的资产的附加收益能够被准确预期，即便标的资产有附加收益期权也不会被提前行权，因为期权定价时会将标的资产的收益考虑在内，即标的资产的未来各种可能的预期价格会扣除收益部分（对于股票来说就是分红）用无风险收益率换算到未来时间点的值。
无风险收益率 (risk-free yield rate) 在讲解二叉树模型之前，我们先介绍一下无风险收益率。但是注意我们使用的无风险收益率并非真正的无风险收益率，而是无穷小时间内的收益率相加所得的名义收益率。显然它与真实的无风险收益率的关系为

则元钱以无风险收益率存入银行经过时间以后变为

其实我们用哪一个收益率都可以，因为二者是可以相互转化的，但因为在数学上用连续收益率更简单，因此我们直接使用连续收益率。
有限阶二叉树模型的假设 假定看涨期权的行权价格为 , 期权标的资产（股票期权的标的资产即为股票，商品期权的标的资产即为商品）价格为 , 为了便于区分，当前价格记为 , 无风险收益率为 , 标的资产价格波动率在无限短时间内的标准差为 , 期权的剩余到期时间为 , 二叉树的层数为 . 如下图所示

期权的二叉树定价模型

我们假定标的资产在每一向前一步有两种结果：一种是变为原来的（up）倍，相应的概率为 ; 另一种是变为原来的（down）倍（注意，这是和上一篇文章的区别，后面的结果均会有细微差别，不过不影响的结果以及最终的极限结果），相应的概率为。我们假定互为倒数，即相同的上升次数与下降次数以后标的资产的价格仅获得无风险收益，即

不妨假设

前面已经说过，我们给金融衍生品定价假定未来价格只与无风险收益率有关，因此我们有

可得

其实这个结果很简单，无非就是杠杆原理。显然，在步二叉树模型的第步中，上涨次数满足二项分布，最终的标的价格为 , 相应的概率为 , 显然概率之和为 , 期望为 , 我们不妨来验证一下：概率和为

期望为

有限阶二叉树模型的方差 在步二叉树的第步中，价格的方差

向上倍数 与向下倍数 的导出 因为我们已经推导了方差表达式，并且我们已经假定了无限短时间内的价格波动率的标准差为 , 因此当时有（如果为了推导更加简单，我们还可以直接令）

我们对上式进行泰勒展开分别取到的阶与的阶进行比较可得

因此有

补充说明 这里的是近似结果，如果要精确结果，是的级数形式，需要包含高阶项，而不仅仅是一阶，不过这种近似对我们要求的最终结果并无影响，读者可以注意，以下的推导均没有用到的高阶项，所以取一阶不会影响无限阶二叉树的最终极限结果。当然，对于有限阶二叉树，取一阶是不够准确的。
期权价值的导出 下面我们来推导一下期权的价值。我们站在当时时间点来看，期权到期时有各种可能，有可能标的价格高于行权价，此时期权的期末价值为 ; 也有可能标的价格不高于行权价 , 则期权的期末价值为 . 由于我们采用的是步二叉树模型，因此在基末标的价格有种可能。前面我们已经说过，期权上涨次数为下跌次数为的情况标的资产的价格为 , 概率为 , 则在当前时间期权的价值为

其中是将期末预期价值用连续无风险收益率折现到当下。上式求和各个项当且仅当

时才不为 . 将的表达式代入上式可得

令

则

利用无限阶二叉树导出Black-Scholes（BS）模型 我们已经导出在步二叉树模型下期权价值的表达式，现在我们继续研究当步数时的最终极限

我们令

则

下面我们来求与 . 我们容易算得，出现的概率为 , 出现的概率为的伯努力实验的期望和方差分别为 , 而二项分布为次相互独立的伯努力实验的数值之和，因此期望和方差分别为 . 所以由中心极限定理，我们立即知道当时，二项分布趋于期望为 , 方差为的下态分布，即

.
我们用为标准正态分布的累积概率函数，则

其中

代入的表达式可得

下面我们再来推导 , 类比推导过程同理可知

综上所述看涨期权的价值

同理，看跌期权的价值

这便是期权定价的Black-Scholes（BS）模型。