多种期权知识点介绍与损益结构模拟

前言

期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一种金融衍生工具（属于衍生品投资），理论和实践辨明，只要投资者合理地选择其手中证券和相应的衍生物比例，就可以获得无风险收益。期权这一类衍生品定价规则从上世纪70年代诞生出，为金融衍生市场提供了更大的繁荣与保证。
本篇文章将先介绍些期权的各种基本知识，剩下主要是学习下多种期权的payoff知识以及模拟它们的过程。

一：期权基础知识介绍

期权定义

1：买入期权：又称看涨期权（敲入期权），它是赋予期权持有者在给定的时间内（或在此时间的任意时刻）按规定价格买入一定数量某些资产的权利的一种法律合同
2：卖出期权：又称看跌期权（敲出期权），它是赋予期权持有者在给定的时间内（或在此时间的任意时刻）按规定价格卖出一定数量某些资产的权利的一种法律合同

行权方式

1：欧式行权：当行权观察日仅为到期日，该期权为欧式期权
2：美式行权：当期权期限内的每一天都为可提前行权观察日时，该期权变为美式期权
3：百慕大期权：一种可以在到期日前所规定的一系列时间行权的期权，其到期支付结构与欧式期权行相同

期权种类

根据期权交易场所不同分为场内期权和场外期权
1：场内期权：有标准化合约如商品期权白糖、豆粕期权等等、金融期权如50ETF等等,
2：场外期权：非标准化合约如中证500指数期权、个股期权等等。
根据标的资产不同有金融期权和实物期权
1：金融期权：普通期权如股票期权、外汇期权、利率期权、股票指数期权等等；嵌入式期权如可赎回证券、可退还证券、可转换证券等都包含有期权等等，
2：实物期权：实物期权的标的资产是各种实物资产如铜、煤等等。
根据期权种类可分为普通香草期权和奇异期权
1：普通香草期权：就是我们经常遇见的最标准的欧式、美式期权等等，
2：奇异期权：奇异期权是比常规期权更复杂的衍生证券，这些产品通常是场外交易或嵌入结构债券，如二元期权、障碍期权、双鲨期权、雪球期权、凤凰期权等等。

期权的平价组合

买入期权、卖出期权和标的资产三者之间存在一种价格的依赖关系，这种依赖关系就称为买入、卖出期权平价。以普通欧式期权为例，考察一下这种平价关系。
设为股票价格，为买入期权价格，为卖出期权价格，为行权价，为到期日股票价格，为到行权日时间，为市场利率。假设某投资者现在以价格 出售一单位买入期权，以价格 购入一单位卖出期权，以 价格购入一单位期权标的股票，以利率 借入一笔借期为 的现金，按照贴现公式有金额为 。以上的权利义务在到期日全部结清，在不考虑交易成本和税收情况下，投资者的现金在到期日的现金流量表如下：

现在	行权日 ST<=E	行权日 ST>E
\出售买入期权，C	0	E-ST
购入卖出期权，-P	E-ST	0
购入股票，-S	ST	ST
借入现金，Ee^(-rt)	-E	-E
合计	0	0

由上表发现无论价格如何变化，组合价值为0。由于上述组合为无风险投资组合，所以期末价值为0。假设市场无套利机会，那么它的期初价值必然为0。即。这就是期权的平价公式。
二：期权定价理论简介期权定价要素

由于此篇文章重点在payoff理论学习，这里只做简单总结。但我们开始还是不得不对著名的伊藤公式做些介绍与推理。
对于布朗运动和伊藤过程，设为定义在上的二元连续可微函数，那么对于连续不可微的而言，由泰勒展开我们有

，对于微分我们变形有

,再由伊藤等距性质有

，带入上式（1）式最终有

#。

期权定价要素

基本要素	行权价	到期日	起始日	标的资产	标的资产波动率
其他要素	期权类型	无风险利率	标的资产分红率	行权观察日

影响期权价格和对冲策略的因素

在介绍这个内容之前，我们再介绍下期权（价格为）受到当前标的价格、执行价格、期权的期限、标的资产价格波动率以及无风险利率这五个因素影响，期权对这五个因素的敏感程度称为期权的Greeks，由上述（1）式的伊藤公式，我们得知其计算公式有如下表示：
1：期权是考察期权价格随标的资产价格变化的关系，从数学角度看，是期权价格对标的资产价格的偏导，有 ,
2：期权表示价格对于到期日的敏感程度，称为期权的时间损耗，有，表示随着时间的推移带来盈利，
3：期权表示方差对期权价格的影响，有，若表示随着方差率的增大，期权价格增大，
4：期权表示期权的价值随利率波动的敏感度，有，若利率增大，那么期权价值变大，
5：期权表示与标的资产价格的变动关系，有，由于是平方项，没有方向性。

期权的定价主要方法（简单罗列）

1：公式法：基于Black-Scholes推导的求解相关期权的解析法，优点在于比较直接，计算量小，但无解析解的无能为力，而且要很高深的数学理论支持，
2：二叉树法：对于路径依赖或者没解析法的期权，此法优点在于简单直观，无需太深的数学知识，但计算量比较大，
3：蒙特卡洛（包括最小二乘蒙特卡洛）：依据风险中性定价原则，尽可能模拟风险中性时间中标的资产的多种运动途径，计算每一条路径下的期权回报均值，再贴现就可以得到期权价值，虽比较“万能”，但要想精确，计算量是相当大的，尤其对于场外奇异期权的定价，很多时候都以此法作为根基！
三：普通香草期权的payoff组合

对于香草期权，我们以欧式期权为例，对于到期持有者收益为
看涨期权：（注：这里的为期权合约价格，一般简化）
看跌期权：
我们用代码模拟上述结构收益与组合收益
import matplotlib.pyplot as plt
import pylab as mpl
import numpy as np
mpl.rcParams[&#39;font.sans-serif&#39;]=[&#39;SimHei&#39;]##中文乱码问题！
plt.rcParams[&#39;axes.unicode_minus&#39;]=False#横坐标负号显示问题！

s = list(range(0,200))##价格列表
x = [i for i in range(1,len(s)+1)]
ref = [0 for i in range(1,len(s))]
loc = max(s) / 2
k1 = 100
k2 = 120
p = 1###参与率
c1 = -0##期权价格
c2 = -0
def makefigure(l,text,k,loc,c,ref):
plt.figure(figsize=(15, 8))
plt.plot(x,l)
plt.plot(ref)
plt.ylabel(&#39;Payoff&#39;,fontsize=18)
plt.xlabel(&#39;S&#39;,fontsize=18)
plt.title(text,fontsize=18)
plt.tick_params(labelsize=15)
plt.annotate(&#39;行权价：%s（c1=%s,c2=-5）&#39;%(k,c), xy=(k,c), xytext=(k,loc),arrowprops=dict(arrowstyle=&#34;fancy&#34;),fontsize=15)
return plt.show()

def call_Vanillaoption(k,s,c=0):
ls = []
for i in s:
      res = max(p * (i - k),0)
      ls.append(res + c)
return ls
resc = call_Vanillaoption(k1,s,c1)
#makefigure(resc,&#39;Call&#39;,k1,loc/2,c1,ref)

def put_Vanillaoption(k,s,c=0):
ls = []
for i in s:
      res = max(p * (k - i),0)
      ls.append(res + c)
print(ls)
return ls
resp = put_Vanillaoption(k2,s,c2)
#makefigure(resp,&#39;Put&#39;,k1,loc/2,c2,ref)我们先出入一个最简单的看跌期权结果

图1

当行权价为100，执行价为120，期权合约价格0，参与率为1的看跌期权收益如上图1，当我们调整参与率为0.8，期权价格为-10时，图像变为如下图2，

图2

注：参与率就是参与这项交易的量的比例，如行权价格100，现资产价格120，正常一张欧式看跌期权赚20，但现在只有0.8张期权参与，即16，再减去合约价格10，最后净赚6！也就是 的斜率！

我们再来看欧式看跌与看涨期权的组合收益结构
###买入一张看涨一张看跌，行权价不同相同时（相同也同样如此）
res = np.array(resc) + np.array(resp)
makefigure(res,&#39;Call+Put&#39;,k1,loc/2,c1,ref)我们选择购买一张看涨期权的行权价为100，同时买一涨看跌期权行权价为120，合约价格为-20，参与率为1（如下不说明，正常都为1），看下payoff组合结果，

图3

解释：比如期权到期标的价格为0，那我们买入的看涨期权将作废，但买期权已经损失20，可是买入的看跌期权盈利120块，再减去两张合约价格为120-20-20=80；又比如到期标的价格为108，那么看涨期权将行权以100块买入108的标的资产，赚8元，看跌期权将以行权价120卖出资产赚12，但两张期权价格为40，则净赚20-40=-20（实际这种情况期权费远没这么高，这里只是出于模拟给的数值）。
我们再来看看同时买入一张期权价格为100和卖出一张期权价格为120，期权合约为10的payoff组合情况，
##买一张看涨，卖一张看涨期权的收益结构图
tr1 = np.array(call_Vanillaoption(k1,s,c1))
tr2 = - np.array(call_Vanillaoption(k2,s,c1))
bsres = tr1 + tr2
makefigure(bsres,&#39;Call1-Call2&#39;,k1,max(bsres)/5,c1,ref)

图4

解释：由于是同时买入卖出，那么其实期权价格一出一入将抵消，那么当标的价格为50时，由于我们买入的期权将作废，但卖出的期权给了别人，行权价是120，所以别人也不会行权，两张期权其实都是虚值存在，没任何意义；若此时的标的价格为105，那么买入的行权价100的期权将赚5，但卖出的期权行权价为120，别人依旧不会行权。
最后我们买入一张行权价为100的看跌期权和卖出行权价为120的看跌期权，其中买的看跌期权价格为5，卖出的看涨期权为10，这种比较复杂的payoff组合如下图，
tr1 = np.array(put_Vanillaoption(k1,s,c2))
tr2 = - np.array(call_Vanillaoption(k2,s,c1))
bsres = tr1 + tr2
makefigure(bsres,&#39;Put1-Call2&#39;,k1,max(bsres)/5,c1,ref)

图5

解释：当标的价为50，由于我们买入的是看跌行权价为100的看跌期权，那么再减去期权价格，尽赚100-50-5=45，但卖出的行权价为120的看涨期权别人将不行权，且还赚10期权费，则最终赚55；当标的为108时，由于看跌期权存在，盈利为-5，但别人也不会行权，最终净赚期权费5；当标的为150时，由于看跌期权存在，我们将盈利-5，但卖出的看涨期权别人会行权，将亏150-120=30，最终再赚10块钱看涨期权费，结算为-5-30+10=-25。
四：障碍奇异期权的payoff

奇异期权种类很多，前面的内容也提到过一些，我们这里主要是对障碍期权做一些介绍。
障碍期权是指在其生效过程中受到一定限制的期权，其目的是把投资者的收益或损失控制在一定范围之内。单障碍期权一般归为两类，即敲出期权和敲入期权。敲出期权是指当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权作废；敲入期权当只有当标的资产价格达到一个特定障碍水平时，该期权才有效。
同理还有多障碍期权，那就对应多个障碍价格，触及多个障碍条件来对应期权行权情况。
我们以欧式单障碍期权说起，来模拟对应的payoff，并根据图来写出payoff公式，这样更方便理解！

对于看涨期权，向下敲入和向上敲出本质是一样的！B<K没意义

图6

图6所示给的障碍价格为130，执行价格为100，合约价格为10的看涨期权，对于向下敲入（向上敲出）看涨期权，我们有payoff结构如下：

对于看涨期权，向上敲入和向下敲出本质是一样的！B和K的大小没有要求！

图7

图7所示给的障碍价格为120，执行价格为100，合约价格为10的看涨期权，对于向上敲入（向下敲出）看涨期权，我们有payoff结构如下：

对于看跌期权，向下敲入和向上敲出本质是一样的，B和K的大小没有要求！

图8

图8所示给的障碍价格为180，执行价格为150，合约价格为10的看跌期权，对于向下敲入（向上敲出）看跌期权，我们有payoff结构如下：

对于看跌期权，向上敲入和向下敲出本质是一样的，B和K的大小没有要求！B>K没意义！

图9

图9所示给的障碍价格为50，执行价格为150，合约价格为10的看跌期权，对于向上敲入（向下敲出）看跌期权，我们有payoff结构如下：

给出模拟代码如下：
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams[&#39;font.sans-serif&#39;]=[&#39;SimHei&#39;]##中文乱码问题！
plt.rcParams[&#39;axes.unicode_minus&#39;]=False#横坐标负号显示问题！

class barrieroption:

def __init__(self, s, k, pc, pp, c):  # 定义内置初始化函数
      self.s = s
      self.k = k
      self.pc = pc
      self.pp = pp
      self.c = c
      self.x = [i for i in range(1, len(s) + 1)]
      self.ref = [0 for i in range(len(s))]

def makefigure(self,l,text,k,b,ly):
      plt.figure(figsize=(15, 8))
      plt.plot(self.x,l)
      plt.plot(self.ref)
      plt.ylabel(&#39;Payoff&#39;, fontsize=18)
      plt.xlabel(&#39;S&#39;, fontsize=18)
      plt.title(text, fontsize=18)
      plt.tick_params(labelsize=15)
      plt.annotate(&#39;行权价（K）：%s（c=%s）&#39; % (k,c), xy=(k,c), xytext=(k,ly), arrowprops=dict(arrowstyle=&#34;fancy&#34;),
                  fontsize=15)
      plt.annotate(&#39;障碍价（B）：%s（c=%s）&#39; % (b,c), xy=(b-1,c), xytext=(b,ly/2.5),
                  arrowprops=dict(arrowstyle=&#39;->&#39;), fontsize=15)
      return plt.show()

###Call
def call_Vanillaoption(self):
      ls = []
      for i in s:
         res = max(pc * (i - k),0)
         ls.append(res + c)
      return ls
#向上敲出call（向下敲入call）##b<k没意义
def upoutcall(self,tls,b):
      for i in range(len(tls)):
         if s > b:
            tls = c
         else:
            pass
      return tls
##向上敲入call（向下敲出call）
def upincall(self,tls,b):
      for i in range(len(tls)):
         if s <= b:
            tls = c
         else:
            pass
      return tls

#######Put
def put_Vanillaoption(self):
      ls = []
      for i in s:
         res = max(pp * (k - i),0)
         ls.append(res + c)
      return ls
##向下敲入put（向上敲出put）
def downinput(self,tls,b):
      for i in range(len(tls)):
         if s >= b:
            tls = c
         else:
            pass
      return tls
# 向下敲出put(向上敲入put)b>k没意义
def downoutput(self,tls,b):
      for i in range(len(tls)):
         if s < b:
            tls = c
         else:
            pass
      return tls

s = list(range(1,200))
k = 150
b1 = 130
b2 = 120
b3 = 180
b4 = 50
pc = 1###参与率
pp = 1###参与率
c = -10
res = barrieroption(s, k, pc, pp, c)
res11 = barrieroption.call_Vanillaoption(res)
# res12 = barrieroption.upoutcall(res,res11,b1)
# res13 = barrieroption.makefigure(res,res12,&#39;Up-out-call&Down-in-call&#39;,k,b1,max(res12)/5)
# res14 = barrieroption.upincall(res,res11,b2)
# res15 = barrieroption.makefigure(res,res14,&#39;Up-in-call&Down-out-call&#39;,k,b2,max(res14)/5)
####################################
res21 = barrieroption.put_Vanillaoption(res)
# res22 = barrieroption.downinput(res,res21,b3)
# res23 = barrieroption.makefigure(res,res22,&#39;Down-in-put&Up-out-put&#39;,k,b3,max(res22)/5)
res24 = barrieroption.downoutput(res,res21,b4)
res25 = barrieroption.makefigure(res,res24,&#39;Down-out-put&Up-in-put&#39;,k,b4,max(res24)/5)五：总结

随着现代金融市场的不断完善，投资种类变得越发复杂，衍生品投资、另类投资、权益投资等等层出不穷。衍生品投资中的期权投资也是“水涨船高”，对应的一系列投资理论和实际操作更是一日千里。所以如今衍生品市场，学习期权理论是必然的，但就问题本身而解决问题的方法，是更重要的。