什么是microprice？

好问题，结合最近读到的一篇Microprice Research，来梳理一下，抛砖引玉。注：实际生产中的microprice非常复杂，都会掺proprietary alpha，就是每个shop的ip了。
Prerequisite

在Orderbook的语境下，什么才是fair price呢？
Mid-price?

Pa是best ask, Pb是best bid。看起来通俗易懂，但是有以下3点缺点:

Mid 高度自相关(auto-correlated)，这个现象也叫bid-ask-bounce
Mid相比于quote来说，变化的频率低，因此是一个低频信号
Mid没有考虑volume

Weighted Mid?

好，我们来加入Volume

这里的I也叫imbalance，这里的Qb是total volume at best bid, Qa是total volume at best ask, 分别也叫bid size和ask size。至此，我们已经有了现代Microprice研究的起点。Weighted Mid并不是完美的，它也有2点缺点:

因为每次imbalance的变化都会导致weighted mid的变化，因此它作为high frequency volatility estimation的时候非常noisy
因为weighted mid不是一个martingale，所以有一些反直觉的现象。比如Pb = 10, Qb = 9, Pa = 10.02, Qa = 27, 此时weighted mid是 9/(9+27) * 10.02 + (1-9/(9+27)) 10 = 10.005，此时如果来了一个sell order 1@10.01，此时新的weighted mid 是 1/(1+9) 10.01 + (1- 1/(1+9)) * 10 = 10.009, 新来了卖单，应该让fair price降低，此时却上升了。

Microprice

定义

掌声有请本文的主角，microprice，本文的microprice特指Stoikov, 2018提出的microprice，主要用的L1 orderbook，实际生活里有更多depth的。

M是mid， I是老朋友imbalance，S是bid-ask spread。如何来estimate g呢？Stoikov认为，microprice是the limit of a sequence of expected mid-prices. 数学语言是:

为什么要take the limit of expected mid as time goes to infinity呢？作者认为1) microprice是horizon independent的，这样trade at different frequencies的asset可以互相比较 2) mid里的microstructure noise被filter out了。
接着作者提出两个假设：

Orderbook中的信息由3-d Markov process Ft = sigma_field(M_t, I_t, St)产生的filtration决定。其中M_t是mid，S_t是bid-ask spread，I_t是top of book imbalance。这里作者指出可以加入Level2的信息。
Expected mid price increments 独立于mid price level，即：

这样每个tick的price dynamics都相同。
由这两个假设，作者得出：

Finite state space example

为了能计算microprice， (Mt, I_t, St) 必须有explicit的dynamics。值得指出，如果I_t独立于M_t, microprice = midprice，而如果I_t是Brownian motion and behaves a particular way at the boundary, microprice = weighted mid.
让我们用discrete time step，那么It就从1<=i<=n中取离散值，S_t从1<=s<=m中取离散值。Imbalance的离散化就是:

Spread St可以用number of ticks表示。Midprice change Mt+1 - M_t从 K = [-0.01, -0.005, 0.005, 0.01]。这里用的half tick因为如果bid或者ask move by 1 cent, mid moves by 0.5 cent. 用x = (i,s) 来代表state space of Xt = (I_t, S_t).

作者指出，以上计算microprice的方法是不guarantee convergence的。如果Q,R,T不被estimated carefully, 可能会incorporate drift in data，导致Pi blow up。因此引入以下条件来确保convergence。

实证研究

数据
作者选用了Bank of America(BAC)和Chevron (CVX)两只股票的bid ask quote，注意到BAC和CVX有非常不同的微观结构，体现在不同的tick size分布上，BAC的mid也change much less frequency than CVX。这个区别，来源于BAC的price比CVX更低，tick size of 1 cent占price的百分比更高，因次BAC也叫large tick stock。

实验set up

可以看到microprice adjustment在midprice和weighted mid之间:

注意到当spread widen, slope of microprice as a function of imbalance lessen,也就是说imbalance are less informative. 另外，对于BAC这种large tick stock来说，microprice adjustment更大。
因为microprice是horizon-independent的，因此用来评估预测future price的有效性，需要选一个timescale。如果time scale太小，那么empirical price change will suffer from microstructure noise, i.e. autocorrelation effects. 如果time scale太大，那么empirical price change就会有很多noise，95% 置信区间也会很大。
两个实验。

结论:

代码实现

(文末有原作者Github repo)
生成Orderbook statistics:

Symmetrize data (to ensure convergence)

Estimate:

References:

The Micro-Price: A High Frequency Estimator of Future Prices
GitHub - sstoikov/microprice