赫尔《期权、期货及其他衍生产品》笔记第23章估计波动率 ...

赫尔《期权、期货及其他衍生产品》笔记

第23章估计波动率和相关系数

23.1 估计波动率

定义为第n-1天所估计的市场变量在第n天的波动率，第n天波动率的平方为方差率（variance rate）。从历史数据来估计的标准处理方法：假定市场变量在i天末的取值为，变量定义为在第i天（第i-1天末至第i天末）连续复利收益率

利用在最近m天的观察数据所计算出的日方差率的无偏估计为

其中为这些平均值

为了监视日方差率的变化，公式通常会有一些变动：
（1）被定义为市场变量值在第i-1天末到第i天末的百分比变化

（2）被假设为零
（3）m-1被m代替
方差公式简化成

加权权重的格式

中的所有项都有相同的权重。我们的目标是估计当前波动率的水平，因此将较大的权重用在最近的数据更有意义。一种这样的模型为

变量为第i天以前观察值所对应的权重，这些都取正值。当选择这些变量时如果对选择，也就是对于较旧的数据我们将设定较小的权重。权重之和必须为1，即

假定存在某一长期平均方差，并且应当基于该方差一定权重，这将导致以下形式的模型

其中为长期方差率，为所对应的权重。因为权重之和仍为1，我们有

这一模型是ARCH(m)模型。方差的估计值是基于长期平均方差以及m个观察值，观察数据越陈旧所对应的权重就越小。令，

23.2 指数加权移动平均模型

指数加权移动平均模型（EWMA），其中权重随着时间以指数速度递减。具体地将，在这里，其中是介于0于1之间的常数。
在以上假设下可以发现更新波动率公式形式

变量在第n天的波动率估计值（在第n-1天估计）由第n-1天波动率估计值（在第n-2天估计）和变量在最近一天内变化的百分比来决定。
为了说明权重以指数速度下降，我们将带入公式之中

带入项，我们进一步得出

依次类推，我们得出

当m很大时，项数量小到可以忽略，所以当时，对应于的权重以的速度随时间向前推移而递减，每一项的权重是前一项权重与的乘积。
EWMA方法的诱人之处是这一方法仅需要存储相对较少的数据。在任何时刻，我们只需要记忆对当前波动的估计值以及市场变量的最新观察值。当我们得到市场变量最新观察值后，我们可以计算当前价值变化的百分比，然后就可以更新对方差的估计。旧的方差估计值与就的市场变量值可以被丢弃。
EWMA方法的目的是对波动率变化进行跟踪监测。假定市场变量在n-1天有一个较大的变化，即很大，这时对当前变化率的估计将会增加。数值决定了日波动率估计对于最新市场变量百分比变化的反应。在计算时，一个较低的将会给一个较大的权重，这时每天所估计的日波动率本身的变化也会很大。一个较大的（接近于1.0）将会使日波动率的估计对市场变量每天百分比变化所提供的信息有较慢的反应。
23.3 GARCH(1,1)模型

在GARCH(1,1)中，是由长期平均方差，和计算得出的。GARCH(1,1)表达式为

其中为对应于的权重，为对应于的权重，为对应于的权重。因为权重之和为1，我们有

EWMA模型是GARCH(1,1)模型对应于及的特例。
GARCH(1,1)模型的(1,1)表示是由最新的观察值和最新的方差率估计值而得出的。在更广义的GARCH(p,q)模型中，是由最新的p个观察值和最新的q个方差率估计而得出的。GARCH(1,1)是最流行的GARCH模型。
令我们可以将GARCH(1,1)模型写成

在估计模型参数时，通常会采用这种形式。一旦估计出和后，我们可由来计算，而长期方差。为了保证GARCH(1,1)模型的稳定，我们需要，否则对应于长期方差的权重会为负值。
23.3.1 权重

将的表达式带入，我们可的

这种形式继续下去，我们可以看到对应于的权重为。权重以指数速度下降。参数可解释为衰减率（decay rate），这与EWMA中的系数近似，在决定最新方差时，此系数决定了u的观察值的相对重要性。GARCH(1,1)与EWMA模型类似，其不同之处是除了对过去的权重按指数下降外，GARCH(1,1)对于长期平均波动率赋予了一定的权重。
23.3.2 均值回归

随着时间的变化，GARCH(1,1)模型中的方差率会被拉回到其长期平均水平。对应于的权重为。GARCH(1,1)模型与一下关于V的随机过程等价

其中时间是以天数为计量，，以及。以上模型具有均值回归的特性：方差以a的速度被拉回到。当时，方差的漂移项为负；当$V
23.4 模型选择

在实际中，方差值确实常常会具有均值回归的性质。GARCH(1,1)模型具有均值回归的特性，而EWM却没有这种特性，从理论上将，GARCH(1,1)比EWMA更吸引人。
当参数为零时，GARCH(1,1)退化为EWMA。在某些场合下，最佳匹配参数为负，这是对应的GARCH(1,1)模型不稳定。在这种情况下采用EWMA模型更为合理。
23.5 极大似然估计法

极大似然估计（maximum likelihood method），在参数估计过程中这一方法设计选择使数据发生的概率（likelihood）达到最大的参数。
23.5.1 估计常数方差

我们考虑如何由服从正态分布并且期望值为0的变量X的m个观察值来估计这一变量的方差。我们假定观察值为。将方差记为v。将观察值出现在的概率定义成X的概率密度函数在的取值，即

m个观察值正好按出现的概率为

应用最大似然方法，v的最好估计使得以上表达式达到最大值。
以上表达式的最大化与其对应的对数最大化等价，取对数并且忽略常数项后可以得出我们想最大化的目标函数为

或

将以上表达式对v求导，并令导数为0，我们可以得到v的极大似然估计为

23.5.2 估计GARCH(1,1)模型中的参数

定义为第i天方差的估计值，在给定方差的条件下，的概率分布为正态。我们得出最佳参数应使得一下表达式达到最大

取对数后，我们可看到这与下面表达式求最大是等价的

我们可以采用迭代法来求取使得表达式达到最大的解。
方差目标（variance targeting）法，这种方法将长期平均方差设定为由数据计算出的样本方差（或其他合理的估计），因为等于，因此在模型中只需要估计两个参数。
当使用EWMA时，因为和，因此我们只需要估计一个参数。
23.5.2 模型表现如何

GARCH模型所做的假设是波动率随时间变化。在某些时间里波动率会较高，而在其他时间里波动率较低。换一种形式讲，当较高时，会有增大的趋势；当较低时，会有降低的趋势，我们可以通过计算自相关系数（autocorrelation）来检验这些结论正确性。
我们假定确实具有自相关性，如果GARCH模型是有效的，自相关性会被清除。我们可以通过计算变量的自相关系数来验证这一结论。如果它们的自相关系数很小，那么我们可以说模型确实解释了中的自相关性。
如果一个数列中有m个观察值，Ljung-Box统计量定义为

其中对应于时滞为k的自相关系数，K为所考虑时滞的数量，以及

对于，当Ljung-Box统计量大于25时，我们可以有95%的把握拒绝自相关系数为0这一假设。
23.6 采用GARCH(1,1)模型来预测波动率

采用GARCH(1,1)模型，在n-1天结束是所有估计的第n天方差率为

因此

在将来n+t天，我们有

的期望值为，因此

其中E表示期望值。重复应用这一方程，我们得出

或

以上方程采用了在n-1天结束时所有可以利用的数据来预测第n+t天的波动率。在EWMA模型中，，上式说明，将来方差率的期望值与目前方差率相等。当时，方程中的最后一项随时间增加而逐渐减小。像前面讨论那样，方差率具备均值回归的性质，均值回归水平为，回归速度为。我们对将来方差率的预测会随着展望时间的延长而逐渐趋向于。这一分析强调了为保证GARCH(1,1)模型的稳定性，我们必须有这一条件。当时，对应于长期平均方差的权重为负，这是方差不军备均值回归性质，事实上此时的模型是均值套利（mean reverting）的。

23.6.1 波动率期限结构

假定今天为第n天，定义

与

上式变为

这里的为第t天瞬时方差率（instantaneous variance rate）的估计值，介于今天与时间T之间的方差率平均值为

T越大，这个数值越接近。定义为利用GARCH(1,1)模型对一个期限为T天的期权定价时所采用的年波动率，假定每年有252天，是每天方差平均值的252倍，因此

波动率期限结构（volatility term structure），这一期限结构就是期权隐含波动率与期限之间的关系。上式可以用来估计基于GARCH(1,1)模型的波动率期限结构。由此所估计的额期限结构同实际的期限结构往往是有区别的，但这种方法确实常常被用来预测实际波动率期限结构的变化形式与波动率变化的关系。
当目前波动率高于长期波动率时，GARCH(1,1)模型预测的波动率结构为下降形式（downward-sloping）；而当目前波动率低于长期波动率时，GARCH(1,1)预测的波动率期限为上升形式（upward-sloping）。
23.6.2 波动率变化的影响

上式可以写为

当的变化量为时，的变化量大约为

在计算Vega时，与其考虑将所有期限的隐含波动率增加1%，不如将波动率的变化量与期限联系起来。
23.7 相关系数

我们将说明如何采用一种类似于对波动率进行更新的方法来估计相关系数。
定义和分别为变量X与Y在第i-1天与第i天之间的百分比变化

和分别为变量X和Y在第天结束时的值。我们同时定义以下变量：

：在第n天对变量X日波动率的估计值；

：在第n天对变量Y日波动率的估计值；

：在第n天对变量X日变化量与变量Y日变化量之间协方差的估计值。
在第n天，变量X与变量Y之间相关系数的估计值为

采用同样的权重，并假定与的均值都为0，我们可以得出，由最近m个观察值计算出的变量X和Y之间的方差分别为

类似地，变量X和Y之间协方差的估计式为

另外一种更新协方差的方法类似于EWMA模型，这时对协方差估计的更新公式为

与EWMA模型中的分析相似，我们可以证明对应于数据的权重随着时间向后推移而逐渐降低。的值越小，给予近期数据的权重也越大。
GARCH模型也可用于对协方差进行更新，以及对未来协方差的预测。例如，对协方差更新的GARCH(1,1)模型为

其中，长期协方差平均值为。我们可以推出方程，来预测未来的协方差以及计算期限内的平均方差。
23.7.1 协方差的一致性条件

一个协方差矩阵满足内部一致性条件是：对于所有的向量w

其中是w的转置。满足以上条件的矩阵称为半正定（positive-semidefinite）矩阵。
我们假定，表达式为变量的方差（其中代表变量i的值），因此自然不能为负。
为了保证矩阵的半正定性，我们在计算方差及协方差时必须保持一致性。例如，如果我们采用最新的m个历史数据并以均等的权重来计算方差，那我们在计算协方差时也应当采用同样的数据与权重。

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