Black-Scholes模型-随机路径相关波动率

1. 随机积分和随机微分方程

随机积分和随机微分方程由日本数学家It(1942)创立，这为构造扩散过程的轨道提供了直接的方法，也由此开拓了用概率方法求解确定性偏微分方程(尤其是二阶情形偏微分方程)的理论。It首先考虑Brown运动这个最为经典的连续随机过程，通过利用Brown运动是鞅这个性质，在被积函数满足适应的情况下给出了关于Brown运动的随机积分，由此克服了Brown运动轨道的无界变差性带来的困难。随后在Kunita, Watanabe, Meyer, Dellacherie, Jacod等著名数学家的研究工作中，It随机积分被推广到关于平方可积鞅乃至一般半鞅积分的情形，由此将随机过程以及随机分析的理论及在各领域中的应用提高到了前所未有的高度。
一般来说，经典的由Brown运动驱动的随机微分方程具有下面的形式：

其中, 为维随机变量，为维标准布朗运动，可测函数称为方程的漂移系数，可测函数称为方程的扩散系数，为初始值。
在较长的一段时间内，人们混淆了随机微分方程两个不同解的概念。在经典的It理论中讨论的是给定架构的解，即给定概率空间及其上的Brown运动，并且已知两个Borel可测函数，构造一个连续适应过程，使得对，上式成立。解的唯一性是指轨道唯一性，即如果和同时是方程的解，则它们无区别。从20世纪60年代起，一些学者提出的弱解是指仅仅已知函数，要构造概率空间以及Brown运动和适应过程，使得，上式成立。解的唯一性是指分布唯一性，即若同时是方程的解(可能在不同概率空间)，则它们的有限维分布相同。
这类随机微分方程在适定性问题、鞅问题、无穷小生成元及相应的随机最优控制问题上都有系统的研究并取得非常完整的理论结果。
2. 随机波动率与局部波动率

经典的随机微分方程在众多领域中都有实际的应用价值，例如工程学中的地震力、力学中的弹塑性问题、控制领域中的滤波问题等，模型都可归结为随机微分方程。在金融领域中，Black and Scholes(1973)利用随机过程和随机微分方程构建了期权定价理论，相应的证券价格模型具有下面的形式：

其中，表示局部无风险利率，是波动率。该理论指出期权的价值独立于标的股票的预期回报，但取决于其预期的波动率。
如果Black–Scholes期权定价模型是完美的，那么对所有期权市场价格，隐含波动率都是相同的，但大量事实表明并非如此。后续的研究表明波动率本身就是随时间随机变动的，因此Black–Scholes模型存在明显的局限性，在实际应用中需要考虑一类可以更紧密地解释数据的模型。目前主要是通过运用随机的波动率模型加以实现，这一方法可以分为随机波动率(SV)和局部波动率(LV)两大类。
2.1 随机波动率(SV)模型

在随机波动率(SV)模型中，波动率本身也用一个随机过程来描述，即

这些方程表示标的资产S的瞬时回报由一些确定性项加上一些随机噪声(尺度为)给出，同时波动率本身遵循类似的(但更一般的)随机动力学。参数化的波动率模型使得参数的校准变得相对容易，但增加的随机过程引进了新的随机项，市场的非完备性假设使得我们不能仅仅用标的资产和无风险资产完全对冲期权。
Heston(1993)提出的Heston模型是随机波动率的经典模型，该模型考虑了波动率与标的资产价格回报之间的相关性，有效反映了资产价格变动的偏度以及价格回报尖峰厚尾的特点，因此多数随机波动率模型都以Heston模型为基准。Heston把建模为：

其中，表示资产价格的长期平均波动水平；表示该过程的平均回归率，一个较高的值意味着波动率将从给定的扰动中更快地恢复到其长期平均值；表示波动性过程本身变化的规模，其与参数基本上控制了隐含波动性微笑的深度。
2.2 局部波动率(LV)模型

局部波动率模型(LV)作为一个概念首先由Dupire(1994)提出。这些模型没有增加任何进一步的风险(随机性)来源，相反试图修改基本的Black-Scholes模型以适应观察到的期权价格。Dupire指出若给定一个期权价格，则可以找到标的资产价格和时间的一个确定性函数，因此标的资产的价格可以写成如下扩散方程：

其中，是的确定函数。
由于波动率的随机性由远期价格的随机性引入，两者有相同的随机源，这样既能让波动率具有随机性，又保留了模型的市场完备性。因此可以用标的资产以及无风险资产来精确复制一些期权，并且计算方面要比随机波动率模型简单，通过风险中性定价，这些期权将有唯一的价格。Gatheral(2006)建立了局部波动率函数与隐含波动率之间的关系。此外，Dupire(1994)建立了它与随机波动率模型的联系，这为随机波动率模型的计算提供了另外一种路径。然而后续的大量实证分析表明，波动率本身是随机的而不是关于资产价格的确定性函数。
2.3 随机局部波动率(SLV)模型

随机局部波动率(SLV)模型将局部波动率模型和随机波动率模型相结合，旨在包含两者优势的同时消除各自的不足。该模型最早由Jex et.al(1999)和Lipton et.al(2002)引入，他们将标的资产波动率表示为一个局部波动率函数和一个随机过程的乘积，研究表明该模型不但能够获得与市场相容的隐含波动率与标的资产之间的变动关系，也能够完全校准市场上交易的期权。
由于数理统计、物理和金融数学上的应用需要，人们开始关注由半鞅及其二次变差过程所产生的泛函，例如：

其中表示时刻该过程的值，而表示其时间内的轨道。\par 基于此，人们开始将随机分析的研究拓展到路径依赖的随机泛函分析，其中 Dupire(2019)提出了将It 积分推广到随机泛函框架下的想法，并且给出了路径依赖的随机微分方程的模型，以及这类随机泛函在波动率模型以及期权定价中的应用。
3 路径相关波动率(PDV)模型

路径相关波动率(PDV)模型取决于迄今为止资产价格遵循的路径，例如:

该模型假设波动率取决于现货价值和有限数量的路径相关变量(如运行或移动平均线、运行最大值或最小值等)。路径相关波动率(PDV)模型相比随机波动率(SV)模型和局部波动率(LV)模型并没有得到很好的重视。最著名的PDV模型是由Engle(1982)提出的ARCH模型及其扩展模型GARCH、NGARCH等，只不过这些都是离散时间模型，在衍生品定价理论的研究中很少使用。目前最重要的两个连续时间PDV模型分别由Hobson and Rogers(1998)和Bergomi(2005)提出。Bergomi&#39;SV模型的离散版本是混合的SV-PDV模型，而Hobson-Rogers模型是纯PDV模型，该模型的波动率是的确定性函数，其中。
随机路径相关波动率(SPDV)模型作为PDV模型的推广，具有更丰富的动态过程，包括SLV模型和PDV模型作为特例。Cozma et.al(2018)考虑了一类随机路径相关的波动率模型，具体形式如下：

其中，是二维标准Brown运动，对于给定的，令

以及

当运行的最大值消失，即当以及，该SPDV模型退化到SLV模型，如果SV的成分也消失，即取，该SPDV模型进一步退化到LV模型，或者如果取和为常数，该SLV模型退化到SV模型。如果只是SV成分消失，即取，该SPDV模型退化为PDV模型。针对这类SPDV模型，Cozma 等人研究了Eular逼近及强收敛的问题。
4.随机变分不等式

变分不等式是在普通的微分方程上增加了一个凸函数的下微分算子，即：

其中是连续函数，是上的凸函数，对任意，其下微分为：

确定性的变分不等式早在世纪年代就得到了系统的研究，其中，Waewski(1962)和Filippov(1967)等的工作起了重要作用，他们通过将确定性控制问题转化为寻求变分不等式的解，将变分不等式的成果应用到控制论中。另外，用变分算子来处理与物理及力学有关的偏微分方程问题也取得了很大的成功。虽然确定性的变分不等式以及更一般的多值微分方程在上世纪七十年代已经形成了系统的理论，但直到九十年代人们才找到随机变分不等式解的正确定义。
给定连续函数，可找到唯一的映射，使得x取值于，是局部有限变差函数且其只在到达的边界时才起作用，特别地，映射是Lipschitz连续的。利用这个性质可解决加入随机噪声后得到的随机变分不等式的适定性问题。
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