联合密度函数求期望_【数学之路】应用随机过程(条件概率与条件期望上)

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<p></p>
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  <img alt="0ece5b2b67141bb4b8c05bcf25ca1c2c.png" src="https://beijingoptbbs.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/cs/5606289-04478a2ef22f3a758898443afcb786a0.png">
</div>
<h2>离散情形</h2>
<p>如果 </p>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 和
</div>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 都是离散型随机变量，那么对于所有使
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<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 的
</div>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> ，在
</div>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 的条件下，定义
</div>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 的
</div>
<b>条件概率质量函数(condition probability mass function)</b>为：
<p></p>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src="">
</div>
<p>类似地，在 </p>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 的条件下，定义
</div>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 的
</div>
<b>条件概率分布函数(condition probability distribution function)</b>为：
<p></p>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src="">
</div>
<p>在 </p>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 的条件下，给出
</div>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 的
</div>
<b>条件期望(condition expectation)</b>：
<p></p>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src="">
</div>
<p>显然，当 </p>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 和
</div>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 独立时，
</div>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src="">
</div>
<h2>连续情形</h2>
<p>如果 </p>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 和
</div>
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  <img alt="" src=""> 有联合密度函数
</div>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> ，那么对于所有
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  <img alt="" src=""> 的
</div>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 值，给定
</div>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 时的
</div>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 的
</div>
<b>条件概率密度函数(condition probability density function)</b>为：
<p></p>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src="">
</div>
<p>为了充分说明上述定义的动机，做适当的操作：</p>
<p></p>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src="">
</div>
<p>也就是说，对于小值 </p>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> ，
</div>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 近似地给出了
</div>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 在
</div>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 下
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<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 在
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<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 下的条件概率。
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<h2>通过取条件计算期望和概率</h2>
<p>对于所有 </p>
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  <img alt="" src=""> 的
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<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> ，给定
</div>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 时
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<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 的条件期望：
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<p></p>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src="">
</div>
<p>我们以 </p>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 来记了这样一个关于随机变量
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  <img alt="" src=""> 的函数：它在
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<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 时取
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<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 。需要注意的是
</div>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 本身也是一个随机变量，接下来给出一个很重要的公式：
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<p></p>
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  <img alt="" src="">
</div>
<p><b>证</b> 先考虑离散的情形，命题即</p>
<p></p>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src="">
</div>
<p></p>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src="">
</div>
<p>对于连续的情况，命题即</p>
<p></p>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src="">
</div>
<p>证明思路和离散情形大同小异，就不再写了，证毕</p>
<p>这个公式在直观上是很容易理解的：它表明 </p>
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  <img alt="" src=""> 的期望是在所有条件
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<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src=""> 下的加权平均值。
</div>
<p>接下来给出<b>条件方差公式(condition variance formula)</b>：</p>
<p></p>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src="">
</div>
<p><b>证</b> 直接证明比较困难，可以尝试对右边两项进行化简：</p>
<p></p>
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  <img alt="" src="">
</div>
<p></p>
<div style="text-align:center;">
  <img alt="" src="">
</div>
<p>整理得原命题，证毕</p>
<p>在之前的内容里&

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