BSM模型的前辈
1、Bachelier 公式
关于期权定价公式，最早研究的应该是Louis Bachelier，这位前辈是法国人，他的博士论文《投机理论(The Theory of Speculation)》(1900年发表)被认为是第一篇对随机过程进行建模，并且对期权进行定价的论文，也是第一篇在金融研究领域用到高等数学的论文。他的论文导师就是大名鼎鼎的Henri Poincaré (庞加莱)。
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这个公式就他说处的时代而言已经是非常超前的了,我们可以看到在公式里面已经出现了期权定价公式里面最重要的两个因素, 股价(标的资产价格S) 以及波动率σ。更加关键的是,他在推导过程当中第一使用了一个叫做fair game的思想,就是游戏参与人先给钱,获得一种权利,这个权利给游戏参与人的好处在概率上说与他给的钱是一样的.当然这个后来演变成了大名鼎鼎的non-arbitrage condition。另外,我们看到了正态分布累积函数的身影。
总体而言，这个公式有三个伟大之处：
1) 明确了期权模型中最重要的因素；
2) 使用了fair game 的思想；
3) 首次用随机的概念描绘市场动态。
这个公式的缺陷也很明显：
1) 它假定股价而不是收益率服从正态分布，因为在Bachelier所处的时代,他用的数据大多来自巴黎某个交易所,但是里面交易并不是很活跃,所以价格才产生了某些正态分布的表象。
2) 它没有考虑利率。
当然我们可以很方便的推导出这个模型考虑利率的版本：
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2、Sprenkle公式，Boness 公式和 Samuelson 公式
Bachelier公式推出之后六十多年都没有什么突破性的进展。直到Sprenkle(1961),Boness(1964) 提出的期权定价模型：
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这个公式已经非常非常接近最后的Black-Scholes-Merton formula了。
首先出现了折现,这体现了衍生产品在时间上的价值。
其次，在效用函数的框架下解决期权定价的问题。
第三，与第一代模型不同的是，这些经济学家注意到了一个明显的事实，股价不服从正态分布，而是收益率服从正态分布，而股价是服从对数正态分布。
这个模型最主要的意义和不足其实是相辅相成的, 因为他们是经济学家,因此在这个模型最主要的意义和不足其实是相辅相成的, 因为他们是经济学家,因此在某种程度上说,他们想解决的问题便是两个人的效用怎么样与不确定性一起进入到价格公式里面。公式中的A代表的是风险厌恶程度的一个指标, ρ(rho) 是股票的平均增长率。但是一旦引入了风险厌恶度和股票增长率的概念，这个定价在实际中就很难做了，金融学中的一价原理都无法满足了。
当代伟大的经济学家Samuelson(1965) 提出的期权定价公式是：
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大体上跟前面两位的模型差不多,但是他引入了一个思想就是期权作为衍生品本身应该隐含着跟标的资产不同的风险,因此这里有一个α指的就是期权的增长率。
Samuelson在期权领域做的另一件有意义的事情就是他发现并且重新刊登了Bachelier的文章而且将期权公式的鼻祖的名号归结于他。
Black Scholes Merton模型的假设和介绍
由于权利金的与标的资产价格之间存在非线性关系，而且还受时间因素影响，所以权利金的确定问题变得十分的复杂。直到1973年，该定价难题终于得到解答。美国的费希尔布莱克(Fischer Black)和马龙舒尔斯(MyronMerton)利用随机微分方程等数学工具，建立起Black –Schole模型，也就是我们如今常用的欧式股票期权的定价公式。该公式也成为了期权定价的里程碑。
模型的假设
（1）标的资产（Underlying asset）价格变化遵循几何Brown运动
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这里μ —期望回报率（expected return rate），σ—波动率（volatility），—标准布朗运动（standard Brownian motion），并且μ和σ都是常数；
（2）无风险利率是常数；
（3）标的资产不支付股息；
（4）不支付交易费（transaction cost）和税收（tax）；
（5）市场是完全的，无套利的(也就是说市场上的套利空间都会被抹去的，最终的定价反应的是没有套利空间的情形)。
当然这些假设在之后的各种修正和应用中都是会被一条一条拿出来雕琢的。
BSM公式的一种推导
BSM公式的推导对于理解这个公式的内涵，乃至其它衍生品定价都是有帮助的。
V(S,t)表示欧式看涨期权的价值。构造投资组合Π=V-ΔS，Δ是标的资产的份额，选取适当的Δ使得在时段（t,t+dt）内，Π是无风险的。
设在时刻t形成投资组合Π，并在时刻（t,t+dt)内，不改变份额 Δ，那么由于Π是无风险的，因此在时刻t+td，投资组合的回报是
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即：
（1.1）
由 Ito 引理可得：
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。
将它带人（1.1）则可得：
（1.2）
由于等式（1.2）右端是无风险的，因此等式左端随机项的系数必为0，则有，把它带入（1.2）并消去 得到：
（1.3）
这就是刻画期权价格变化过程的 Black-Sholes方程。
因此为了确定在合约有效期[0,T]内期权的价值，就是要在区域Σ:{0≤S＜∞,0≤t＜T}上求解 PDE问题：
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通过求解该 PDE 问题则可得出 BS公式。
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由看涨期权和看跌期权的平价公式可得，与该看涨期权有相同交割价和相同到期日的看跌期权的定价公式为：
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尽管上述的公式看似十分的复杂，但是其基本原理并不难懂。 其概念是：假设在风险中性的世界里，我们可以构建一个无风险的组合，该组合由两部分组成：期权和标的资产。在没有套利的情况下，该组合仅能获得无风险的收益。这也是B-S公式背后的基本原理。
为什么我们能构建如此一个无风险的组合，原因在于标的资产价格和期权价格都同时间受到同一因素的影响：标的价格的变动。在一个很短暂的时间内，期权的价格与标的价格走势完全一致的。所以当我们以恰当份数的标的与期权构建成一个组合，资产头寸的盈利会抵消期权头寸的盈利，因此在短时间末我们总能得到该组合确定的价值。确定价值组合理所当然只能获得无风险的收益。
以认购期权的B-S公式为例，我们可看到其价值可以分为两个部分：第一部分是SN（d），可以理解为股票部分的价值，而第二部分则是投资者需要借入的额外资金。投资者通过卖出期权，可以获得权利金，结合借回来的资金，投资者可以买入N(d)份标的资产，并试图得出与期权价值相同的资产值。所以，我们可以构建一个无风险组合：一个认购期权的空头以及N(d)份标的的多头。在非常短的时间内，该组合的收益必须是无风险收益。这便是B-S定价公式的关键所在。
从这个模型的推导可以看出，标的资产和期权在无摩擦的环境下连续调仓对冲可以得到无风险组合，因此在未来的波动率已知并且无摩擦的环境下，如果可以连续调仓的话，那么期权价格的高估或者低估都是可以通过这种方法进行套利的。当然现实中不会无摩擦，也不是连续调仓，未来波动率也不可知，但是如果期权价格与正常定价偏离达到一定程度，即考虑了这些不利因素以后，依然偏离较大，那么套利空间就出现了。
BSM模型的局限性
BSM模型的假定中很重要的一条是标的资产价格服从对数正态分布，但是实际情况如何呢？如果正在运行的上交所行权价为1.65的vix.shtml" target="_blank" class="relatedlink">50ETF期权仿真交易(2014年8月5日)进行测算，通过期权价格反解其波动率，即隐含波动率，我们会发现隐含波动率明显不是一个常数：
另外我们也观察了50ETF分布的偏度和峰度，发现这两个值在很多情况下并不为0，因此也与正态假设不符。
在现实情况不满足BSM模型假定的情况下，有两种改进方法，一种是在为模型输入参数的时候考虑到这些违反假设的情况，给一个更大或者更小的输入值。另一种就是建立修正模型。
对隐含波动率的修正模型基本分为两种研究思路：一种是直接对隐含波动率建立模型；另一种思路是基于标的资产服从几何Brown运动的假设进行改进，对标的资产回报的过程建立模型。
Practitioner Black-Scholes模型（简称PBS模型）是假设隐含波动率为行权价和剩余期限的确定函数，通过确定目标误差函数来拟合模型参数，从而得到隐含波动率模型。
Gram-Charlier Models模型是对标的资产的回报过程进行Gram-Charlier展开到第四阶，得到了期权定价公式的带峰度（Kurtosis）和偏度（Skewness）调整后的BS公式。（广发金工）
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