理解无套利定价方法——期权平价公式的推导

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来源：上海证券报

无套利定价是衍生品定价中的重要原理，在远期与期货合约的定价、现货-期货平价公式、期权合约的定价、期权平价公式等重要问题的推导与证明中具有非常关键的作用。今天，笔者就与读者聊一聊无套利定价方法，并以期权平价公式的推导为例来帮助读者理解。

一、无套利定价方法的概念

　　要理解无套利定价，首先我们要说明什么是套利。套利是指利用市场上的价格差异，获取无风险收益的行为。具体到衍生品而言，衍生品的价格与标的资产的价格是有一定关系的，衍生品的价格依赖于标的资产价格的变动。如果衍生品的市场价格偏离了其合理价格且偏离程度能够覆盖相应的交易成本，那么就会有投资者买入价格被低估的资产、卖出价格被高估的资产来进行套利。这种买卖力量会将定价错误的资产拉回到合理的价位，因而就不再存在套利空间了。无套利指的就是这种没有套利机会的价格均衡状态。

　　无套利定价的关键在于复制资产，即用一组资产复制另一组资产，使得两组资产在期初和期末现金流相同。一般而言，被复制的资产是定价比较复杂的资产，如期权等衍生品；而用来复制的资产是定价简单、现金流特征明显的资产，如股票、零息债券等。如果这两组资产在期末时的价格是相同的，那么根据无套利定价，它们在期初时的价格也应该是相同的，否则就能够通过“买低卖高”来进行套利。

　　在期权平价公式的证明中，我们就将运用到无套利定价和复制资产的方法。首先构建两个资产组合，一个资产组合中包含认购期权与现金流确定的零息债券，另一个资产组合中包含认沽期权和标的股票。由于这两个组合在期末的价值相同，它们在期初的价格也应相等，从而就能够推出认购期权和认沽期权的平价关系。当然，欧式期权和美式期权的证明不尽相同，我们接下来一一为大家解析。

二、运用无套利定价证明期权平价公式

　　（一）无股息的欧式期权

　　在标的资产没有股息的情况下，为了推导认购期权和认沽期权价格之间的关系，我们考虑如下两个资产组合：
　　组合A：一份欧式认购期权加上在T时刻收益为K的零息债券
　　组合B：一份欧式认沽期权加上一单位标的资产S

　　认购期权、认沽期权的执行价格为K，期限为T。组合A当前的价值是欧式认购期权的价值c和零息债券的价值Ke-rT；组合B当前的价值是欧式认沽期权在当前的价值p和标的资产S。

　　如果在T时刻标的证券价格St高于行权价格K，认购期权将行权。那么在T时刻，组合A的价值为（St-K）+K=St。如果St低于K，认购期权将变得没有价值，组合A的价值为K。

　　同样的分析思路来看看组合B。在T时刻如果St高于K，认沽期权将变得没有价值，组合B的价值为St。如果St低于K，认沽期权将行权，组合价值为（K-St）+St=K。

　　由以上可知，若St>K，在T时刻两个组合的价值均为St；如果St
　　Max（St，K）

　　由于欧式期权不能提前行权，那么两个组合在T时刻的收益相同，根据无套利原理，它们在当前也具有相等的价值。如果不是这样，就可以进行套利，会有人买入便宜的组合，卖出较贵的组合，由于两个组合在到期日T的价值最终会归于一致，就产生了套利机会。

　　组合A当前的价值等于组合B当前的价值，就有：
　　c + Ke-rT = p + S （1.1）

　　这就是无股息欧式认购期权与认沽期权之间的平价关系公式（put-call parity）。它表明欧式认购期权的价值可根据相同行权价格和到期日的欧式认沽期权的价值推导出来；反之，欧式认沽期权的价值也能通过相同行权价和到期日的欧式认购期权推导出来。

　　（二）无股息美式期权

　　我们再来看看无股息美式期权。假设美式认购期权价格为C，美式认沽期权价格为P。由于美式认沽期权大于其他条件相同的欧式认沽期权，那么有P≥p。又由于没有股息时永远不会提前行使美式认购期权，因此有C=c。

　　根据（1.1）可知，
　　C+Ke-rT=c+Ke-rT=p+S≤P+S，即：
　　C-P≤S-Ke-rT （1.2）

　　接下来，我们考虑以下两个资产组合：
　　组合C：一份欧式认购期权加上金额为K的现金
　　组合D：一份美式认沽期权加上一单位标的资产

　　如果美式期权没有提前行权，则当到期St>K时，组合D的价值为St，而组合C的价值为St-K+KerT，因此组合C的价值大于组合D。当到期时St

　　如果美式期权在T-t时刻提前行权，则在T-t时刻，组合D的价值为K，而此时组合A的价值大于等于Ker(T-t)，因此组合C的价值还是大于组合D。

　　这就是说，无论美式期权是否提前行权，组合C的价值都高于组合D，因此在当前时刻，组合C的价值也应至少不低于组合D，即：
　　c+K≥P+S
　　由于c=C，因此，
　　C+K≥P+S
　　结合式（1.2），我们可得：
　　S-K≤C-P≤S-Ke-rT （1.3）

　　由于美式期权可能提前行权，因此我们得不到美式认购期权和认沽期权的精确平价关系，但我们可以得出结论：无股息美式期权应符合式（1.3）的不等式。