任意无限集必包含一个可列子集怎么证明？

有关回应 · 2021-5-14 23:56:57

这是数学分析基础中一条非常重要的引理——之所以说是引理，是因为它是证明以下重要命题的关键：

是无限集当且仅当
中包含与它本身等势的真子集。（通俗地说就是无限集的部分与整体“一样多”！）

重新陈述如下：
引理（无限集必包含可数子集）：任意无限集
必包含一可数（无限）子集，依可数性之定义此集可表为序列
。
证明：严格证明需用到 依赖选择公理 ( Axiom of Dependent Choice (DC) ) 或 可数选择公理 ( Axiom of Countable Choice (ACω) )。
任取某一
，将其定义为
。由于
是无限集，故集合
。任取某一
，将其定义为
……由于补关系是全域二元关系，故根据依赖选择公理，总可以在给出
的条件下找出
；并且由于
是无限集，
。因此，可以这样构造出无限集
的可数子集，表为序列则是
。

有关回应 · 2021-5-14 23:56:58

上面@张乐陶已经给出了正确答案，不过我觉得这个问题还值得一答，因为这里是一个很容易犯错的地方。我们可以用数学归纳法做出的证明是这样的：

: 存在一个集合
是无限集
的子集
首先验证
: 由于
,
, 令
, 则
,
成立

假设
成立，即，存在集合

令
,易证
, 则
, 令
则有
是
的子集，这就是

因此，对任何自然数
，存在集合
，即存在集合
到
的单射

上面就是我们能够得到的结论，而我们要证的是：存在自然数集到
的单射。这显然不是一码事。

有关回应 · 2021-5-14 23:56:59

谢邀。

我其实不屑回答这种专业知识类问题，因为这种东西随着学习的深入总会学到，学到了还不懂可以问老师。我还是觉得社区更像是一个探讨类的平台，像这种说一不二的问题拿到社区来不如去百度知道。所以以后请不邀“百度知道类问题”可好？

【声明：所有括号里面的话都可以不看。】
首先无限集的定义是这样的，无限集的元素个数不是有限个（这是通俗说法，严谨定义看课本或者百度）。所以很自然有一个性质：无限集取出一个元素后，仍然是无限集。
（很浅显，反证，如果取出一个元素a后，该集合变成了有限集，那么原先也一定是有限集。）

所以可以在无限集中进行一次P操作：取出一个元素并将之放入集合A，
（“放入”这个词不是数学语言。严谨一点，应该说成：取出一个元素ak，并记Ak = Ak-1 ∪ {ak} ）
并且将该元素剔除原先的无限集。
（剔除也不是数学语言。严谨说成：记Bk = Bk-1 \ {ak} . )

经过刚才的分析，无限集B进行一次P操作后，仍然是无限集，因此仍然可以进行P操作。由于每一次P操作过后都可以进行下一次的P操作，所以，（由数学归纳法的严谨性证明），P操作可以进行可列次。
（此时，记A = ∪Ak 。）
这样的集合A就是所求的，包含在无限集里面的可列集了。
证毕。

【啰嗦一句】
证明的精髓在“P操作可以进行可列次”。
（假如P操作不能进行可列次，那么其必然只能进行有限次。因而，在某一次P操作结束后，不能继续进行P操作，这与性质是矛盾的。）
在数学分析中，将有限推广到可列，是一个广泛使用的工具。

以上。

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