非完全复制下的C-TEV约束跟踪误差管理

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[h1]文/汪鑫
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[h1]一.相关理论和文献综述[/h1]
由于基金经理的业绩通常通过与一个基准相比较来进行评价，所以实际上在理论研究之前，基金经理就已经通过类似马科维茨有效率边界理论的均值-方差方法管理其投资组合。Roll（1992）对这种策略进行了总结和发展，并称之为跟踪误差约束模型（TEV）。即先确定一个超额收益率（基金的收益率超过基准收益率的部分），然后将跟踪误差最小化。同时，Roll（1992）指出TEV模型的一个系统性缺陷，即基于TEV模型构建的组合收益的波动性总是比基准指数大。Jorion（2002）对TEV模型进行了另一种表述，先确定一个跟踪误差，在这个跟踪误差下最大化超额收益（本文使用的TEV模型即是这种表述）。并且Jorion（2002）针对TEV模型的上述系统性缺陷，提出了常数跟踪误差约束模型（C-TEV），在TEV模型的基础上再加入组合总体收益波动性约束，并从理论上证明了C-TEV模型可以更加有效的控制组合的总体风险。
基于上述理论，国外的很多文献进行了大量的实证研究。这些研究大致围绕两个主题展开，一个是关于输入列表（预期收益均值和预期收益协方差阵）的预测方法，另一个是对权重的取值范围添加限制条件（如不允许为负值，即不允许卖空等）。研究者一致认为期望收益的预测是重要的，但也是十分困难的。相对的，收益协方差阵则较易从历史数据预测。当然协方差阵预测的难度也决不可被低估。目前大部分文献仍集中在研究不同的协方差阵预测方法，而对于收益均值往往采用一个简单的模型，如本文中的单因素模型。实际的运用中，基金经理可以用考虑了多种因素之后对于收益率期望值的预测代替研究文献中的预测。Louis（1999）比较了样本协方差阵、因子模型和常数协方差阵三种不同方法预测协方差阵对TEV模型预测的影响，发现TEV模型对于协方差阵的要求比马科维茨模型要求更高；Hwang（2001）对于跟踪误差的事前和事后测量进行了深入的研究；Korfman（2003）对澳大利亚股票市场数据进行了基于C-TEV模型构建积极投资组合的实证分析。另外，随着计算技术的进步，实证研究通过增加所考虑的资产池的资产数目和延长所考虑历史数据的时间区间来获得更接近实际的结果。
国内文献方面，对于C-TEV模型的直接研究较少。马永开，唐小我（2001）对TEV模型的提出和求解作了很好的介绍，并分析了利用TEV模型构建的投资组合的有效性；屈颖爽、陈守东（2008）以4只指数为投资范围，分别以总样本协方差法、单指数模型法、常量相关模型法（即假设股票之间的相关系数相等）、单位矩阵法（即假设股票之间相关系数为0，股票收益率方差相同）和两参数法（即假设各股票方差相同，相关系数相同）估计协方差阵，对于TEV模型和C-TEV模型的应用做了实证研究。
本文将C-TEV模型应用于中国股票市场。本文的主要特点在于：1、得益于计算技术的进步，本文所选取的投资范围比较大，包含50只股票；2、对于禁止卖空时的情况作了研究，这使得C-TEV模型在当前卖空手段匮乏的中国股市更有实际意义；3、使用指数滑动平均方法（EWMA）估计协方差阵，相对于两参数模型等方法没有添加过多的认为假设，对于协方差阵的估计相对合理，另外，在使用EWMA模型时针对具体数据计算了最优衰减因子。
[h1]二.数据处理和描述性统计[/h1]
（一）数据选择
本文选取了上证综合指数2009年4月1日权重排名前50的股票构建投资范围集合，排名时剔除了上海电气等10只2008年1月1日之后上市的股票，将权重排名紧跟其后的股票补充进来。最终选定的50只股票总权重为67.56%。选取这50只股票2008-1-1日至2009-12-31的考虑红利再投资的日收盘价可比价格序列作为交易数据样本。由于所取股票数目比较大，所以尽管每个单只股票的停牌日都很少，但是全部50只股票的2008-1-1至2009-12-31共同交易日仍然只有254个。考虑到，从数量上看，每只股票的停牌日都很少，平均每只股票的停牌日只有6.78个；从分布上看，不论是单只股票还是不同股票之间的停牌日都比较分散，因此本文使用插值法对停牌日的数据进行插值，同时将数据的结束点设为50只股票的最后一个共同交易日2009-12-11，最终得到487个交易日的数据。
无风险利率选取的是银行间7天债券回购利率R007。
（二）数据处理与描述性统计
首先是基准指数的构建，对top50股票2009年4月1日占上证综合指数的权重进行标准化，再将这个基准组合指数化，并设定2009年4月1日的指数值与上证综合指数相等，即得到本文中使用的基准指数benchmark。从图2可以看出，基准指数基本能够反映上证综合指数的变动。虚线表示上证综合指数走势，实线表示基准指数走势，收益率的计算是通过取自然对数后差分得到的。
表1中对每只股票进行了描述性统计。Ljung-Box检验的滞后期设为12，结果表明在5%的置信水平下，只有少数（4只）股票的收益率序列存在自相关。因此EWMA模型假定收益率序列只有波动相关性与Ljung-Box检验的结果基本一致。
图1 基准组合与上证综合指数走势对比

表1 基准组合成分股的描述性统计

[h1]三.实证结果[/h1]
（一）EWMA模型最优值的确定
下图表示了用最小化RMSE的方法获取最优衰减因子的结果。最终选择的全局最优值为0.9453834，与Risk Metrics（1996）的建议值0.94接近。lamda图中的折线表示每只股票各自的最优值，水平线表示对这些单只股票最优值进行加权后获得的全局最优值；RMSE图中的竖线是各自最小RMSE值，折线表示的是当衰减因子都取为全局最优lamda值时每只股票的RMSE值。注意到lamda图中的第38只股票（即601398工商银行）的最优lamda值最小，为0.766，这说明与其他股票相比，该股票收益率的历史波动性对当前波动性的影响衰减得更快，当前波动性只与较短的历史波动性相关。600362江西铜业的RMSE值在的两种取值下差别最大，取全局最优时，其RMSE增大了1.9E-5。
图2 最优λ值和对应的RMSE

（二）有效率边界
Markowitz有效率边界的意义是：如果有一系列的组合，它们的预期收益相等，那么它们当中预期方差最小的组合是最优组合。C-TEV模型将投资组合分为两个部分，一部分是对于跟踪基准的完全复制，另一部分是一个“对冲基金”。复制基准部分的风险收益与基准完全相同，不需要管理。管理者的全部管理对象就是这个“对冲基金”，希望从这个“对冲基金”获得尽可能大的正收益，从而实际组合的收益就会超过基准收益。这种划分有一个现实的意义，即通常增强型基金的绩效是通过与一个基准比较来衡量的，基金经理有很强的激励追求“对冲基金”的高收益，而对于基准甚至组合总体都不关心，这就导致了很现实的代理问题。C-TEV模型对这个“对冲基金”和组合总体添加约束，以此来控制组合总体的风险。
本文选取两个时点考察Markowitz有效率边界和C-TEV约束下的有效率边界，并且考虑允许卖空和不允许卖空两种情况。选取2008年8月13日为熊市的代表，2009年6月4日作为牛市的代表。有效率边界如图11和图12所示。年化跟踪误差约束设为5%。
图中的有卖空和无卖空积极组合收益-标准差点是假设没有根据及时地根据每天的新的预期收益和预期协方差阵对组合权重进行调整，而是继续使用40个交易日之前确定的权重时的组合收益-标准差点。与Kofman（2003）对于澳大利亚数据得出的结果不同的是，图15积极组合中601857中国石油的最优权重和图16积极组合中601168西部矿业的最优权重中并没有发现允许卖空时需要频繁调整权重的理由，因为使用40日前的权重仍然可以大致满足事前跟踪误差约束。对于事后跟踪误差，将在本文后面部分讨论。
为了考察上述情况是不是由于相对于中国股市的高波动性而言，本文设定的5%的年化跟踪误差约束太严格了，本文另外作出了年化跟踪误差为20%时的情况，如图13、图14所示。发现禁止卖空时的积极组合仍能保持在新的C-TEV约束中，而允许卖空时的积极组合则不再满足新的C-TEV约束。
图3-图9中，mkwy表示允许卖空时的马科维茨有效率边界，mkwn表示禁止卖空时的马科维茨有效率边界，ctev表示允许卖空时的常数跟踪误差约束（C-TEV）边界，stocks表示单只股票在均值-标准差空间中的位置，benchmark、portfolio with short和portfolio with no short分别表示基准组合、允许卖空时的C-TEV约束最优组合和禁止卖空时的C-TEV约束最优组合在均值标准差空间中的位置
图3 牛市情况下的有效率曲线

图4 熊市情况下的有效率曲线

图5 跟踪误差设为20%时的牛市有效率曲线

图6 跟踪误差设为20%时的熊市有效率曲线

以上是固定日期下的组合优化。图15-图17中我们选取了三只股票画出了他们的最优权重随时间的变化曲线。可以看到，不论是牛市时还是熊市时，没有卖空限制的最优权重的波动都很大，这意味着没有卖空限制的情况下需要频繁地调整组合中各股票的权重。相对地，在禁止卖空的情况下，最优权重的波动小得多，即不需要频繁的调整权重。
图7 积极组合中601857中国石油的最优权重

图8 积极组合中601168西部矿业的最优权重

图9 积极组合中贵州茅台的最优权重

[h1]四.事后跟踪误差和事后收益[/h1]
事前跟踪误差只是对于实际跟踪误差的一种估计，用这种估计来选择事前最优的权重。如果根据事前跟踪误差的估计，每天对组合的权重进行调整，那么事前的跟踪误差总是恰好等于跟踪误差限制T。这时的事后跟踪误差由事前估计的准确性决定。实践中，频繁的权重调整带来巨大的交易费用，因此不会每天都对权重进行调整。随着调整周期的增大，事前的跟踪误差也会与跟踪误差限制发生偏离。本节即研究了不同的权重调整周期和不同的跟踪误差限制对于有卖空和无卖空情况下的事后跟踪误差的影响。使用的跟踪误差是标准差形式的。
从表2可以看到，调整周期的变动对于事后跟踪误差的影响不大。禁止卖空时的事后实际跟踪误差基本能够保持在跟踪误差约束内，而允许卖空时的跟踪误差则明显的超过了跟踪误差约束。
表2 不同权重调整天数对事后跟踪误差的影响（T=0.052）

表3 不同跟踪误差约束对事后跟踪误差的影响

（完）
文章来源：本文摘自于中国科学技术大学汪鑫的硕士毕业论文《指数型基金管理的实证研究》（本文仅代表作者观点）
本篇编辑：丁昭

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