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原标题：理解波动率微笑问题的新视角：源自模型内部（The Volatility Smile Problem: From Within）
译自：wilmott.com

波动率微笑问题并不是对BSM模型的证伪。相反，它是从模型内部产生的。

隐含波动率微笑问题其实并不是在Black-Scholes-Merton（BSM）模型之外派生的问题。它有时候被解释成为BSM模型出现的一个错误。通常对于这个问题是这样解释的——本来BSM模型假定标的资产的价格服从对数正态分布，但是在实际中，标的资产的价格却服从于不同的（允许随机波动和跳跃的）过程，从而隐含波动率微笑就产生了。

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我认为，波动率微笑的问题是从内部天生的。这里我们考虑波动率微笑问题的另一种观点，虽然可能乍看起来有些难。传统观点是说，BSM模型认为衍生品的交易是冗余的，即便放开对数正态分布的条件，衍生品的价格也是可以被完全复制和对冲的。所以衍生品不需要有自己独立的交易市场。第二种观点是说衍生品的交易在实际中是存在的，而且和标的资产的交易是密切相关的。在展开上述论证之前，我们首先要注意不要混淆标的资产的交易与衍生品交易。在之前的观点中并未提及衍生品的交易。在那个观点下面，我们的证券的状态是给定的，那就是标的资产当前的价格，以及在一定的概率测度下面未来标的资产的价格分布。至于衍生品，就是在这个假设下面的一个资产价值的评估。

事实上，第二种观点不同于传统观点的原因在于，我们从一开始就应该将衍生品视为可交易的，哪怕这个交易以后被认定是冗余的。但如果衍生品是可交易的，那么我们也可以从一开始就给出它自己的价格变化的随机过程，就像标的资产的随机过程一样。BSM模型为了得出衍生品可被标的资产完美动态复制这个结论，所以就假设衍生品的价值只是时间和标的资产价格的函数。为什么衍生品的价值不是另一个关于波动率市场的交易变量的函数，或者简单地，就是它自己的函数？实际上，我认为一旦将衍生品市场的交易本质考虑进来，整个语境就会与标的资产价格的时间序列和相应的计量经济学概念不相容了。

严格地说，BSM模型没有提到衍生品。它所做的只是考虑标的资产的随机过程，告诉我们最初需要投资的成本，然后如何以自筹资金的方式动态交易标的资产，以便在某个预定的到期日产生预定的或有收益。或有权益（或衍生品）的证券化及随后作为独立资产的交易，只能在BSM公式之外发生。因此，我们需要保留这个公式，以便衍生交易可以对照。这就是微笑问题的出现原因，既保留BSM公式同时又改变它的原因。

所以波动率微笑产生于形式主义。我们需要在衍生品市场保留形式主义（例如，一个具体的公式）。因此，公式中的微笑问题也会保留下来。这样做不仅是为了满足无套利原则。我们需要正式表达衍生品的特征，即使只是为了表示它的Δ值。鞅定价的形式主义满足了无套利原则，却放弃其交易属性。

在鞅过程定价框架中就不会有微笑问题。在鞅定价框架中，标的资产的市场只是个随机过程。证券价格集合的状态已经建立，不再有交易或者市场。我们已经退出了市场和交易。现在所有这一切实际上都是无套利定价理论。我们选择一个等价的鞅测度，然后我们估计衍生品的价值。

所以在鞅过程的形式主义中，存在衍生品却没有交易。在BSM模型的形式主义中，存在交易却没有衍生品。最好是保留交易，同时从其内部创造出衍生品。

然而，在现实中，给定的是或有权益的价格，而不是复制或有收益的成本。这个价格由市场给出。由于公式中已被嵌入了空白，所以不再有可以从标的资产的动态变化推出或有权益价格的公式。我们为了逆向运用公式而反馈给它的东西，与公式不再一致，不再具有和公式相同的性质。该公式在鞅定价方法中用于输出衍生品（彩票）的价值或是复制或有收益的成本；而现在，我们向公式输入价格。这就是微笑问题。

即便不考虑说衍生品的价格就一定等于其复制的成本，反馈给公式的是市场价格而不是成本的事实已经构成了微笑问题。如果波动率可变，那么复制或有收益的成本也可变；因此，不同的成本就意味着不同的波动率；这是两者与公式相关的含义；这就是正问题和逆问题在这种情况下都有意义的原因。然而，在实际中，可变的不是与成本的变化相对应的波动率的值。可变的根本不是定量的东西。整个市场从这两者之间产生，从空白之中产生。

如果有人说或有权益的市场价格就是这样的，为什么我们不相信标的资产的波动率就是这样的？如果你认为仍然存在一个公式联系了与标的资产的现状和或有权益的价格，你也必须相信资产的动态复制策略的有效性。然而，如果你仔细想想，没有一种复制或有收益的算法能够使相应或有权益的价格与复制所需的成本保持一致。这是因为时间的语域是不兼容的。考虑或有权益的价格就是考虑市场，也就是动态交易策略中的标的资产交易的市场，不是一个向后看的市场。两者是同时的。这就是波动率微笑的本质。

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