摘要：本文研究了电影院的座位设计问题，找出了三类影院的“皇帝位”，以及对多方面因素的重新考虑，进行影院设计
问题一：观众视线夹角尽可能大并且上扬头部角度不超过30°，则可以用MATLAB计算出座位距离屏幕前合适距离的区域；再加上排与排之间距离限制，根据这些可以用MATLAB计算出哪几排符合要求。得出结果：IMAX厅及大厅：7、8排；中厅：6、7排；小影厅：4、5排。
问题二：对于该问题，是建立在问题1基础之上的，所以问题2在问题1求解的区域中求解。在问题1区域中，在计算其水平方向视角大于等于36°视野范围内求解区域，并考虑立体声效果与观影效果都较好的区域。听觉效果不可忽略：声像同步，影厅太大这个现象就会体现得比较明显；回声的影响，中间位置最弱。用MATLAB计算视角最优位置，得出结果：IMAX厅及大厅 ：7、8排中间及两侧座位；中厅：6、7排中间及两侧座位；小影厅：4、5排中间及两侧座位。
问题三：看3D电影眼睛易疲劳，可用问题2中区域向后1-2排考虑。即：IMAX厅及大厅：8排中间及两侧座位；中厅：7排中间及两侧座位；小影厅：5排中间及两侧座位。
问题四：据了解，影院倾斜度不得大于20°，所以用MATLAB求解，让地板线倾角在[ 20 , 0 ]内逐一取值，让最优第一排座位与屏幕距离在[0，20]内逐一取值。记下三种影厅最优值θ均为20°，x的分别取值为：IMAX厅及大厅：5米；中厅：3米；小影厅：2米。
关键词：MATLAB
（一）问题重述
电影院的屏幕宽高比是16:9，观众厅长度与宽度之比为1.5，屏幕距离地面2米，观众厅地面坡度（地板线）为7°，椅子尺寸深度0.5米、宽度0.65米、高度0.42米，椅子的背倾角100°，每排间距为1.2米；三类影院银幕宽度分别为16米、12米，8米，第一排座位距离屏幕分别为8米、5米、4米。同时假设人的座高为0.9米。
现解决以下问题。
1、对于三类不同影院各厅该如何选最佳座位？观影者要尽量让银幕画面填充在视野内，要求观众眼睛到屏幕上、下边的视线的夹角越大越好，且观众看见屏幕上边需上仰头部的角度不超过30°。
2、对于三类不同影院各厅该如何寻找影厅的“皇帝位”？即我们在选座时除了要注意视觉观感的最佳效果，也需要在音效方面达到最佳效果。“皇帝座”不单指影厅里的某一个位置，而是一块区域，是一个既能立体声效果最好、又能享受到最好的观影效果的一块区域。要求(1)其水平方向视角，即眼睛和屏幕两侧水平的夹角要至少大于等于36°；(2) 观众眼睛到屏幕上、下边的视线的夹角越大越好，且观众看见屏幕上边需上仰头部的角度不超过30°。
3、我们都知道，3D电影更容易让眼睛疲劳，人眼视觉焦点活动范围越小疲劳程度越轻。对于IMAX影院厅看3D电影又如何选座位？重新考虑地板线、影院第一排座位距离屏幕等因素设计，如何提高观众的满意度？
（二）问题分析
观众视线夹角尽可能大并且上扬头部角度不超过30°，则可以用MATLAB计算出座位距离屏幕前合适距离的区域；再加上排与排之间距离限制，根据这些可以计算出哪几排符合要求。
对于该问题，是建立在问题1基础之上的，所以问题2在问题1求解的区域中求解。在问题1区域中，在计算其水平方向视角大于等于36°视野范围内求解区域，并考虑立体声效果与观影效果都较好的区域。听觉效果不可忽略：声像同步，影厅太大这个现象就会体现得比较明显；回声的影响，中间位置最弱。
3D电影：眼睛易疲劳，可用问题2中区域向后1-2排考虑。
影院倾斜度不得大于20°，所以让地板线倾角在[ 20 , 0 ]内逐一取值，让最优第一排座位与屏幕距离在[0，20]内逐一取值。求解三种影厅最优值。
（三）模型的假设与符号说明
2.1.1模型的假设
忽略观影厅阶梯，将观影厅地面视为斜面。
将斜面上所有座位所在平面也看作斜面处理。
在计算观影厅长度时将座椅视为一点。
忽略观影者两眼之间的距离。
忽略观影者双眼到头顶的距离。
假设在满足竖直方向最佳的前提下，观影者感受只和水平方向视角和有关，和偏离影厅中轴线的距离无关。
2.1.2符号说明
（四）模型的准备
以题中所给信息，建立影厅剖面图模型，如下图：
图 1 影院座位设计剖面图
（五）模型的建立与求解
1、问题1模型建立与求解
1.1求解大厅类影院
大厅类影院d=8m，银幕宽度为16米。屏幕高度H=9m。
仰角在满足条件的范围内，最佳座位处视角最大。
以第一排观众为原点，建立平面直角坐标系。其中β在0-30°范围内。最佳位置距第一排距离为x。任意点p坐标为（x，x tanθ），屏幕上下点坐标为A（-d，H-c），B（-d，-h-c），AP斜率记为kAP，BP斜率记为kBP。由斜率公式得：
代入上式，用MATLAB作图得到α与β的关系图像（程序见附录一）：
图 2 大厅类α与β的关系图像
其中，横轴为β，纵轴为α。
由图像可以看出，β≤30°=0.5236时，α随着β的增加而增加。并且由题可知，当β≤30°时α越大观众满意度越高。所以可以推得最佳位置应当在β=30°处。利用MATLAB求解α和x得
α=29.4978° x =7.8288
此时考虑座位100°背倾角，假设观影时靠背，减去0.9/tan(80*pi/180) m得最佳位置为7.6701m。
但是影院座位为离散，顾要在符合条件的情况下取得最优解。每排间距为1.2米，所以最后解应为6.3918，即第7、8排处。
影厅长度高度均符合要求。
1.2中厅类影院
中厅类影院d=5m，银幕宽度为12米。屏幕高度h=6.75m。同1.1，用MATLAB作图得到α与β的关系图像：
图 3 中厅类α与β的关系图像
同1.1，由图像可以看出，β≤30°=0.5236时，α随着β的增加而增加。并且由题可知，当β≤30°时α越大观众满意度越高。所以可以推得最佳位置应当在β=30°处。利用MATLAB求解α和x得
x =7.0890 α=28.9120°
此时考虑座位100°背倾角，假设观影时靠背，减去0.9/tan(80*pi/180) m得最佳位置为6.9303m。
但是影院座位为离散，顾要在符合条件的情况下取得最优解。每排间距为1.2米，所以最后解应为5.7752，即第6、7排处。
影厅长度高度均符合要求。
1.3小厅类影院
小厅类影院d=4m，银幕宽度为8米。H=6.5屏幕高度h=4.5m。同1.1，用MATLAB作图得到α与β的关系图像：
图 4 小厅类α与β的关系图像
同1.1，由图像可以看出，β≤30°=0.5236时，α随着β的增加而增加。并且由题可知，当β≤30°时α越大观众满意度越高。所以可以推得最佳位置应当在β=30°处。利用MATLAB求解α和x得
x =4.7000 α=40.9196°
此时考虑座位100°背倾角，假设观影时靠背，减去0.9/tan(80*pi/180) m得最佳位置为4.5413m。
但是影院座位为离散，顾要在符合条件的情况下取得最优解。每排间距为1.2米，所以最后解应为3.7844，即第4、5排处。
影厅长度高度均符合要求。
综上所述，得：
表 1 各类影厅最优排
2、问题2模型建立与求解
2.1问题二模型的建立
在满足问题1的条件下，又要使其水平方向视角，即眼睛和屏幕两侧水平的夹角要至少大于等于36°，做影厅俯视图如下图：
图 5 影院俯视剖面图
观众在选座时除了要注意视觉观感的最佳效果，也需要在音效方面达到最佳效果，即“皇帝位”。在满足最佳座位选择模型的前提下，“皇帝位”另要求观众水平方向视角，即眼睛和屏幕两侧水平的夹角要至少大于等于36°。基于竖直方向最佳座位选择的基础，现在水平方向研究在满足最佳座位的排，哪几个座位满足“皇帝位”要求。
2.2问题二的求解
取tan54°=1.3763，N取最佳座位选择模型中s1对应值，又由椅宽度为0.65米，求出满足该值的所有观众向左偏离银幕中间的距离以及座位：
表 2 各类影厅皇帝位
3、问题3模型的建立与求解
3.1问题三模型的建立
在满足问题二的最佳座位选择模型的前提下，考虑3D电影的最佳座位。3D电影更容易让眼睛疲劳，人眼视觉焦点活动范围越小疲劳程度越轻，为避免眼部疲劳，应在保证观影效果的条件下使视觉焦点活动范围较小。
3.2问题三模型的求解
取tan54°=1.3763，N取最佳座位选择模型s1对应值，又由椅子宽度为0.65米、3D电影对座位的要求，求出满足所有观众向左偏离银幕中间的座位，即：利用问题二求得的皇帝位，取每一类影厅视觉焦点活动小的座位，结果如下表：
表 3 3D电影最优座位
4、问题4模型建立与求解
4.1问题四模型的建立
由资料知，影院倾斜度不得大于20°，所以让地板线倾角θ在[ 20 , 0 ]内逐一取值，精度为0.01；让 x 在[0，20]内逐一取值，精度为 0.01。记下最优值θ和x的取值。
4.2问题四模型的求解
地板线、影院第一排座位距离屏幕等因素设计的MATLAB代码见附录2.
得出三类影院的最优倾斜度以及最优第一排座位距离屏幕取值，如下表：
表 4 各类影厅最优地板线及座位屏幕距离设计
（六）模型的评价与推广
6.1 模型的评价
6.1.1 模型的优点 :
模型抓住影响观众满意程度的主要因素 (仰角和视角 ), 合理构造满意度函数 , 过程清晰明了 , 结果科学合理。
模型具有较好的通用性 , 实用性强 , 对现实有很强的指导意义。
6.1.2 模型的不足以及需要改进的地方：
模型主观假设同一排座位观众的满意程度相同 , 实际情况并非如此 , 这就使得我们的模型对解决实际问题时有一定的局限性。
模型建立的过程中，没有考虑前排观众额部对后排观众的遮挡 , 需要进一步的考虑在内。
只考虑了部分观众满意度，没有考虑整体性。需要进一步对整个影厅座位上的观众进行整体性的满意度分析。
6.2 模型的推广
本文中所建立模型的方法和思想对其他类似的问题也很适用，所建立的模型可用于大型场所的座位的设计与安排等问题上。同时对于已知剖面来分析物体的形状这一类型问题的处理有很好的参考价值。例如运用该模型去解决会议厅、报告厅的布局 , 灯塔高度的设计等相关的问题。因此具有很强的实用性和推广性。
（七）参考文献
[1] echo_hello．MATLAB规划问题——线性规划和非线性规划[CSDN]．https://blog.csdn.net/ten_sory/article/details/54571525，2017年01月16日 10:07:56．
附录
附录一
%a与b关系
fun1=inline('atan((9*(((10.1-8*tan(b))./(tan(7*pi/180)+tan(b)))+8))./((((10.1-8*tan(b))./(tan(7*pi/180)+tan(b)))+8).^2+(((10.1-8*tan(b))./(tan(7*pi/180)+tan(b)))*tan(7*pi/180)-11+0.9).*(((10.1-8*tan(b))./(tan(7*pi/180)+tan(b)))*tan(7*pi/180)-11+9+0.9)))','b');
b=linspace(0,pi/2,1000);
a=fun1(b);
plot(b,a)
附录二
%最优设计
clear;
clc;
H= 9 ;
h=1.8;
d=8;
c=1.1;
l=0.9;
pi=3.1415926;
t=0;
for k=1:20
for Q=0:0.01:20
z=h*((k-1)*l*cos(Q/180*pi)+d)/(((k-1)*l*cos(Q/180*pi))^2+((k-1)*l*cos(Q/180*pi)*tan(Q*pi/180)-H+c)*((k-1)*l*cos(Q*pi/180)*tan(Q/180*pi)-H+h+c));
if t<z< span=""></z<>
t=z;
end
end
end
∑编辑 | 裴奕霖
来源 | zrg_hzr_1 的博客
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